等差数列专题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列an的前n项和Sn满足：SmB．2m1

C．2m2

D．2m3

2．等差数列{an}的公差为2，若a2,a4,a8成等比数列，则S9（ ） A．72

B．90

C．36

D．45

3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A．3斤

B．6斤

C．9斤

D．12斤

4．已知Sn为等差数列an的前n项和，a3S518，a6a33，则an（ ） A．n1

B．n

C．2n1

D．2n

5．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了

3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A．34000米 B．36000米 C．38000米 D．40000米

6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A．32

B．33

C．34

D．35

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a12，S315，则a8（ ） A．11

B．12

C．23

D．24

nn8．设a，b≠0，数列{an}的前n项和Sna(21)b[(n2)22]，nN*，则

存在数列{bn}和{cn}使得（ ）

A．anbncn，其中{bn}和{cn}都为等比数列 B．anbncn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列

cn，其中{bn}和{cn}都为等比数列 C．anbn·cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列 D．anbn·9．数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大A．8

21，则该数列的项数是（ ） 2B．4

C．12

D．16

10．设Sn是等差数列an（nN*）的前n项和，且a11,S416，则a7（ ） A．7

B．10

C．13

D．16

33311．已知数列an中，a11，a22，对nN*都有2an1an2an，则a10等于

（ ） A．10

B．310 C．64

D．4

12．已知等差数列an的公差d为正数，a11,2anan11tn1an,t为常数，则

an（ ）

A．2n1

B．4n3

C．5n4

D．n

13．在等差数列an中，若Sn为其前n项和，a65，则S11的值是（ ） A．60

B．11

C．50

D．55

14．已知an是公差为2的等差数列，前5项和S525，若a2m15，则m（ ） A．4

B．6

C．7

D．8

215．已知等差数列an的前n项和为Sn，且Snn.定义数列bn如下：

m1*bmmN*是使不等式anmmN成立的所有n中的最小值，则mb1 b3 b5A．25

b19（ ）

B．50

C．75

D．100

16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an ，则a5（ ） A．103

B．107

C．109

D．105

2217．已知递减的等差数列an满足a1a9，则数列an的前n项和取最大值时n=（ ）

A．4或5 B．5或6 C．4 D．5

18．若数列an满足an1A．1010 C．2020

2an1(nN)，且a11，则a2021（ ） 2B．1011 D．2021

19．记Sn为等差数列an的前n项和，若S52S4，a2a48，则a5等于（ ） A．6

B．7

C．8

D．10

20．已知等差数列an中，a50,a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为（ ） A．S4

B．S5

C． S6

D． S7

二、多选题

21．已知数列an的前n项和为SnSn0，且满足an4Sn1Sn0(n2)，a1则下列说法错误的是（ ） A．数列an的前n项和为Sn4n C．数列an为递增数列

B．数列an的通项公式为an1，41

4n(n1)1D．数列为递增数列

Sn22．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn,且2a12a3S5,下列结论中正确的是（ ） A．S7最小

B．S130

C．S4S9

D．a70

23．等差数列an的前n项和为Sn，a15a3S8，则下列结论一定正确的是（ ） A．a100

B．a9a11

C．当n9或10时，Sn取得最大值

D．S6S1324．题目文件丢失！

25．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．a68 C．a1a3a5B．S733

a2019a2022

22a12a2a2019a2020 D．

a201926．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1A．a80 C．S4S9

0,2a5a110,则（ ）

B．当且仅当n= 7时，Sn取得最大值 D．满足Sn0的n的最大值为12

27．已知数列an为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A．an1and（d为常数） C．数列B．数列an是等差数列 D．an1是an与an2的等差中项

1是等差数列 an22*28．在数列an中，若anan1p(n2,nN.p为常数)，则称an为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A．若an是等差数列，则an是等方差数列 B．{(1)n}是等方差数列

C．若an是等方差数列，则aknkN*,k为常数)也是等方差数列

D．若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 29．记Sn为等差数列an的前n项和.已知S535，a411，则（ ） A．an4n5

2C．Sn2n3n

B．an2n3

2D．Snn4n

30．已知数列an满足：a13，当n2时，anan1111，则关于数列

2an说法正确的是（ ）

A．a28

C．数列an为周期数列

B．数列an为递增数列

2D．ann2n

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一、等差数列选择题 1．C 【分析】

首先根据数列的通项an与Sn的关系，得到am10，am2<0，am1+am2>0，再根据选项，代入前n项和公式，计算结果. 【详解】

由Sm0. 又S2m12m1a1a2m1222m1am1>0，

S2m32m3a1a2m32m3am2<0， m1am1am2>0.

