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高等代数的基本内容

从高等代数总的问题出发，代数学又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。

高等代数与其他学科的关系

代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？

首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离

散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。

世界闻名的中国数学家 （主要）

华罗庚 (1910年～1985年)，江苏金坛人。初中毕业后，他到上海中华职业学校学习，未读完即被召回。1930年，他在家乡写成的一篇论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不可能成立之理由》在《科学》杂志发表，引起了千里之外的清华大学算学系主任熊庆来的注意，1931年被调到清华大学任助理员。1936年，经访问清华的维纳推荐到当时解析数论研究的世界中心剑桥大学作访问学者，在哈代名下从事数论研究，两年内发表论文十余篇，在华林问题、塔利问题、完整三角和等方面取得重要结果，引起国际同行重视。1938年回国，在昆明联大期间撰写专著《堆垒素数论》，给华罗庚带来了世界声誉。除了解析数论，华罗庚后又在代数学、多复变函数论、数值分析等领域作出一系列重大贡献。华罗庚1946年应邀赴美国普林斯顿高等研究院工作。1950年毅然放弃伊利诺大学数学终身教授职位回到中国。华罗庚回国后，即参与了中国科学院数学研究所的筹建，1952年正式出任所长。华罗庚是美、德等多国科学院的院士。 陈省身 （1911年～2004年），浙江嘉兴人。1926年入南开大学，1930年到清华大学攻读研究生， 1934年获硕士学位，是中国自己培养的第一名数学研究生。1934年赴德国汉堡大学，师从著名微分几何学家柏拉须开，不到两年就获得了博士学位。经柏拉须开推荐，到巴黎在E．嘉当名下访问研究，1937年回国后任教于西南联大。1943年应美国O．维布伦、H．外尔之邀赴普林斯顿高等研究院工作两年。在此期间，他完成了将高斯—博内公式推广到高维曲面和紧致黎曼流形上的经典性工作，引起了国际微分几何学界的震惊。之后他又回到中国，中央研究院数学研究所的筹办工作实际由他负责。1949年再度赴美，先后在芝加哥大学和柏克莱加州大学任终身教授，1981年创办柏克莱数学科学研究所。陈省身是现代微分几何的奠基人，1984年荣获沃尔夫奖，是迄今获此殊荣的唯一华人。1985年，陈省身在他的母校天津南开大学创建了南开数学研究所。 许宝騄 (1910年～1970年)，北京人。1929年由燕京大学化学系转到清华大学算学系，1936年赴英国伦敦大学学院高尔顿实验室和统计系学习数理统计，1938年获博士学位。许宝騄身处由费希尔领导的英国统计学派的中心，在此受到很大影响。他1938年发表的重要论文《最优无偏二次方差估计》，是国际上关于方差分量和方差数值二次估计的大量文献的起点。许宝騄是多元统计分析的奠基人之一，对极限分布、试验设计等也有重要贡献。一些外国学者称赞许宝騄是“20世纪最深刻、最富有创造性的统计学家之一”。

丘成桐（1949－）当代数学大师，现任哈佛大学讲座教授，1971年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位。他发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的革命。解决了Calabi猜测，正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。他年仅33岁时就获得代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖（1982），是MacArthur天才奖（1985），瑞典皇家科学院Crafoord奖（1994），美国国家科学奖（1997）等众多大奖获得者。他是美国科学院院士，同时是中国科学院和俄罗斯科学院的外籍院士。筹资成立

浙江大学数学科学研究中心，香港中文大学数学研究所和北京晨兴数学研究所三大学术机构，担任主任，不取分文报酬。培养的50余位博士中多数是中国人，有许多已经是国际上非常杰出的数学家。由于对中国数学发展的突出贡献获得2003年度中华人民共和国科学技术合作奖。 吴文俊（1919－） 著名数学家，中科院数学机械化实验室名誉主任，中国科学院院士。1946年由陈省身推荐到中央研究院任助理研究员。1947年留学法国，获得法国国家科学博士学位。在示性类和示嵌类等研究方面取得吴公式、吴示性类等一系列突出成果，是中国数学机械化研究的创始人。他获得过国家自然科学一等奖（1956），国际自动推理最高奖Herbrand奖（1997），以及首届国家最高科学技术奖（2001）。他还是第三世界科学院院士，获得过第三世界科学院数学奖（1990）。

