2011兰州中考数学试题及答案

全卷共150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．）

1． （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是

A．x210 x2

2B．axbxc0

C．(x1)(x2)1 D．3x2xy5y0

222． （2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为

A．y

2

x

y B．y2 xC．y1 2xD．y1 2x1 -2 O x

3． （2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O

于点C，若∠A=25°，则∠D等于 A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

D

B O

A

C

4． （2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB

绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 A．

1 2B．

1 3C．

1 4D．

2 4B’ C’ A

C B

1

5． （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线yx2x1的顶点坐标是

A．（1，0）

B．（－1，0）

C．（－2，1）

D．（2，－1）

26． （2011甘肃兰州，6，4分）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中

的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是

2

1 1 1

A．

B．

C．

D．

7． （2011甘肃兰州，7，4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除

颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是

A．m=3，n=5 B．m=n=4

C．m+n=4

D．m+n=8

8． （2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是

A．（

31，） 22B．（31，） 22C．（31，） 22 D．（1，23） 229． （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数yaxbxc的图象中，刘星同学

2观察得出了下面四条信息：（1）b4ac0；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0．你

认为其中错误的有 ．．A．2个

B．3个 y 1 -1 O 1 x C．4个

D．1个

210．（2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程x2x50时，原方程应变形为

A．(x1)6

2B．(x2)9

2C．(x1)6

2D．(x2)9

211．（2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全

班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 A．x(x1)2070 C．2x(x1)2070

B．x(x1)2070 D．

x(x1)2070 22

12．（2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，

∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为 A．6

B．13

C．13

D．213

A O B C

13．（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位

似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．

其中真命题的个数是 A．1

B．2

C．3

D．4

14．（2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边

上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是

y 1 -1 O x 1 O

1 x B．

y 1 O

1 x C．

y 1 O

1 D．

x y A E G

B F

C

H D

A．

15．（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边

k22k1分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y的图象上．若点A的坐标为（－

x2，－2），则k的值为 A．1

y

B．－3

C．4

D．1或－3

B O A

C x D

3

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分．）

16．（2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=

度．

D O

B

C

17．（2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，

坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 ．

18．（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于

地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m．（结果用π表示）

O O O 2O l

19．（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程a(xm)b0的解是x1=－2，x2=1（a，

m，b均为常数，a≠0），则方程a(xm2)b0的解是 ． 20．（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，

再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．

2……

21．（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=3． 21计算84cos(3.14)tan的值．

301

22．（2011甘肃兰州，22，7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转

4

盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．记S=x+y． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；

（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？

1 4 A

2 3 2 6 B

4

23．（2011甘肃兰州，23，7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，

5

其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图．根据图示，解答下列问题： （1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？

（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；

（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？ （4）请根据以上结论谈谈你的看法．

超过1小时 270° 未超过1小时 人数 锻炼未超过1小时人数频数分布直方图

450 400 350 300 250 200 150 120 100 50 20 O 不喜欢 没时间

其它

原因

6

24．（2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数ykx3的图象与反比例函数ym（x>0）x的图象交于点P， PA⊥x轴于点A， PB⊥y轴于点B， 一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，（1）求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的表达式；

（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

y D C A O B P

25．（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过

7

OC1． CA2x 网格的交点A、B、C． （1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD． （2）请在（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D的半径= （结果保留根号）；

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结

果保留π）；

④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由． A B C O

26．（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐

8

角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA底边BC.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定腰AB的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°= ．

（2）对于0°图①

C

C

A

图②

27．（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸

片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并

予以证明；若不存在，请说明理由． A

E

D

2

2

O B

F

C

9

28．（2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的

边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线yaxbxc经过点A、B和D（4，22）． 3（1）求抛物线的表达式．

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，

沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ（cm）．

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取

2

2

5时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形4是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

y C O A P Q B

10

D x