北京市西城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

北京市西城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、单选题(共8题；共16分)

1．（2分）下列图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）

A．

B． C． D．

【答案】B

【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

2．（2分）下列运算中，结果正确的是（ ）

A．(𝑎2)3=𝑎5

B．(3𝑎)2=6𝑎2 C．𝑎6÷𝑎2=𝑎3 D．𝑎2⋅𝑎3=𝑎5【答案】D

【解析】【解答】解：A. (𝑎2)3=𝑎5，不符合题意；

B. (3𝑎)2=9𝑎2，不符合题意； C. 𝑎6÷𝑎2=𝑎4，不符合题意； D. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，符合题意； 故答案为：D

【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法及同底数幂的乘法逐项判断即可。

3．（2分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ )

A．①

B．② C．③ D．④

/ 26

1

【答案】D

【解析】【解答】解：A、图①中BD不是AC边上的高，故A不符合题意；

B、图②中EA不是AC边上的高，故B不符合题意； C、图③中BE不是AC边上的高，故C不符合题意； D、图④中BD是AC边上的高，故D符合题意. 故答案为：D.

【分析】根据三角形高线的定义，逐项进行判断，即可得出答案.

4．（2分）如图是一个平分角的仪器，其中𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐵𝐶=𝐷𝐶．将点A放在一个角的顶点，AB和

AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（ ）

A．SSS

【答案】A

B．ASA C．SAS D．AAS

【解析】【解答】在△ADC和△ABC中

𝐴𝐷=𝐴𝐵∵{𝐷𝐶=𝐵𝐶

𝐴𝐶=𝐴𝐶

所以△ADC△△ABC（SSS） 故答案为：A．

【分析】根据SSS证明三角形全等即可。

5．（2分）下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）

A．𝑐=1 4𝑐4C．1=−1

𝑎−𝑏𝑏−𝑎【答案】B

B．1+1=1 𝑎𝑏𝑎+𝑏2

D．2𝑎−4=𝑎−2 𝑎+4𝑎+4𝑎+2【解析】【解答】A.𝑐=1，所以此选项变形不符合题意；

4𝑐4B.1+1=𝑏+𝑎=𝑎+𝑏≠1，所以此选项变形符合题意； 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎+𝑏

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111

C.𝑎−𝑏=−(𝑏−𝑎)=−𝑏−𝑎，所以此选项变形不符合题意； (𝑎+2)(𝑎−2)𝑎−2𝑎2−4==𝑎+2，所以此选项变形不符合题意． D.22𝑎+4𝑎+4(𝑎+2)

故答案为：B．

【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法逐项判断即可。

6．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是

（ ） A．10

【答案】C

【解析】【解答】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则

B．8 C．7 D．4

4−4<𝑚<4+4，即0<𝑚<8 又𝑚为整数，则整数m的最大值是7 故答案为：C

【分析】根据三角形的三边关系即可得出答案。

7．（2分）某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具

店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（ ） A．24−20=1 𝑥𝑥−2C．20−24=1 𝑥−2𝑥【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得：王老师花费20元买了(𝑥−2)本笔记本， 2024则可列方程为−=1，

𝑥−2𝑥B．24−20=1

𝑥−2𝑥D．20−24=1

𝑥+2𝑥故答案为：C．

【分析】根据题意，设王老师花费20元买了(𝑥−2)本笔记本，即可列出方程。

8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（𝑚>0）．若△ABC是

等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶，当0<𝑎<1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）

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A．0<𝑚<2

【答案】B

B．2<𝑚<3 C．𝑚<3 D．𝑚>3

【解析】【解答】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于𝐷，

∵点𝐴(0，2)， ∴𝐴𝑂=2，

∵𝛥𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐷𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵𝐷=90°=∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂， ∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐵𝐷， 在𝛥𝐴𝑂𝐵和𝛥𝐵𝐷𝐶中， ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐷𝐶{∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐵𝐷，

