1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE； （3）若sin∠DBA＝，CG＝5，求BD的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD∥CO，交⊙O于点D，连接DE、OD、CD． （1）求证：CA＝CD； （2）填空：
①当∠ACO的度数为 时，四边形EOBD是菱形．
②若BD＝m，则当AC＝ （用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形．
1
3．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若DE＝
，tan∠BDF＝，求DF的长．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E是边AD上一点，且AE＝3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，GF，设BF＝x（0＜x＜6）． （1）求tan∠FGE的值； （2）若BG＝EG，求x的值； （3）若x＝2，求弧EF的长；
（4）若圆O经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值． 【注：sin19°＝，cos75°＝，tan27°＝】
2
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H． （1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
3
6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于D，OE∥BD交⊙O于E． （1）求证：BE平分∠ABD．
（2）当∠A＝∠E，BC＝2时，求⊙O的面积．
8．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验
4
研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm CD/cm FD/cm
0 8.0 8.0
1.0 7.7 7.4
2.0 7.2 6.9
3.0 6.6 6.5
4.0 5.9 6.1
5.0 6.0 3.9 6.2
7.0 2.4 6.7
8.0 0 8.0
a
6.0
操作中发现：
①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是 ； ②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F． （1）证明：＝；
5
AB，连接
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．
10．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝52°． （Ⅰ）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．
11．如图，半圆⊙O中，直径AB＝4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交⊙O于点F，连结EF． （1）①求证：△DCA∽△ACE； ②若点D为CE中点，求AE的长．
（2）求证：△ACE面积与△AFE的面积差为定值，并求出该定值．
6
（3）若tan∠FEA＝，求tan∠FAO的值．
12．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
13．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若cos∠PAB＝
，BC＝2，求PO的长．
7
14．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO； （2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．
15．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8． （1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
8
16．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明． （2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．
9
备战2021中考数学考点专题训练——专题十二：圆参考答案
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE； （3）若sin∠DBA＝，CG＝5，求BD的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，OD，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠BOD， 又∵∠BAH＝∠BOD， ∴∠BAH＝∠BOC， ∴AH∥OC， ∵AH⊥CH， ∴OC⊥CH，
∴CH是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AC，
10
∵BC＝CD， ∴，
∴∠BAC＝∠CAH，
又∵CE⊥AB，CH⊥AH， ∴CE＝CH，
∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL）， ∴BE＝DH，
∵点D为AH的中点， ∴AD＝DH， ∴AD＝BE；
（3）解：如图3，延长CE交⊙O于点F，
∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ∴＝＝， ∴∠BCE＝∠CBD， ∴GB＝GC＝5，
在Rt△GEB中，sin∠GBE＝∴GE＝3， ∴BE＝
＝
＝4，
，
CE＝CG+GE＝5+3＝8，
∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴Rt△AEC∽△Rt△CEB，
11
∴即
， ，
∴AE＝16，
∴AB＝AE+BE＝16+4＝20， 在Rt△ADB中，sin∠DBA＝∴AD＝AB＝×20＝12， ∴BD＝
＝
＝16． ，
2．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD∥CO，交⊙O于点D，连接DE、OD、CD． （1）求证：CA＝CD； （2）填空：
①当∠ACO的度数为 时，四边形EOBD是菱形．
②若BD＝m，则当AC＝ （用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形．
【答案】（1）证明：∵BD∥OC， ∴∠AOC＝∠OBD，∠DOC＝∠ODB， ∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠AOC＝∠DOC， 在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SAS） ∴CA＝CD；
（2）解：①当四边形EOBD是菱形时，OB＝BD， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝BD，
∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°，
∴∠AOC＝∠OBD＝60°，
12
∵AP是⊙O的切线， ∴∠OAC＝90°， ∴∠ACO＝30°；
②当四边形ACDO是正方形时，AC＝OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠DOB＝90°， ∵OB＝OD， ∴OB＝
BD＝m， m，
m．
∴AC＝OB＝
故答案为：①30°；②
3．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若DE＝
，tan∠BDF＝，求DF的长．
【答案】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠FAC， ∴∠BAD＝∠DAE ∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAE＝∠ODA， ∴OD∥AE， ∴∠E＝∠ODF， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°， ∵∠E＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90° ∴∠BDF＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠DAE，
∴∠BDF＝∠DAE＝∠BAD，
13
∵tan∠BDF＝，
∴tan∠BDF＝tan∠DAE＝tan∠BAD＝， ∴∵DE＝∴AE＝∴BD＝
， ，AD＝，
，
，
∴AB＝6，
又∠F＝∠F，∠BDF＝∠BAD， ∴△FBD∽△FDA， ∴
2
，
∴DF＝2BF，FD＝FB•FA，
∴（2BF）2＝BF•（FB+BA），又BA＝6， ∴BF＝2， ∴DF＝4．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E是边AD上一点，且AE＝3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，GF，设BF＝x（0＜x＜6）． （1）求tan∠FGE的值； （2）若BG＝EG，求x的值； （3）若x＝2，求弧EF的长；
（4）若圆O经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值． 【注：sin19°＝，cos75°＝，tan27°＝】
14
【答案】解：（1）∵＝，
∴∠FGE＝∠ABE， ∵tan∠ABE＝
＝，
∴tan∠FGE＝tan∠ABE＝； （2）连接EF，OE，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∴FG是圆O的直径． ∴∠FEG＝90°，
在Rt△BFG和Rt△EFG中，BG＝EG，FG＝FG， ∴Rt△BFG≌Rt△EFG（HL）， ∴BF＝EF，
在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2+AF2， ∴x2＝（6﹣x）2+32， 解得x＝
．
15
（3）∵BF＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4， ∵AE＝3， ∴EF＝∵AB＝6， ∴BE＝
＝
＝3
，
＝5，
∵∠FEG＝∠A＝90°，∠FGE＝∠ABE， ∴△ABE∽△EGF， ∴∴GF＝∴EG＝10， ∴tan∠FGE＝∴∠FGE＝27°， ∴∠FOE＝54°， ∴
的长＝
＝
π；
＝，
，
，
（4）3或．
①若圆O经过矩形的顶点C时，
∵DE＝6，CE＝6， ∴CE＝6， ∵tan∠ECF＝
，
∴EF＝3，
又∵AF2+AE2＝EF2， ∴AF＝3，BF＝x＝3．
②若圆O经过矩形的顶点D时，过点G作GM⊥AD，垂足M落在AD的延长线，
16
则四边形CGMD是矩形，四边形ABGM是矩形，过点O作ON⊥AM于点N， 延长NO交BG于点Q， ∴EN＝DN，AN＝MN， ∴DM＝AE＝3， ∴EG＝∴EF＝
，
＝
＝
＝3
，
∵AF2+AE2＝EF2， ∴AF＝， ∴BF＝x＝．
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H． （1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
【答案】（1）证明：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°， ∴∠C＝∠ABD，
17
∵∠AGD＝∠ABD， ∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， ∴
＝，
∴AC＝9， ∴AB＝
＝3
，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6， ∵FH⊥AB， ∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC， ∴， ∴
＝
＝，
∴AH＝，EH＝2， 连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠BFH， ∴△AFH∽△FBH， ∴＝， ∴
＝
， ∴FH＝， ∴EF＝
﹣2．
18
6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵弧AC＝弧AC， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠AFB＝∠ABC， ∴∠ADC＝∠AFB， ∴CD∥BF， ∵CD⊥AB， ∴AB⊥BF，
∵AB是圆的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD．如图所示： ∵AB⊥CD，CD＝2， ∴PD＝PC＝CD＝
，
∵BP＝1， ∴OP＝r﹣1
在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（解得：r＝3．
即⊙O的半径为3．
）2
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于D，OE∥BD交⊙O于E． （1）求证：BE平分∠ABD．
19
（2）当∠A＝∠E，BC＝2时，求⊙O的面积．
【答案】（1）证明：∵OE＝OB， ∴∠E＝∠ABE， ∵OE∥BD， ∴∠E＝∠EBD， ∴∠OBE＝∠EBD， ∴BE平分∠ABD；
（2）解：∵∠A＝∠E， ∴∠ABD＝2∠A， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝30°，
∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∵BC＝2，
∴AB＝BC＝2， ∴AO＝，
∴⊙O的面积＝3π．
8．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm CD/cm FD/cm
0 8.0 8.0
1.0 7.7 7.4
2.0 7.2 6.9
3.0 6.6 6.5
4.0 5.9 6.1
5.0 6.0 3.9 6.2
7.0 2.4 6.7
8.0 0 8.0
a
6.0
操作中发现：
①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是 ； ②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．
20
【答案】解：（1）∵点D为的中点， ∴＝，
∴BD＝CD＝a＝5cm， 故答案为：5；
（2）∵点A是线段BC的中点， ∴AB＝AC， ∵CF∥BD， ∴∠F＝∠BDA，
又∵∠BAD＝∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝CF，
∴线段CF的长度无需测量即可得到； （3）由题意可得：
（4）由题意画出函数yCF的图象；
21
由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F． （1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：连接OC． ∵PC＝PA，OC＝OA， ∴OP垂直平分线段AC， ∴＝．
（2）证明：设BC＝a， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵tan∠ABC＝∴AC＝2
＝2
，
＝
，CD＝AD＝
＝3a，
a，AB＝
∴OC＝OA＝OB＝a，
∵PA＝PC＝AB， ∴PA＝PC＝3a， ∵∠PDC＝90°， ∴PD＝
＝
＝4a，
∵DC＝DA，AO＝OB， ∴OD＝BC＝a，
22
∴AD2＝PD•OD， ∴
＝
，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°， ∴△ADP∽△ODA， ∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°， ∴∠PAD+∠DAO＝90°， ∴∠PAO＝90°， ∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K． ∵BC＝2，
由（1）可知，PA＝6，AB＝6， ∵∠PAB＝90°， ∴PB＝
∵PA＝PE•PB， ∴PE＝
＝4
，
2
＝＝6，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2， ∵PD＝8， ∴PK＝10， ∵EJ∥BK， ∴∴∴EJ＝
＝＝
＝
， ＝，PJ＝
， ， ＝，
＝
．
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣∴DE＝
＝
10．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝52°． （Ⅰ）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
