２Ｏ１２ ＮＯ．２５ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ １ｎｎｏｖａｔ１ｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 科教研究 基于抛物线切点弦性质的拓展性研究 周丽 （江苏省宜兴中等专业学校 江苏宜兴 ２１ ４２０６） 摘 要：在直线ｘ＝一ｍ（ｍ＞０）上任取一点Ｐ作抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的切线，切点为Ａ．Ｂ，则直线ＡＢ过定点（ｍ，０）。过抛物线 Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０１的外任一点Ｐ作抛物线的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，弦ＡＢ的中点Ｑ，则ＰＱ平行于ｘ轴ｌＰ与切点弦中点的连线恰好被抛物 线平分。 关键词：抛物线 切点 弦性质 中图分类号：Ｇ６ ４ ２ 文献标识码：Ａ 抛物线是圆锥曲线中重要的一支内容。抛物线切点弦蕴涵着 抛物线的许多别具一格的几何性质，体现了数与形的完美结合，也 折射出数学世界内在的美。笔者也尝试对抛物线切点弦性质做一 些拓展性的归纳与思考。 文章编号：１ ６７ ３－９７ ９ ５（２０１２）０９（ａ）一００３６－－０ ２ ｉ＆ｋ ９９］￣ＡＢ的 ， 性质１：过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线任一点Ｐ作抛物线的 切线，切点分别是Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过焦点。 证明：设切点分别为Ａ（ｘＩ，Ｙ。），Ｂ（ｘ：，Ｙ２）， 所以直线ＡＢ方程： — 而２ｐ 一易）， 令 ＝ 。。 ｔ得 ｌ ： （ｘ－旁一 一一，２ｐ， 设直线ＡＢ与 轴的交点为Ｇ，Ｇ（一 ，０）， 则切线方程为，ＹＹｌ＝ｐ（ｘ＋ ）ｙｙ２＝ｐ（ｘ＋Ｘ２）， 由于Ｐ（—Ｐ ）是两切线的交点，所以满足： ， 又切线ＰＡ，ＰＢ的方程分别为： ＋。ｙ ＝ｐ（一 ＋ ），ｙ。ｙ：＝ｐ（一 ＋． ）， 从而得切点弦ＡＢ的方程为 ．ｙ＝ｐ（一 ｐ＋ ）故直线ＡＢ过焦点。 ，旁③ Ｈ ④ ，所以Ｐ（．Ｙ ＩＹ２一， 由③，④联立消 得 ： ）。 性质２：过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的对称轴上任一ＡＰ（－ｍ，Ｏ） （ｍ＞Ｏ）作抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ，则直线ＡＢ过定点 一从这部分论证我们进一步推论：过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）外 点Ｐ（位于Ｙ轴左边）作抛物线的切线，ｔ）：ＪＡ￣Ａ，Ｂ，则ＡＢ与 轴的 （ ，ｏ１。 交ＡＧ的横坐标与ＡＰ的横坐标互为相反数。 ￣Ｙｚ由上面的证明中我们发现Ｐ点坐标为（Ｙ。证明：设切点Ａ（ｘｏ，Ｙ。），则切线方程为ＹＹｏ＝ｐ（ｘ＋ｘｏ） 由干切线过点Ｐ（一ｍ，０），所以ｏ＝ｐ（一ｍ＋Ｘｏ）。 ， ２ｐ专丝），而ＡＢ中 Ｙ￣ ＋Ｙ２得Ｘｏ＝ｍ，因此直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍ，故直线ＡＢ过定点（ｍ，０） 点的纵坐标也为—性质１，２：都是切点弦过定点的问题，这两条性质从结构也证 明上看，如此相似，不得不产生联想，假如说把它们结合起来呢？ 性质３：过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的外任一点Ｐ作抛物线的两条 一，所以我们得到一冬 的结论。 推论：在直线Ｘ＝一ｍ（ｍ＞０）上任取一点Ｐ作抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０） 的切线，切点为Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点（ｍ，０）。 切线，切点分别为Ａ，Ｂ，弦ＡＢ的中点Ｑ，则上Ｊ 半仃十ｘ轴。 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的 证：设切点分别为Ａ（Ｘ１ Ｙ ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２） 距离相等。那么，从性质１，２的联系来看，直线 ＝一 上的点是否 则切线方程为． ＝ｐ（ｘ＋ＸＩ），ＹＹ２＝ｐ（ｘ＋ｘ２）， 由于两切线交于直线 ＝一ｍ上的一点ｐ（一ｒｎ，Ｙ。） 也有类似的性质呢？