𝐴𝐵=𝐵𝐶∴𝛥𝐴𝑂𝐵≅𝛥𝐵𝐷𝐶(𝐴𝐴𝑆)，

∴𝐴𝑂=𝐵𝐷=2，𝐵𝑂=𝐶𝐷=𝑛=𝑎， ∴0<𝑎<1，

∵𝑂𝐷=𝑂𝐵+𝐵𝐷=2+𝑎=𝑚， ∴2<𝑚<3， 故答案为：B．

【分析】过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于𝐷，由“AAS”证明𝛥𝐴𝑂𝐵≅𝛥𝐵𝐷𝐶，可得AO=BD=2，BO=CD=n=a，即可求解。

二、填空题(共8题；共9分)

9．（2分）计算：△2−1＝ ；△(𝜋−1)0= ．

4 / 26

1

【答案】；1

2【解析】【解答】（1）2−1=1

2（2）(𝜋−1)0=1 故答案为：1，1．

2

【分析】（1）利用负指数幂的性质求解即可； （2）利用0指数幂的的性质求解即可。

1 10．（1分）若分式 有意义，则 𝑥 的取值范围是 .

𝑥−2【答案】x≠2

【解析】【解答】解：∵分式

1 有意义， 𝑥−2∴x-2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2.

【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

11．（1分）已知一个多边形的内角和为0°，则这个多边形是 边形． 【答案】5

【解析】【解答】设这个多边形是n边形，由题意得，

(n-2) ×180°=0°,解之得，n=5.

【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式(n-2) ×180°及多边形的内角和等于0°即可建立方程，求解即可。

12．（1分）计算：2𝑎𝑏(3𝑎2−5𝑏)= ． 【答案】6𝑎3𝑏−10𝑎𝑏2

【解析】【解答】解：2𝑎𝑏(3𝑎2−5𝑏)=2𝑎𝑏⋅3𝑎2−2𝑎𝑏⋅5𝑏=6𝑎3𝑏−10𝑎𝑏2，

故答案为：6𝑎3𝑏−10𝑎𝑏2．

【分析】利用单项式乘多项式的计算法则求解即可。

13．（1分）若𝑎2+𝑘𝑎+9是一个完全平方式，则k的值是 ． 【答案】±6

【解析】【解答】解：∵𝑎2+𝑘𝑎+9是一个完全平方式，

5 / 26

即𝑎2±2𝑎×3+32是一个完全平方式，

∴𝑘=±6

故答案为：±6

【分析】根据完全平方式的性质和特征求解即可。

14．（1分）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方

形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为𝑆1，小正方形面积为𝑆2，则𝑆1−𝑆2的结果是 （用含a，b的式子表示）．

【答案】4ab

【解析】【解答】∵𝑆1为图2大正方形的面积；𝑆2为小正方形面积，

∴𝑆1−𝑆2为图1长方形面积 ∴𝑆1−𝑆2=2a×2b=4ab 故答案为：4ab

【分析】利用图形可得：𝑆1−𝑆2为图1长方形面积，再计算即可。

15．（1分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），若点P在x轴下方，且以

O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是 ．

【答案】(4，−2)或(−2，−2) 【解析】【解答】解：如图，

6 / 26

①作𝐵关于𝑥的对称的点𝑃1，连接𝑂𝑃1，𝐴𝑃1

∴𝑂𝐵=𝑂𝑃1，𝐴𝐵=𝐴𝑃1

∵𝑂𝐴=𝑂𝐴 ∴△𝑂𝐴𝑃≌△𝑂𝐴𝐵

，则𝑃1(4，−2) ∵ B（4，2）

②作𝑃1关于𝑙（𝑥=1）对称的点𝑃2，连接𝑂𝑃2，𝐴𝑃2， 则𝐴𝑃1=𝐴𝑃2，𝑂𝑃1=𝐴𝑃2 又∵𝑂𝐴=𝑂𝐴

∴△𝑂𝐴𝑃1≌△𝑂𝐴𝑃2 ∴△𝑂𝐴𝑃2≌△𝐴𝑂𝐵

则点𝑃2(−2，−2)

故答案为：(4，−2)或(−2，−2)