S2m2故选:C.

2m1a1a2m22【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式anSnSn1,n2，判断数列的项的正负，

S,n11第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 2．B 【分析】

由题意结合a2,a4,a8成等比数列，有a4(a44)(a48)即可得a4，进而得到a1、an，

2即可求S9. 【详解】

由题意知：a2a44，a8a48，又a2,a4,a8成等比数列，

2∴a4(a44)(a48)，解之得a48，

∴a1a43d862，则ana1(n1)d2n，

9(229)90，

2故选：B 【点睛】

∴S9思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由am,ak,an成等比，即akaman； 2、等差数列前n项和公式Sn3．C 【分析】

根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求a2a3a4. 【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为a1，粗的一端的重量为a5，可知a12，a54，

根据等差数列的性质可知a1a52a36a33， 中间三尺为a2a3a43a39. 故选：C 【点睛】

本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列an的通项公式可求. 【详解】

2n(a1an)的应用. 26a112d18因为a3S518，a6a33，所以，

a5da2d311所以a11，所以an1n11n， d1故选：B. 5．B

【分析】

利用等差数列性质得到a21200，a143600，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】

根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，

则a1a2a33a23600，故a21200，a13a14a153a1410800，故

a143600，

11a1a1515a2a141536000. 22故选：B. 6．D 【分析】

则Sn设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出

n(n1)(n2)(n28)m1520，结合等差数列的求和公式得出

m111429n，再由m90,100求出n的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m90,100，则有n(n1)(n2)(n28)m29n406m1520

则有29nm1114，则m111429n，所以90111429m100 解得34.966n35.31，因为年龄为整数，所以n35. 故选：D 7．C 【分析】

由题设求得等差数列{an}的公差d，即可求得结果. 【详解】

S3153a2，a25， a12，公差da2a13， a8a17d27323，

故选：C. 8．D 【分析】

由题设求出数列{an}的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：

Sna(2n1)b[(n2)2n2](a2bbn)2n(a2b)，

当n1时，有S1a1a0；

n1当n2时，有anSnSn1(abnb)2， 0又当n1时，a1(abb)2a也适合上式，

an(abnb)2n1，

n1令bnabbn，cn2，则数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列，

故anbncn，其中数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列；故C错，D正确；

n1n1因为an(ab)2bn2，b≠0，所以bn2n1即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：

SnSn1,n2n由数列前项和求通项公式时，一般根据an求解，考查学生的计算能

a,n11力. 9．A 【分析】

设项数为2n，由题意可得2n1d【详解】

设等差数列an的项数为2n， 末项比首项大

21，及S偶S奇6nd可求解． 221， 221①; 2a2na12n1dS奇24，S偶30，

S偶S奇30246nd②．

由①②，可得d即项数是8， 故选：A. 10．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列an的公差为d，

3，n4， 2a11,S416，

S44a16d46d16，d2， a7a16d13.

故选：C 11．D 【分析】

33利用等差中项法可知，数列an为等差数列，根据a11，a22可求得数列an的公

差，可求得a10的值，进而可求得a10的值. 【详解】

对nN*都有2an1an2an，由等差中项法可知，数列an为等差数列，

333由于a11，a22，则数列an的公差为da2a17，

33333所以，a10a19d19764，因此，a10故选：D. 12．A 【分析】

334.

由已知等式分别求出数列的前三项，由2a2a1a3列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】

a11，2anan11tn1an,

令n1，则2a1a21t1a1，解得a2t1

2令n2，则2a2a312t1a2，即t1a3t1，若t1，则a20,d1，

与已知矛盾，故解得a3t1

an等差数列，2a2a1a3，即2t11t1，解得t4

则公差da2a12，所以ana1n1d2n1. 故选：A 13．D 【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】

因为在等差数列an中，若Sn为其前n项和，a65， 所以S11故选：D. 14．A

11a1a11211a655.

