重庆市八年级(下)期末数学试卷

题号

得分

一

二

三

四

总分

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.

代数式2x，

𝑎+𝑏𝑦1

x+，，中分式有（　　）33𝑥−𝑦

A. 1个

2.

B. 2个C. 3个D. 4个

在平面直角坐标系中，点（-2，0）所在的位置是（　　）

A. y轴

3.

2𝑥

B. x轴C. 原点D. 二象限

分式方程𝑥−3=1的解为（　　）

A. 𝑥=−2

4.

B. 𝑥=−3C. 𝑥=2D. 𝑥=3

如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，∠ACB=60°，则∠AOB的大小为（　　）

A. 30∘

B. 60∘C. 120∘D. 150∘

5.

如图所示，由已知条件推出结论错误的是（　　）

A. 由∠1=∠5，可以推出𝐴𝐵//𝐶𝐷B. 由𝐴𝐷//𝐵𝐶，可以推出∠4=∠8C. 由∠2=∠6，可以推出𝐴𝐷//𝐵𝐶D. 由𝐴𝐷//𝐵𝐶，可以推出∠3=∠7

6.

某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（　　）一周内累计的读书时间（小时）5人数（个）

1

84

103

142

第1页，共20页

A. 8

7.

𝑥

B. 7C. 9D. 10

将分式𝑥2−𝑦2中的x，y的值同时扩大为原来的2015倍，则变化后分式的值（　　）

A. 扩大为原来的2015倍C. 保持不变

8.

B. 缩小为原来的2015D. 以上都不正确

1

如图所示，下列结论中不正确的是（　　）

A. a组数据的最大数与最小数的差较大B. a组数据的方差较大C. b组数据比较稳定D. b组数据的方差较大

9.

有下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A. ②③B. ②④C. ①②D. ①③

10.已知y与（x-2）成正比例，当x=1时，y=-2．则当x=3时，y的值为（　　）

A. 2B. −2C. 3D. −3

11.如果关于x的一次函数y=（a+1）x+（a-4）的图象不经过第二象限，且关于x的分

式方程𝑥−2+2=2−𝑥有整数解，那么整数a值不可能是（　　）

1−𝑎𝑥

1

A. 0B. 1C. 3D. 4

四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y12.如图，

轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=𝑥和y=𝑥的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：

𝑘1

𝑘2

第2页，共20页

①ON=OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是2（k1+k2）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称其中正确的结论是（　　）

1

A. ①②④B. ②③C. ①③④D. ①④

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.在某校举行的“汉字听写”大赛中，六名学生听写汉字正确的个数分别为：35，

31，32，31，35，31，则这组数据的众数是______．14.小数0.00002l用科学记数法表示为______．

D是AB边上任意一点DE∥BC，15.如图，在△ABC中，∠A=∠B，

DF∥AC，AC=5cm，则四边形DECF的周长是______．

16.

(𝑥+𝑦)2(𝑥−𝑦)2

计算：𝑥𝑦−𝑥𝑦=______．

17.中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋

盘棋子文字都体现了中国文化，如图，如果士所在位置的坐标为（-1，-2），相所在位置的坐标为（2，-2），那么将棋子炮右移一格后的位置的坐标为______．

18.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且

CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF，则下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤S△FGC=5；其中正确的结论有______．

18

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.下面是小明化简𝑥2−2𝑥

解：𝑥2−2𝑥

𝑥2−1

+1

𝑥2−1

÷+1

𝑥+1

𝑥−1

⋅1+𝑥的过程÷(−1)①

1−𝑥

÷

𝑥+1𝑥−1

⋅

1−𝑥𝑥2−1

=1+𝑥𝑥2−2𝑥+1

第3页，共20页

=

−(𝑥−1)(𝑥+1)

(𝑥−1)2𝑥+1

②=-𝑥−1③

（1）小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？（2）求当x=3时原代数式的值．

2

20.2018年5月，某城遭遇暴雨水灾，武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C

地营救受困群众，途经B地时，由所携带的救生艇将B地受困群众运回A地，冲锋舟继续前进，到C地接到群众后立刻返回A地，途中曾与救生艇相遇，冲锋舟和救生艇距A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数图象如图所示，假设群众上下冲锋舟和救生艇的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．