【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点坐标即可。

16．（1分）如图，Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，𝐴𝐶=2，𝐷为𝐵𝐶上一动点，𝐸𝐹垂直平分

𝐴𝐷分别交𝐴𝐶于𝐸、交𝐴𝐵于𝐹，则𝐵𝐹的最大值为 ．

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【答案】8

3 【解析】【解答】如图所示：

本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F， 当⊙𝐹与CD相切或相交时，使AF=DF=半径， 据题意，当AF逐渐增大时，到⊙𝐹与BC相切时， 即为AF最小值，即BF最大值， 此时，𝐹𝐷⊥𝐵𝐶， 2𝐹𝐷=𝐹𝐵， ∴𝐴𝐹：𝐵𝐹=1：2，

∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°， 𝐴𝐶=2， ∴𝐴𝐵=2𝐴𝐶=4，

∴𝐵𝐹=2283𝐴𝐵=3×4=3，

故答案为：8

3．

【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD，从而通过圆与BC相切来解决问题。三、解答题(共10题；共91分)

17．（10分）分解因式：

（1）（5分）3𝑎2−6𝑎𝑏+3𝑏2； （2）（5分）𝑥2(𝑚−2)+𝑦2(2−𝑚)．

【答案】（1）解：3𝑎2−6𝑎𝑏+3𝑏2

=3(𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2) =3(𝑎−𝑏)2；

（2）解：𝑥2(𝑚−2)+𝑦2(2−𝑚)

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=(𝑚−2)(𝑥2−𝑦2) =(𝑚−2)(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)．

【解析】【分析】（1）先提取公因式3，再利用完全平方公式因式分解即可；

（2）先提取公因式（m-2），再利用平方差公式因式分解即可。

18．（10分）

（1）（5分）计算：(𝑥−8𝑦)(𝑥+𝑦）；

3𝑎2−4（2）（5分）先化简，再求值：(𝑎+1−，其中𝑎=−3． )÷𝑎−1𝑎2−2𝑎+1【答案】（1）解：原式=𝑥2+𝑥𝑦−8𝑥𝑦−8𝑦2，

=𝑥2−7𝑥𝑦−8𝑦2； （2）解：(𝑎+1−

3𝑎2−4

， )÷𝑎−1𝑎2−2𝑎+1𝑎2−4𝑎2−4

， =𝑎−1÷2𝑎−2𝑎+1𝑎2−4𝑎2−2𝑎+1

，=𝑎−1⋅

𝑎2−4𝑎2−4(𝑎−1)， =𝑎−1⋅2𝑎−4

2

=𝑎−1，

当𝑎=−3时，原式=−3−1=−4．

【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算法则求解即可；

（2）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。

𝑥−1219．=1． （5分）解方程：𝑥+1−2𝑥−1【答案】解：给方程两边乘以（x+1）（x－1），

得：(𝑥−1)2−2=𝑥2−1， 𝑥2−2𝑥+1−2=𝑥2−1， −2𝑥=0， 解得：𝑥=0，

经检验，𝑥=0是原方程的解．

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。 20．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，𝐴𝐸∥𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐷𝐹，𝐴𝐵=𝐶𝐷．

9 / 26

（1）（5分）求证：△𝐴𝐸𝐶≅△𝐷𝐹𝐵．

（2）（5分）若∠𝐴=40°，∠𝐸𝐶𝐷=145°，求△F的度数．

【答案】（1）证明：∵𝐴𝐸∥𝐷𝐹

∴∠𝐴=∠𝐷，

∵𝐴𝐵=𝐶𝐷 ∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐶+𝐶𝐷

即𝐴𝐶=𝐵𝐷 又∵𝐴𝐸=𝐷𝐹，

∴△𝐴𝐸𝐶≅△𝐷𝐹𝐵

（2）解：∵∠𝐴=40°，∠𝐸𝐶𝐷=145°，

∴∠𝐸𝐶𝐴=180°−∠𝐸𝐶𝐷=35° ∴∠𝐸=180°−∠𝐴−∠𝐸𝐶𝐴=105°

∵△𝐴𝐸𝐶≅△𝐷𝐹𝐵 ∴∠𝐹=∠𝐸=105°

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得△A=△D，再证明AC=BD，最后利用“SAS”证明△