【分析】

由S525求出a1，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m的值 【详解】 解：由题意得5a154225，解得a11， 2所以ana1(n1)d12(n1)2n1， 因为a2m15，所以22m115，解得m4， 故选：A 15．B 【分析】

先求得an2n1，根据anm，求得n列的求和公式，即可求解. 【详解】

2由题意，等差数列an的前n项和为Sn，且Snn，可得an2n1，

m12k1，进而得到b2k1，结合等差数22因为anm，即2n1m，解得n当m2k1，（kN*）时，即b2k1m1， 2mm1mmkm1， bmk，即bmm12m12m2k1， 2b19113521950.

从而b1b3b5故选：B. 16．B 【分析】

根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】

根据题意可知正整数能被21整除余2，

an21n+2， a5215+2107.

故选：B. 17．A 【分析】

22由a1a9，可得a14d，从而得Snd29dnn，然后利用二次函数的性质求其最22值即可

【详解】

解：设递减的等差数列an的公差为d（d0），

2222因为a1a9，所以a1(a18d)，化简得a14d，

所以Snna1对称轴为nn(n1)ddd9dd4dnn2nn2n， 222229， 2因为nN+，

d0， 2所以当n4或n5时，Sn取最大值， 故选：A 18．B 【分析】

根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由an112an1(nN)，则an1an(nN)， 22即an1an1， 21为公差的等差数列， 2所以数列an是以1为首项，

所以ana1n1d1n1所以a2021故选：B 19．D 【分析】

1n1， 22202111011. 2由等差数列的通项公式及前n项和公式求出a1和d，即可求得a5. 【详解】

解：设数列an的首项为a1，公差为d， 则由S52S4，a2a48，

54434a1d5a12d22得：a1da13d8，

即

3a12d0a12d4， ，

解得：

a12d3a5a14d24310.

故选：D. 20．B 【分析】

根据已知条件判断an0时对应的n的范围，由此求得Sn的最大值. 【详解】

a50a50a60，所以an01n5， 依题意a4a7a5a60d0所以an的前n项和Sn的最大值为S5.

二、多选题

21．ABC 【分析】

（0n2）数列an的前n项和为S，且满足an4Sn1Sn（，a1nSn0）SnSn14Sn1Sn0，化为：Sn，n2时，anSnSn1【详解】

1，可得：41114，利用等差数列的通项公式可得，SnSn1Sn111，进而求出an． 4n4n14nn11， 4（0n2）数列an的前n项和为S，且满足an4Sn1Sn（，a1nSn0）114， ∴SnSn14Sn1Sn0，化为：

SnSn1∴数列1是等差数列，公差为4， Sn144n14n，可得Sn1， ∴Sn4n∴n2时，anSnSn1111， 4n4n14nn11(n1)4an，

1(n2)4nn1对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确. 故选：ABC.

【点睛】

114，进而求得其它性本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为

SnSn1质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题 22．BCD 【分析】

由{an}是等差数列及2a12a3S5,，求出a1与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列{an}的公差为d.

由2a12a3S5,有2a12a12d5a1所以a70,则选项D正确.

54d，即a16d0 276d7a13d21d,无法判断其是否有最小值，故A错误. 2aa131313a70,故B正确. 选项B. S1312选项A. S77a1选项C. S9S4a9a8a7a6a55a70,所以S4S9，故C正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件

2a12a3S5,得到a16d0，即a70，然后由等差数列的性质和前n项和公式判断,

属于中档题. 23．ABD 【分析】

由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得a19d，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】

∵等差数列an的前n项和为Sn，a15a3S8， ∴a15a12d8a187d，解得a19d， 2故a10a19d0，故A正确；

∵a9a18ddd，a11a110dd，故有a9a11，故B正确； 该数列的前n项和Snna1故C错误；

nn12n219dddn ，它的最值，还跟d的值有关，

22由于S66a1确， 故选：ABD. 【点睛】

651312d39d，S1313a1d39d，故S6S13，故D正22思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.