以华人命名的数学成果（主要）

华氏定理 数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

苏氏锥面 数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“ 苏氏锥面”。

熊氏无穷级 数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”。

陈示性类 数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。

周氏坐标 数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标”；另外还有以他的姓命名的“周氏定理”和“周氏环”。

吴氏方法 数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”；另外还有以他他的姓命名的“吴氏公式”。

王 香Ｂ 数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王 香Ｂ ”。

柯氏定理 数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。

陈氏定理 数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。 杨—张定理 数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。 陆氏猜想 数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。

夏氏不等式 数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”。

姜氏空间 数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他的姓命名的“姜氏子群”。

侯氏定理 数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。 周氏猜测 数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。 王氏定理 数学家王戌堂关于点集拓扑学方面的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。 袁氏引理 数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。

非线性科学

所谓线性，指两个变量之间可用直角坐标中一段直线表示的一种关系，例如正比关系。由线性关系描述的系统满足叠加原理，通过研究其对简单输入的响应，叠加起来就可导出和描述其他输入的响应。线性系统的整体性态通常可由各局部性态叠加或放大得到，从而比较

容易分析，但也限制了它的适用范围。在自然科学和工程技术里，不少现象不能采用线性模型描述，如摆的大幅度摆动，继电器二极管的特性，自激振荡电路的机理等。从逻辑上说，非线性就是不满足线性叠加原理的性质。但人们真正关注的，是仅用线性理论所不能解释的那些现象，统称为非线性现象。

每一门科学有它自己的非线性问题，并形成各自的非线性学科分支。非线性科学不是各门非线性学科的简单综合 ，它研究出现于各种具体的非线性现象中的那些共性。这些共性有的已可以用适当的数学工具描述，表现为一些数学定律，但有的还难找到相应的数学描述，没有严格的数学理论。非线性科学着眼于定量的规律，主要用于自然科学和工程技术，对社会科学的应用一般还局限在类比和猜测，难以有实质性的定量结果。

非线性科学中较成熟的部分是非线性动力学，19世纪末法国H.庞加莱的两项工作——常微分方程的定性理论和天体运动中定量计算使他成为非线性科学最早的代表人物。20世纪前叶，无线电技术促使非线性振动理论的诞生，继承和发展了庞加莱的成果。20世纪60年代后，大气科学和流体力学中利用计算机进行的数值研究，分析力学中数学理论的进展，以及统计物理中远离平衡态系统性态的研究等等，促进了在横向联系上发现并研究各类不同系统由于非线性而导致的共性，即非线性科学。

一般认为非线性科学应包括以下3个主要部分：孤立波，混沌，分形。孤立波是在传播中形状不变的单波，有些孤立波在彼此碰撞后仍能保持原形，带有粒子的性质，称为孤立子，它们在不少自然现象和工程问题中遇到，如光导纤维通信技术的改进需要对光学孤立子性质有进一步的了解。混沌是一种由确定性规律支配却貌似无规的运动过程。近几十年通过数值实验、物理观测和数学分析得到确认并在自然和工程系统里找到许多有趣的例子。分形是一个几何概念，它由像云彩、海岸线、树枝、闪电等不规整但具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。按照这种理论例如可测出某一段海岸线可能是 1.32维的分形。上述3项内容在一个具体的非线性课题里又往往是联系着的。如耗散系统的混沌过程往往可用相空间里一个分形描述。又如近代前沿课题图型动力学里，某一系统的整体空间图型可能是分形，而局部的时间动态又要用混沌过程刻画。再如在分岔理论里，要考虑系统怎样由于其参量改变而导致性态发生定性的变化，它除了引用传统的平衡、振动、稳定性等概念外，也考虑涉及混沌动态和分形图型的分岔问题。

由于学科的交叉性，非线性科学和一些新学术如突变论、协同论、耗散结构论有相通处，并从中吸取有用的概念理论。但非线性现象很多，实证的非线性科学只考虑那些机制比较清楚，现象可以观测、实验，且通常还有适当的数学描述和分析工具的研究领域。随着科学技术的发展，这个范围将不断扩大。