𝐴𝐸𝐶≅△𝐷𝐹𝐵即可；

（2）先利用三角形的内角和求出△E，再根据全等三角形的性质可得∠𝐹=∠𝐸=105°。

21．（10分）如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按

要求解答下列问题：

平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（－3，1），（－1，4），

（1）（5分）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；

10 / 26

②点C的坐标是 ▲ ，点C关于x轴的对称点𝐶1的坐标是 ▲ ； （2）（5分）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点𝐴1的坐标是 ▲ ；

②在直线l上找一点P，使𝑃𝐴+𝑃𝐵最小，在图中标出此时点P的位置；

③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点𝑄1的坐标（用含m，n的式子表示）．

【答案】（1）解：平面直角坐标系xOy如图所示

由图象可知C点坐标为（1，2） 点𝐶1是 C点关于x轴对称得来的

则𝐶1的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数 即𝐶1点坐标为（1，-2）． （2）①（5，1）

②连接①所得𝐴1B，𝐴1B交直线x=1于点P 由两点之间线段最短可知𝑃𝐴1+𝑃𝐵为𝐴1B时最小 又∵点𝐴1是点A关于直线l的对称点 ∴𝑃𝐴1=𝑃𝐴

∴𝑃𝐴+𝑃𝐵为𝐴1B时最小 故P即为所求点．

③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点𝑄1为（x，y） 有（m+x）÷2=1，y=n 即x=2-m，y=n

则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2 即对称点𝑄1坐标为（2-m，n）．

/ 26

11

【解析】【解答】（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1

①A点坐标为（-3，1），

关于直线x=1对称的𝐴1坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变 则为𝐴1坐标为（5，1）

【分析】（1）①根据A、B两点坐标作出平面直角坐标系即可； ②根据轴对称的性质解决问题即可； （2）①利用轴对称的性质解决问题；

②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求； ③利用中点坐标公式解决问题即可。

22．（10分）已知：如图1，线段a，b（𝑎>𝑏）．

（1）（5分）求作：等腰△ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a． 作法：①作线段𝐴𝐵=𝑏．

②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． ③在MN上取一点C，使𝐷𝐶=𝑎．

④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；

（2）（5分）求作：等腰△PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．

作法：①作直线l，在直线l上取一点G．

12 / 26

②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝ ▲ ．

④以P为圆心，以 ▲ 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则△PEF就是所求作的等腰三角形．

请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求作的等腰三角形；

（2）解：作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝a．

④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则△PEF就是所求作的等腰三角形． 如图，△PEF就是所求作的等腰三角形．

故答案为：a，b．

【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）根据要求作出图形即可。

23．（7分）

/ 26

13（1）（2分）如果(𝑥−3)(𝑥+2)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛，那么m的值是 ，n的值是 ；

（2）（5分）如果(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2−2𝑥+12，

①求(𝑎−2)(𝑏−2)的值；

②求11

𝑎2+𝑏2+1的值．

【答案】（1）-1；-6

（2）解：∵(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2−2𝑥+1

2，

∴𝑥2+𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑎𝑏=𝑥2−2𝑥+12，

∴𝑥2+(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=𝑥2−2𝑥+1

2，

∴a+b=-2，ab=1

2；

①(𝑎−2)(𝑏−2) =ab-2a-2b+4 =ab-2（a+b）+4 =12-2×（-2）+4 =172； ②11

𝑎2+𝑏

2+1 =𝑎2+𝑏

2𝑎2𝑏

2+1

2

=

(𝑎+𝑏)−2𝑎𝑏

(𝑎𝑏)

2+1

(−2)2

−2×1

=2+1

(12 2)=4−1

1+14

=13．

【解析】【解答】解：（1）∵(𝑥−3)(𝑥+2)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛，

∴𝑥2+2𝑥−3𝑥−6=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛， ∴𝑥2−𝑥−6=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛， ∴m=-1，n=-6，