23
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．
【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝52°，
∴∠ABC＝90°﹣52°＝38°， ∵D为的中点， ∴＝，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°； （2）如图，连接OD，OC， ∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝64°， ∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝52°，
∴∠OCD＝∠ACE﹣ACO＝12°， ∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝12°，
∴∠POD＝∠AEC﹣∠ODC＝52°， ∵DP是⊙O的切线， ∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠POD＝38°．
11．如图，半圆⊙O中，直径AB＝4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交⊙O于点F，连结EF．
24
（1）①求证：△DCA∽△ACE； ②若点D为CE中点，求AE的长．
（2）求证：△ACE面积与△AFE的面积差为定值，并求出该定值． （3）若tan∠FEA＝，求tan∠FAO的值．
【答案】解：（1）①证明：∵点C为弧AB的中点， ∴CO⊥AB， ∵OC＝OA，
∴∠CDA＝∠CAE＝45°， 又∵∠DCA＝∠ACE， ∴△DCA∽△ACE；
②∵D为CE的中点，AC＝2， 由（1）知，△DCA∽△ACE， ∴
2
，
∴AC＝CD•CE＝CD•2CD， 即CD＝2， ∴CE＝4， ∴OE＝2，
即AE＝AO+OE＝2+2．
（2）证明：∵△DCA∽△ACE， ∴∠CAF＝∠CEA，
又∵∠ACF＝∠CAE＝45°， ∴△ACF∽△EAC， ∴
，
＝＝，
＝4．
∴S△ACE﹣S△AEF＝（3）∵tan∠FEA＝
设OF＝2a， ∴OE＝6a，
∵AC2＝AE•CF，
∴8＝（2+5a）（2﹣a）， 得（3a﹣2）（a﹣1）＝0， 即a＝1或a＝， 当OF＝2时，tan∠FAO＝
＝，
25
当OF＝时，tan∠FAO＝＝＝，
∴tan∠FAO＝或．
12．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
【答案】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°， ∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO＝∠ACO＝90°， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）∵tanB＝＝
，
∴设AC＝4x，BC＝3x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴16x2+9x2＝100， ∴x＝2， ∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10， ∴BD＝2，
26
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4， ∴OC＝， 故⊙O的半径为； （3）连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD， 又∵CO＝DO，OE＝OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠OCE＝∠OED， ∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE， ∵点F是AB中点，∠ACB＝90°， ∴CF＝BF＝AF， ∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
13．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若cos∠PAB＝
，BC＝2，求PO的长．
【答案】解：（1）连接OB，
27
∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C， ∴∠AOP＝∠POB， 在△AOP和△BOP中， ∵
，
∴△AOP≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠PAB+∠BAC＝∠BAC+∠C＝90°， ∴∠PAB＝∠C， ∴cos∠PAB＝cos∠C＝
＝
，
∵BC＝2， ∴AC＝2， ∴AO＝，
∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠POA＝∠C， ∴△PAO∽△ABC， ∴
＝
，即
＝
，
解得PO＝5．
14．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO； （2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．
28
【答案】（1）证明：连接OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB， ∵AC切⊙O于A， ∴OA⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：设⊙O的半径为R，过O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC， ∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°， ∴四边形OACD是矩形， ∴OD＝AC＝1，OA＝CD＝R， 在Rt△ACB中，AB＝
，AC＝1，由勾股定理得：BC＝
＝3，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2， 即R2＝12+（3﹣R）2， 解得：R＝， 即⊙O的半径是．
15．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点
29
P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8． （1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理
由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
【答案】解：（1）由题意可得，OP＝8﹣t，OQ＝t， ∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°， ∴BD＝OD，OB＝BD．
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OB＝∵BD∥OQ， ∴∴
， ，
BD＝x，PD＝8﹣t﹣x，
∴x＝．
∴OB＝＝﹣．
当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2（3）∵∠POQ＝90°，
cm．
30
∴PQ是圆的直径． ∴∠PCQ＝90°．
∵∠PQC＝∠POC＝45°， ∴△PCQ是等腰直角三角形． ∴S△PCQ＝PC•QC＝
PQ＝PQ2．
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2． ∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝＝＝4t﹣
，
+16﹣4t＝16．
2
，
∴四边形OPCQ的面积为16cm．
16．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明． （2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠DAE＝∠DAO， ∴∠DAE＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵AE⊥EF， ∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4， ∴OF＝∵OD∥AE， ∴∴
＝＝
，
， ， ＝6，
∴AE＝，ED＝
31
∴tan∠EAD＝＝．
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