24．无

25．ABD 【分析】

根据a11，a21，an2an1an，计算可知A,B正确；根据a1a2，

a3a4a2，a5a6a4，a7a8a6，，a2019a2020a2018，累加可知C不正

222确；根据a1a2a1，a2a2(a3a1)a2a3a1a2，a3a3(a4a2)a3a4a2a3，2a4a4(a5a3)a4a5a3a4，

2，a2019a2019(a2020a2018)a2019a2020a2018a2019，

累加可知D正确. 【详解】

依题意可知，a11，a21，an2an1an，

a3a1a2112，a4a2a3123，a5a3a4235，a6a4a5358，故A正确； a7a5a65813，所以

S7a1a2a3a4a5a6a71123581333，故B正确；

由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，a7a8a6，可得

，a2019a2020a2018，

a1a3a5a7故C不正确；

a2019a2a4a2a6a4a8a6a2020a2018a2020，

22a12a2a1，a2a2(a3a1)a2a3a1a2，a3a3(a4a2)a3a4a2a3，2a4a4(a5a3)a4a5a3a4，

2，a2019a2019(a2020a2018)a2019a2020a2018a2019，

所以

222a12a2a3a42a2019a1a2a2a3a1a2a3a4a2a3a4a5a3a4a2019a2020a2018a2019 a2019a2020，

22a12a2a2019a2020，故D正确. 所以

a2019故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 26．ACD 【分析】

由题可得a16d，d0，Snd213dnn，求出a8d0可判断A；利用二次函22d213dnn0，解出即可判断D. 22数的性质可判断B；求出S4,S9可判断C；令Sn【详解】

设等差数列{an}的公差为d，则2a5a112a1+4d+a1+10d0，解得a16d，

a10，d0，且Snna1+对于A，

nn1d13ddn2n， 222a8a1+7d6d7dd0，故A正确；

d213d13nn的对称轴为n，开口向下，故n6或7时，Sn取得最大222值，故B错误；

d13dd13d48d26d18d，S981918d，故对于C，S4162222对于B，SnS4S9，故C正确；

对于D，令Sn故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列Snna1+d213dnn0，解得0n13，故n的最大值为12，故D正确. 22nn1dddn2a1n是关于n的二次函数，222当a1与d异号时，Sn在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n1取最值. 27．ABD 【分析】

由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项. 【详解】

A.因为数列an是等差数列，所以an1and，即an1and，所以A正确； B. 因为数列an是等差数列，所以an1and，那么

an1anan1and，所以数列an是等差数列，故B正确；

C.

11aan1d1n，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正an1ananan1anan1an确；

D.根据等差数列的性质可知2an1anan2，所以an1是an与an2的等差中项，故D正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 28．BCD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A，若an是等差数列，如ann，

2222则anan1n(n1)2n1不是常数，故an不是等方差数列，故A错误；

对于B，数列

1中，an2an21[(1)n]2[(1)n1]20是常数，

n{(1)n}是等方差数列，故B正确；

对于C，数列an中的项列举出来是，a1，a2，数列akn中的项列举出来是，ak，a2k，a3k，

，ak，，

22a2ka2k1p，将这k个式子累加2222a2ka2k1kp，a2kakkp，

，a2k，

a得a2k12k122222akak2ak1ak3ak22k2k22ak12k32ak2aaa22*akakpa(kN,k为常数)是等方差数列，故C正确； ，knn1kn对于D，

an是等差数列，anan1d，则设andnm

an是等方差数列，

222anan1anan1ddnmdndmad2dn(2md)d是常数，故222d20，故d0，所以(2md)d0，anan10是常数，故D正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 29．AC 【分析】

由S535求出a37，再由a411可得公差为da4a34，从而可求得其通项公式和前n项和公式 【详解】

由题可知，S55a335，即a37，所以等差数列an的公差da4a34， 所以ana4n4d4n5，Sn4n51n2n23n.

2故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力. 30．ABD 【分析】

由已知递推式可得数列可得结果. 【详解】

an1是首项为a112，公差为1的等差数列，结合选项

anan1111得an12an111，

2∴an1即数列

an111，

an1是首项为a112，公差为1的等差数列，

∴an12(n1)1n1，

2∴ann2n，得a28，由二次函数的性质得数列an为递增数列，

所以易知ABD正确， 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.