/ 26

14

故答案为：-1， -6；

【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据待定系数法可得m、n的值； （2）①先根据同（1）的方法求出a、b的值，再代入计算即可； ②利用分式的加减化简，再计算即可。

24．（15分）在△ABC中，∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，AD为△ABC的中线，点E是射线AD上一动

点，连接CE，作∠𝐶𝐸𝑀=60°，射线EM与射线BA交于点F．

（1）（5分）如图1，当点E与点D重合时，求证：𝐴𝐵=2𝐴𝐹； （2）（5分）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形；

②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．

（3）（5分）当点E在线段AD的延长线上，且𝐸𝐷≠𝐴𝐷时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．

【答案】（1）解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形， ∵∠𝐵𝐴𝐶=120°，

∴∠𝐵=∠𝐶=30°，∠𝐹𝐴𝐶=180°−120°=60°， ∵AD为△ABC的中线，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=60°，∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐹𝐴𝐶=60°+60°=120°， ∵∠𝐶𝐸𝑀=60°，

∴∠𝐴𝐷𝐹=90°−60°=30°，

∴∠𝐴𝐹𝐷=180°−(120°+30°)=30°， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐹，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，∠𝐵=30°，

15 / 26

∴𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2𝐴𝐹；

（2）解：𝐴𝐵=𝐴𝐹+𝐴𝐸，证明如下：

如图2，在线段AB上取点G，使𝐸𝐺=𝐸𝐴， ∵∠𝐵𝐴𝐶=60°， ∴△𝐴𝐸𝐺是等边三角形，

∴∠𝐴𝐸𝐺=60°，∠𝐵𝐺𝐸=∠𝐹𝐴𝐸=120°， ∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，AD为△ABC的中线， ∴𝐸𝐵=𝐸𝐶，∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐷，

∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐶，即∠𝐴𝐸𝐺+∠𝐺𝐸𝐵=∠𝐶𝐸𝐹+∠𝐴𝐸𝐹，∵∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐸𝐺=60°， ∴∠𝐺𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹， 在△𝐵𝐺𝐸与△𝐹𝐴𝐸中， {∠𝐺𝐸𝐵𝐸𝐺==∠𝐴𝐸𝐹𝐸𝐴， ∠𝐵𝐺𝐸=∠𝐹𝐴𝐸

∴△𝐵𝐺𝐸≅△𝐹𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐺𝐵=𝐴𝐹，

∴𝐴𝐵=𝐺𝐵+𝐴𝐺=𝐴𝐹+𝐴𝐸；

（3）解：当𝐴𝐷>𝐸𝐷时，如图3所示：

与（2）同理：在线段AB上取点H，使𝐸𝐻=𝐸𝐴，

/ 26

16∵∠𝐵𝐴𝐷=60°， ∴△𝐴𝐸𝐻是等边三角形，

∴∠𝐵𝐻𝐸=∠𝐹𝐴𝐸=120°，∠𝐴𝐸𝐻=60°， ∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，AD为△𝐴𝐵𝐶的中线， ∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐷， ∵∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐸𝐻=60°， ∴∠𝐻𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹， ∴△𝐵𝐻𝐸≅△𝐹𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐻𝐵=𝐴𝐹，

∴𝐴𝐵=𝐻𝐵+𝐴𝐻=𝐴𝐹+𝐴𝐸， 当𝐴𝐷<𝐸𝐷时，如图4所示：

在线段AB的延长线上取点N，使𝐸𝑁=𝐸𝐴， ∵∠𝐵𝐴𝐷=60°， ∴△𝐴𝐸𝑁是等边三角形， ∴∠𝐴𝐸𝑁=∠𝐹𝑁𝐸=60°， ∵∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐸𝑁=60° ∴∠𝑁𝐸𝐹=∠𝐴𝐸𝐶， 在△𝑁𝐸𝐹与△𝐴𝐸𝐶中， {∠𝐹𝑁𝐸∠𝑁𝐸𝐹𝐸𝑁=∠𝐶𝐴𝐸==60°， =𝐸𝐴