经过尝试，我们可以证得： 如图，过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０１外一点Ｐ（位于Ｙ轴左边）作抛物 线的切线，切点为Ａ，Ｂ，过Ｐ作 轴的垂线，，过Ａ作ＡＭ上，于Ｍ，过 ｔＹｚＢ作ＢＮ上，于Ｎ，Ｇ为直线ＡＢ与 轴的交点，则Ｐ（：ｖ所以满足Ｙ０Ｙｌ＝ｐ（一ｍ＋ｘ１），Ｙ０Ｙ２＝ｐ（一ｍ＋ ２） 从而得切点弦ＡＢ的方程为ＹｏＹ＝ｐ（一ｍ＋ ），故直线ＡＢ过定点 ，ｚ口丛｝ ）， ｍ，０），假如这条推论还有怀疑，我们不妨从另一角度来进行论证： 证明：设切点分别为Ａ（ ，Ｙ．），Ｂ（Ｘ２ ２）。 Ｇ（一 ，ｏ），Ｍ（Ｙ ｌＹ２ ２ Ｎ（Ｙ ，Ｙ。 ｐ：２朋① ２＝ｚ ： （差 ，Ｂ（若 ， ）， ， 过Ｐ作ＰＲ 轴交抛物线干Ｒ，交ＡＢ干Ｑ，则Ｒ（ 专 ， ） （下转３８页） 两 减 ３ ６ ’中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｌｏｎ Ｈｅｒａｌｄ ２０１ ２ ＮＯ ２５ Ｃ：ｈｌｎｏ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｌｎｎｏｖａｔＩＯｎ Ｈｅｒａｌｄ 科教研究 （１）“当 无限增大时 直观语言“要多大有多大” 数学语 ＝一ｃ＋ 。 言对于任意给定的Ｎ＞０，当 ＞Ｎ时。” 第二年（ｎ：２）时，根据需求函数确定价格，即： ＝ａ一６Ｑ２。 （ ） 无限趋近常数 直观语言 与 的距离要多近就有 又影响第三年的供给，依次下去……则得第 年 多近 与Ａ的距离在数学上用１ 一 Ｉ来表示，即Ｉ 一 Ｉ的 ：口一ｂＱ，Ｑ ＋。：一ｃ＋ ， 值要多小就有多小— 用ｓ表示距离小的程度，对于任意的Ｓ（＞ 即 ａ＋ｂｃ（ 一 ａ ＋ｂｃ）．＝一 。 ０），ｌＸ 一ＡＩ＜ｓ。 结合（１）（２）便能容易的得出数列极限的ｓ—Ｎ定义。 由此，可得： 定义２（ｓ—Ｎ定义）：设数列｛Ｘ｝和常数 ，如果对于任意的正 ：丽ａ＋ｂｃ＋（一ｂｄ）”（ 一 ａ ＋ｂｃ）＋ 。 数ｓ，总存在正整数Ｊ）ｖ，使得当，ｚ＞Ⅳ时，恒有Ｉ 一 Ｉ＜占成立， 特别地，如果对某商品得知 则称数列｛ ｝以 为极限，记作： ＝０．６，日＝１．４，ｂ＝Ｏ．０２５，Ｃ＝２，ｄ＝３０ ｌｉ ＝Ａ或 — Ａ（ｎ— ∞）。 则 ＝ ２９（一 ３ ”＝ｌ，２＇ 以及ｌｉｍ ：．２ ９一 ，≈Ｏ．８２８６。通 ＂—｝∞ ’、 通过定义的讲解，使学生认识到对数列求极限是一个不断变 化的过程，要用动的观点来认识数列极限的概念。要求学生掌握极 过上述分析，此商品的价格将稳定在０．８２８６单位价格。 限的思想，不要求掌握极限的ｓ—Ｎ定义以及用ｓ—Ｎ定义证明某 ３．５课后作业 要求学生课后查阅数学家Ｃａｕｃｈｙ，Ａｕｇｕｓｔｉｎ—Ｌｏｕｉｓ的生平以及 些数列的极限。 ３．４数列极限的应用一蛛网模型 对数学的贡献，特别了解数列极限的ｓ—Ｎ定义是如何建立起来 由一般市场规律，不考虑科技因素等其他因素影响，一种商品 的，这样学生通过自己查阅就能了解数学家的工作以及数学概念 若供大于求，则价格就会降低。随着价格的降低，需求量会随之上 的发展过程。 升，同时供给量随之减少。当价格降到一定程度后，就会出现明显 供不应求的局面，这时价格会上升。随着价格的上升，需求量会随 ４结语 之降低，同时供给量随之增加。当价格升到一定程度后，会出现明 通过上述一系列的教学内容的设计，使得学生对于数列极限 显供大干求的局面，价格又会降低……如此循环往复，商品的价格 这个概念有了比较全面的了解，不再畏惧数列极限这个概念的高 会围绕“价值”上下波动。 度抽象性了。对于微积分课程中其他的基本概念也可以采用上述 我们要用数学对上述问题进行量化。为简单起见，我们取需求 的方法，以达到教学目的。 函数和供应函数分别为线性函数如下： 参考文献 需求函数为：Ｐ＝口一６ 供应函数为： ＝一ｃ＋ ，其中， ［１］张从军，等．微积分【Ｍ］．２Ｎ．复旦大学出版社，２００９． ［２】顾静相，等．经济应用数学【Ｍ】．２版．高等教育出版社，２００８． ａ，ｂ，Ｃ，ｄ为非负实数。 【３】张从军，等．常见经济问题的数学解析【Ｍ】．东南大学出版社， ２００４． 第一年（ｎ＝１）时，设价格为 ，需求为ＱＩ，则有 ＝ａ—ｂＱ，。 供应商根据第一年的价格 来制定第二年（ ：２）时的产量，即 （上接３６页） 又由性质４知Ｑ是ＡＢ的中点，显然Ｐ是ＭＮ的中点， ￣ＪＩＰＱ是直角梯形的中位线，． ．１ＡＭＩ＋ＩＢⅣｌ＝２１ＰＱｌ，．‘．ＩＰＯＩ＝２ｌ Ｉ ！ ！‘｜ＰＲ１ Ｉ± ：一 Ｉ（Ｙ．＋ ） 一４ｙ．Ｙ （ ．一ｙ２） ．．Ｒ是ＰＱ的中点。也就是说过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（Ｐ＞０）外一点Ｐ作抛 Ｉ８ｐ ２ｐ Ｉ一 ８ｐ 一 ８ｐ ’ 物线的切线，Ｐ与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分。 又ｆ ： ｙｌ２一 ＝ ＝， 等 ＝ 抛物线切点弦的性质既相互，又相互联系，彼此蕴涵，无 不反映了抛物线切点弦的独特魅力。相信它还有更多引人人胜的 特性期待着我们去探索，去发掘。 Ｍ Ｊ＋ ＝止 ＝ ・ ，．ＩＢＮＩ－４１ ３ ８ 中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
