一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等D．若a＝b，则|a|＝|b|
2．如图1，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，若AC＝BD，则下列结论中不正确的是(图1
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCBC．OB＝OD
D．OA＝OD
3．如果等腰三角形的一个外角为140°，那么该等腰三角形的底角为( )A．40° B．60°C．70°
D．40°或70°
4．如图2，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距( )
)
图2
A．30海里 C．50海里
B．40海里D．60海里
5．如图3，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
图3
A．9
B．10
C．11
D．15
6．如图4，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则△ABD中AB边上的高为( )
图4
A．3
B．4
C．5
D．6
7．如图5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△
ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则
AC的长是( )
图5
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图6，长方体的底面边长分别为2 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要( )
图6
A．11 cm C．(8＋2 10)cm
B．2 34 cmD．(7＋3 5)cm
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠A＝60°，则△ABC的周长是________．10．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时，第一步应假设____________．
11．如图7，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6 ________cm.
cm，则CD的长为
图7
12.如图8，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC.若∠A＝75°，则∠BPC的度数是________．
图8
13．如图9，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．
图9
14．如图10，∠BOC＝60°，A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t s表示移动的时间，当t＝________时，△POQ是等腰三角形．
图10
三、解答题(本大题共3小题，共38分)
15．(12分)如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠CAB，EF⊥AB于点F.若AC＝12，BC＝16，CE＝6.
(1)求EF的长；(2)求△AEB的面积．
图11
16．(12分)如图12，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．
图12
17．(14分)如图13所示，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A开始以1 cm/s的速度向点C运动，点E从点C开始以2 cm/s的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为t s，过点E作EF∥AC交AB于点F.
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？(3)求证：DC＝EF.
图13
答案
1．2． C 3． D 4． B 5． B 6． B 7． D 8． B9． 12
10． 一个三角形中有两个角是直角11． 612． 150°
1313． 6
1014． 3或10
15．解：(1)∵∠C＝90°，∴AC⊥BC.又AE平分∠CAB，EF⊥AB，∴EF＝CE.
又CE＝6，∴EF＝6.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，CE＝6，∴BE＝BC－CE＝16－6＝10，
1
1
∴S△AEB＝2BE·AC＝2×10×12＝60.
16．解：(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.在Rt△AED和Rt△AFD中，∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF.∵DE＝DF，AE＝AF，
∴点A，D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.
1
(2)DO＝4AD.
1
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE＝2AD.∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，AD⊥EF，∴∠DEO＝30°，
1
1
∴DO＝2DE，∴DO＝4AD.
17．解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm，则DC＝(6－t)cm.在△ABC中，∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°.(1)若△DEC为等边三角形，则CE＝DC，∴2t＝6－t，解得t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形．(2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时，∵∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，
1
1
∴CE＝2DC，∴2t＝2(6－t)，解得t＝1.2；当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°，1
∴2CE＝DC，
1
∴2×2t＝6－t，∴t＝3，
∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形．(3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，∴BC＝12 cm，∴BE＝(12－2t)cm.∵EF∥AC，∴∠BFE＝∠A＝90°.∵∠B＝30°，
1
1
∴EF＝2BE＝2(12－2t)＝(6－t)cm.∵DC＝(6－t)cm，∴DC＝EF.
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