∠𝐴𝐸𝐶∴△𝑁𝐸𝐹≅△𝐴𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑁𝐹=𝐴𝐶=𝐴𝐵，

/ 26

17

∴𝐵𝑁=𝐴𝐹，

∴𝐴𝐵=𝐴𝑁−𝐵𝑁=𝐴𝐸−𝐴𝐹， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸−𝐴𝐹．

【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出△B=△C，证出AD=AF，则可得出结论；

（2）①由题意画出图形即可；

②在AC上截取AG=AE，连接EG，证明△𝐵𝐺𝐸≅△𝐹𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)，再由全等三角形的性质可得AF=GC，则可得出结论； （3）方法同（2）可得结论。

25．（2分）观察下列等式： 11①1−1−=−；

21×2②1−1−1=−1；

2343×4③1−1−1=−1； 3565×6④1−1−1=−1； 4787×8……

根据上述规律回答下列问题：

（1）（1分）第⑤个等式是 ；

（2）（1分）第n个等式是 （用含n的式子表示，n为正整数）．

1111 【答案】（1）−−=−9×1059101111

（2）𝑛−2𝑛−1−2𝑛=−2𝑛(2𝑛−1)

1111

【解析】【解答】（1）第5个等式为：−−； =−9×1059101111

（2）第n个等式为：𝑛−2𝑛−1−2𝑛=−2𝑛(2𝑛−1)．

【分析】（1）通过观察前几项的算式和序号的关系可直接求出第5个等式的值； （2）根据前几项的算式和序号的关系归纳总结可得规律。

26．（12分）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为𝑆0𝑆0，定义𝑆−𝑆为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的△ABC沿直线l折叠，重合部

0

𝑆0分的图形为△𝐶′𝐷𝐸，将△𝐶′𝐷𝐸的面积记为𝑆0，则称𝑆−𝑆为△ABC关于直线l的对称度．

0

18 / 26

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（－3，0），C（3，0）． （1）（2分）过点M（m，0）作垂直于x轴的直线𝑙1，

①当𝑚=1时，△ABC关于直线𝑙1的对称度的值是 ： ②若△ABC关于直线𝑙1的对称度为1，则m的值是 ．

（2）（5分）过点N（0，n）作垂直于y轴的直线𝑙2，求△ABC关于直线𝑙2的对称度的最大值． （3）（5分）点P（－4，0）满足𝐴𝑃=5，点Q的坐标为（t，0），若存在直线，使得△APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．

