一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的对称轴是（ ） A．底边上的高所在的直线 C．底边上的中线
B．底边上的高 D．顶角平分线
2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（ ）
A．14 B．15 C．17
4．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（ ） A．12
B．8
C．6
D．3
6．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ ） A．a≤b
B．a≠b
C．a＜b
D．a＝b
7．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等
的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（ ）
A．8 B．7.5 C．7 D．6
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 ． 12．如图：已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝ ．
14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是 ．
15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为 cm．
16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝ ．
17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF
＝10，则点P到AC的距离为 ．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是 ．
三．解答题（共7小题，共66分）
19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．
20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：AC⊥BD．
21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF． 求证：AE平分∠CAB．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB． （1）求∠B的度数： （2）求证：BC＝3CE．
23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D． （1）求∠DBC的度数；
（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．
25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：CE＝DE．
参考答案
一．选择题
1．解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线， 故选：A．
2．解：如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个， 以AB为底边的等腰三角形的点P有3个， ∴△ABP为等腰三角形的点P有5个； 故选：D．
3．解：∵BI平分∠DBC， ∴∠DBI＝∠CBI， 又∵DE∥BC， ∴∠DIB＝∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴BD＝DI． 同理CE＝EI．
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15， 故选：B．
4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴AD是BC的线段垂直平分线， ∵E是AD上一点， ∴EB＝EC， ∴∠EBD＝∠ECD， ∵∠CED＝50°， ∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°， 故选：C．
5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝6， 故选：C．
6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b， 故选：C．
7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等； ②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确； ③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；
④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误； 故选：A． 8．解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△BCE中，BE＝2CE， ∴AE＝2CE， 故选：B．
9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点， ∴AE＝BE＝CE＝AB＝5， ∵CD⊥AB，DE＝4，
∴CD＝
∴S△AEC＝S△BEC＝故选：B．
＝3， BE•CD＝
3＝7.5，
10．解：作EF⊥BC于F， ∵S△BCE＝10，
∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10， 解得，EF＝4，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC， ∴DE＝EF＝4， 故选：D．
二．填空题
11．解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm， 底边为12﹣2×3＝7cm， ∵3+3＜7，
∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；
（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm， ∵0＜3＜4.5+4.5＝9，
∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形， 则该等腰三角形的一腰长是4.5cm． 故答案为：4.5cm．
12．解：∵∠B＝20°，AB＝A1B， ∴∠A＝（180°﹣∠B）＝80°，
故答案为：80°．
13．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点， ∴DE＝AC＝5， 故答案为：5．
14．解：∵DE垂直平分AC， ∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°， ∴CD＝2BD＝2×2＝4， ∴AD＝CD＝4． 故答案为：4．
15．解：∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线， ∴AD＝CD，
∵AB＝5cm，BC＝8cm，
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）． 故答案是：13．
16．解：∵DE，PF分别垂直平分AB，AC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP， 又∵∠DAP＝20°，
∴∠B+∠C＝（180°﹣20°）＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°． 17．解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC， ∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB， ∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC， ∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5， 故答案为：5．
18．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝4，
∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC， ∴•4•AB+•12•4＝40， ∴AB＝8． 故答案为8．
三．解答题
19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°， ∴∠A＝∠C＝35°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， ∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝35° 20．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCF．（ 两直线平行，同位角相等） ∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，
∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF．（ 角平分线的定义） ∴∠2＝∠4．
∴BD∥CE．（ 同位角相等，两直线平行） ∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等） ∵∠ACE＝90°，
∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（ 垂直的定义）
21．证明：∵CD⊥AB，
∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE． ∵∠ACE＝90°，
∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF． ∵∠CFE＝∠CEF， ∴∠DAF＝∠CAE， 即AE平分∠CAB．
22．解：（1）∵AE⊥CD， ∴∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°， ∴∠ECF＝∠CAF， ∵∠EAD＝∠DCB， ∴∠CAD＝2∠DCB， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCB， ∴∠CAB＝2∠B， ∵∠B+∠CAB＝90°， ∴∠B＝30°；
（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°， ∴AE＝BE，CE＝AE， ∴BC＝3CE．
23．解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， 又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°． 24．解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°； （2）∵MN是AB的垂直平分线， ∴BD＝AD，
∵△DBC的周长为14cm， ∴BD+BC+CD＝14cm， ∵BC＝5cm，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm， ∵AB＝AC， ∴AB＝9cm．
25．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°． ∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB． 同理可得∠EBA＝∠ABD． ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°；
（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF， 在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE（SAS）． ∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．
∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°， ∴∠DEB＝∠FEB． 在△DEB和△FEB中
∴△DEB≌△FEB（ASA）． ∴ED＝EF． ∴ED＝CE．
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