带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值及多解问题课时训练含答案

[基础训练]

1．(2017·甘肃河西五市第一次联考)(多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一q

个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为m，发射速度qBa

大小都为v0，且满足v0＝m，发射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是( )

A．粒子有可能打到A点

B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出

v20

答案：AD 解析：根据Bqv0＝mR，可知粒子的运动半径R＝a，因此θ＝60°时，粒子恰好从A点飞出，故A正确；以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期的六分之一，在磁场中运动时间最长，故B错误；以θ＝0°飞入的粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是周期的六分之一，θ从0°到60°，粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；因为以θ＝0°飞入的粒子在磁场中恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确．

2．(2017·江西红色七校第一次联考)(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁

场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( )

A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 mv

答案：AD 解析：在磁场中轨迹半径r＝qB，在比荷相同时，轨迹半径与速率成正比，如果入射速度相同，则粒子在磁场中的运动轨迹也相同，故A正确；入射速度不同的粒子，若它们入射速度方向相同，则它们的运动时间有可能相同，虽然轨迹不一样，但从磁场的左边射出的粒子，圆心角却相同(θ＝π)，则θθ2πmm

粒子在磁场中运动的时间t＝2πT＝2π·qB＝qB·θ(θ为转过的圆心角)，所以从磁场的左边射出的粒子运动时间相同，故B错误；由A、B的分析可得，从磁场的左边射出的粒子运动时间一定相同，但半径可能不同，所以运动轨迹也不同，故m

C错误；由于它们的周期相同，在磁场中运动的时间t＝qBθ，在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角也一定越大，故D正确．

3．如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ＝60°，试分析计算：

(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大？

(2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？ 答案：见解析

mv0

解析：不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为R＝qB 如图所示，有O1O＝O2O＝R＝O1A＝O2B

带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为 2πR2πmT＝v＝qB.

0

(1)若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ1＝120°

3mv0

A点与O点相距x＝3R＝qB

若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ2＝60°

mv0

B点与O点相距y＝R＝qB.

(2)若粒子带负电，它从O到A所用的时间为 θ12πmt1＝360°T＝3qB

若粒子带正电，它从O到B所用的时间为 θ2πmt2＝360°T＝3qB.

4．如图所示，S为电子射线源，它能在如图所示纸面上的360°范围内发射速率相等、质量为m、电荷量为e的电子．MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L.挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.

(1)要使S发射的电子能到达挡板，则发射电子的速率至少应多大？ eBL

(2)若S发射电子的速率为m时，挡板被电子击中的范围有多大？(要求指明在图示纸面内MN挡板被电子击中的范围，并在图示中画出能击中挡板距O上下最远的电子的运动轨迹)

eBL

答案：(1)2m (2)击中挡板上、下两点间长度(1＋3)L

mv

解析：(1)由R＝eB可知，当R最小且保证此时电子能到达挡板时，v有最小值．

LmveBL

所以R＝2＝eB，即v＝2m. eBLmm

mv′

(2)先计算此时R′＝eB＝eB＝L

分析电子群运动轨迹，能击中挡板距O上下最远的电子运动轨迹如图所示，击中挡板的上、下极端位置b、a两点间范围即为所求xba＝L＋Ltan 60°＝(1＋3)L.

[能力提升]

5．(2017·山东滨州一模)如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB

边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计．求：

(1)磁场的磁感应强度B； (2)正方形区域的边长；

(3)粒子再次回到M点所用的时间． mv04πR

答案：(1)qR (2)4R (3)v

0

解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，

v20

qv0B＝mr，

1

由几何关系r1＝R， mv0

解得B＝qR. (2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB边射出，则有 v20

qv0B＝mr，

2mv0

r2＝Bq＝R，

正方形的边长L＝2r1＋2r2＝4R.

2πR

(3)粒子在圆形磁场中做圆周运动的周期T1＝v，

01πR

在圆形磁场中运动的时间t1＝2T1＝v，

0

2πR

粒子在正方形区域做圆周运动的周期T2＝v，

033πRt2＝2T2＝v，

0

4πR

再次回到M点的时间为t＝t1＋t2＝v.

0

6．如图所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场．大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：

(1)磁场的磁感应强度大小；

(2)要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度； (3)AC、AD边上可能有粒子射出的范围． πm3πL

答案：(1)3qt (2)12t (3)见解析

00

v22πr2πm

解析：(1)由洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝mr，周期：T＝v＝qB 1

当粒子垂直AD边射出时，根据几何关系有：圆心角为60°，t0＝6T πm解得：B＝3qt. 0

(2)当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子能从CD边射出，半径最大，速度L3

为最大值，此时：r＝2sin 60°＝4L

v2mv

根据qvB＝mr得：r＝qB

3πL

解得：vmax＝12t 0

3πL

所以，粒子射入的速度应满足v≤12t. 0

(3)由(2)知，当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C最远，故有粒LL

子射出的范围为CE段，xCE＝2cos 60°＝4

当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时，射出的粒子距D点最远，rL故有粒子射出的范围为DF段，xDF＝sin 60°＝2.

7．某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．

(1)求磁场区域的宽度h；

(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值． qBL332

答案：(1)3L－3d1－ (2)m－d

2

qBL3L

 (3)mn＋1－3d1≤n<－1，n取整数

3d

解析：(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r，粒子从O点到P点的运动轨迹如图所示

根据题意L＝ 3rsin 30°＋3dcos 30° 且h＝r(1－cos 30°) 32

解得h＝3L－3d1－.

2

(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′ v2

mr＝qvB v′2m＝qv′B r′

由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30° qBL3解得Δv＝v－v′＝m－d.

(3)设粒子经过上方磁场共n次

由题意知L＝(2n＋2)dcos 30°＋(2n＋2)rnsin 30°

2

vn

且m＝qvnB

rn

qBL－3d3L

1≤n<解得vn＝m

3d－1，n取整数． n＋1