【答案】（1）2；0

7（2）解：过点N（0，n）作垂直于y轴的直线𝑙2，要使得△ABC关于直线𝑙2的对称度的最大值， 则需要使得𝑆△𝐶′𝐷𝐸最大，如下图：

3

当𝑛=时，𝑆△𝐶′𝐷𝐸取到最大，

23

根据𝑦=，可得𝐸，𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中位线，

21

∴𝐸𝐷=2𝐵𝐶=3，

∴𝑆△𝐶′𝐷𝐸=

139×3×=， 2241

=3；9−949

4∴△ABC关于直线𝑙2的对称度的最大值为：

（3）解：若存在直线，使得△APQ关于该直线的对称度为1， 即△𝐴𝑃𝑄为等腰三角形即可，

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①当𝐴𝑃=𝐴𝑄时，△𝐴𝑃𝑄为等腰三角形，如下图：

∴𝑃𝑂=𝑄𝑂=4， ∴𝑡=4；

②当𝐴𝑃=𝑃𝑄=5时，△𝐴𝑃𝑄为等腰三角形，如下图：

∵𝑃𝑄=𝑄𝑂+𝑂𝑄=4+𝑡=5， ∴𝑡=1；

③当𝐴𝑄=𝑃𝑄时，△𝐴𝑃𝑄为等腰三角形，如下图：

设𝑂𝑄=𝑥，则𝑃𝑄=4−𝑥，

根据勾股定理：𝑃𝑄=𝐴𝑄=√𝑥2+32， ∴(4−𝑥)2=𝑥2+9，

解得：𝑥=7

8，

∴𝑡=−7

8（不是整数，舍去）

，

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综上：满足题意的整数𝑡的值为：4或1．

【解析】【解答】解：（1）①当𝑚=1时，根据题意作图如下：

∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=3，

∴𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶为等腰直角三角形， ∴𝐶𝐸=𝐷𝐸=2，

∴𝑆𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐶=1

2×2×2=2，

根据折叠的性质， ∴𝑆△𝐶′𝐷𝐸=2，

∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=1

2×6×3=9，

∴△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度的值是：

9−22=27，

故答案是：2

7；

②如图：

根据等腰三角形的性质，当𝑚=0时，有

𝑆△𝐶′𝐷𝐸=1

2𝑆△𝐴𝐵𝐶，

△ABC关于直线𝑙1的对称度为1， 故答案是：0；

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【分析】（1）①根据对称度的定义，求出S0和S的值即可； ②当三角形ABC关于直线𝑙1的对称度为1时，𝑆0=9，此时m=0；

2 （2）求出S0的最大值，可得结论；

（3）由题意三角形APQ关于该直线的对称度为1，推出三角形APQ是等腰三角形，求出整数t的值即可。

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试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：116分 客观题（占比） 16.0(13.8%) 分值分布 主观题（占比） 100.0(86.2%) 客观题（占比） 8(30.8%) 题量分布 主观题（占比） 18(69.2%) 2、试卷题量分布分析

大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 填空题 8(30.8%) 9.0(7.8%) 解答题 10(38.5%) 91.0(78.4%) 单选题 8(30.8%) 16.0(13.8%) 3、试卷难度结构分析

序号 难易度 占比 1 普通 (65.4%) 2 容易 (23.1%) 3 困难 (11.5%) 4、试卷知识点分析

序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 分式有意义的条件 1.0(0.9%) 10 23 / 26

2 关于坐标轴对称的点的坐标特征 11.0(9.5%) 15,21 3 轴对称的性质 12.0(10.3%) 26 4 轴对称的应用-最短距离问题 10.0(8.6%) 21 5 分式的加减法 2.0(1.7%) 5 6 轴对称图形 2.0(1.7%) 1 7 三角形的角平分线、中线和高 2.0(1.7%) 3 8 单项式乘多项式 1.0(0.9%) 12 9 列式表示数量关系 1.0(0.9%) 14 10 完全平方式 1.0(0.9%) 13 11 0指数幂的运算性质 2.0(1.7%) 9 12 多边形内角与外角 1.0(0.9%) 11 13 解分式方程 5.0(4.3%) 19 14 列分式方程 2.0(1.7%) 7 15 多项式乘多项式 17.0(14.7%) 18,23 16 探索数与式的规律 2.0(1.7%) 25 17 同底数幂的除法 2.0(1.7%) 2 18 切线的性质 1.0(0.9%) 16 19 同底数幂的乘法 2.0(1.7%) 2

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20 利用整式的混合运算化简求值 7.0(6.0%) 23 21 三角形全等的判定（SSS） 2.0(1.7%) 4 22 积的乘方 2.0(1.7%) 2 23 三角形-动点问题 15.0(12.9%) 24 24 平面直角坐标系的构成 10.0(8.6%) 21 25 分式的约分 2.0(1.7%) 5 26 负整数指数幂的运算性质 2.0(1.7%) 9 27 利用分式运算化简求值 10.0(8.6%) 18 28 作图﹣轴对称 12.0(10.3%) 26 29 三角形全等的判定（AAS） 2.0(1.7%) 8 30 分式的基本性质 2.0(1.7%) 5 31 三角形的综合 28.0(24.1%) 16,24,26 32 三角形全等的判定（SAS） 10.0(8.6%) 20 33 提公因式法与公式法的综合运用 10.0(8.6%) 17 34 作图-线段垂直平分线 10.0(8.6%) 22 35 三角形全等的判定（ASA） 15.0(12.9%) 24 36 三角形三边关系 2.0(1.7%) 6 37 尺规作图的定义 10.0(8.6%) 22

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38 幂的乘方 2.0(1.7%) 2 39 三角形全等及其性质 1.0(0.9%) 15 26 / 26