（1）冲锋舟从A地到C地的时间为______分钟，冲锋舟在静水中的速度为______千米/分，水流的速度为______千米/分．

（2）冲锋舟将C地群众安全送到A地后，又立即去接应救生艇，已知救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分钟）之间的函数关系式为y=kx+b，若冲锋舟在距离A地3千米处与救生艇第二次相遇，求k、b的值．

20

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

21.如图，在▱ABCD中，AC为对角线，BF⊥AC，DE⊥AC，F、E为垂足，求证：

BF=DE．

第4页，共20页

22.在期末考试来临之际，同学们都进入紧张的复习阶段，为了了解同学们晚上的睡眠

情况，现对年级部分同学进行了调查统计，并制成如下两幅不完整的统计图：（其中A代表睡眠时间8小时左右，B代表睡眠时间6小时左右，C代表睡眠时间4小时左右，D代表睡眠时间5小时左右，E代表睡眠时间7小时左右），其中扇形统计图中“E”的圆心角为90°，请你结合统计图所给信息解答下列问题：

（1）共抽取了______名同学进行调查，同学们的睡眠时间的中位数是______小时左右，并将条形统计图补充完整；

（2）请你估计年级每个学生的平均睡眠时间约多少小时？

23.某高速公路要对承建的工程进行招标，现在甲、乙两个工程队前来投标，根据两队

的申报材料估计：若甲、乙两队合作，24天可以完成；若由甲队单独做20天后，余下的工程由乙队做，还需40天完成，求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

第5页，共20页

一次函数y=-2x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点24.如图，

B，与正比例函数y=2x的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得点D．（1）求△OAB的周长；

（2）求经过D点的反比例函数的解析式；

3

1

25.如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，

垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；

（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．

26.阅读下列材料解决问题

两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和

第6页，共20页

数”，例如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．（1）下列说法错误的是______A.123和51互为调和数”B.345和513互为“调和数C.2018和8120互为“调和数”D．两位数𝑥𝑦和𝑦𝑥互为“调和数”

（2）若A、B是两个不等的两位数，A=𝑥𝑦，B=𝑚𝑛，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求满足条件的两位数A．

−

−

−

第7页，共20页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：代数式2x，，x+，中分式有：．

故选：A．

直接利用分式的定义分析得出答案．

此题主要考查了分式的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B

【解析】

解：点P（-2，0）在x轴上． 故选：B．

由于点P的纵坐标为0，则可判断点P（-1，0）在x轴上．

本题考查了点的坐标：记住各象限内的点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特点．3.【答案】B

【解析】

解：去分母得：2x=x-3， 解得：x=-3，

经检验x=-3是分式方程的解， 故选：B．

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了分式方程的解，求出分式方程的解是解本题的关键．4.【答案】C

【解析】

解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OB=OC，

∴∠OBC=∠ACB=60°，

∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=60°+60°=120°． 故选：C．

根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．5.【答案】B

【解析】

第8页，共20页

解：A、由∠1=∠5，可以推出AB∥CD，故本选项正确； B、由AB∥CD，可以推出∠4=∠8，故本选项错误； C、由∠2=∠6，可以推出AD∥BC，故本选项正确； D、由AD∥BC，可以推出∠3=∠7，故本选项正确． 故选：B．

根据平行线的判定以及性质，对各选项分析判断即可利用排除法求解．

本题主要考查了平行线的判定与性质，找准构成内错角的截线与被截线是解题的关键，本题容易出错．6.【答案】C

【解析】

解：∵共有10名同学，

∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，则中位数为：

=9．

故选：C．

根据中位数的概念求解．

本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7.【答案】B

【解析】

解：∵分式∴原式变为：∴缩小为原来的

中的x，y的值同时扩大为原来的2015倍，

=

=

故选：B．

将原式中的x、y分别用2015x、2015y代替，化简，再与原分式进行比较．本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．8.【答案】D

【解析】

解：A、a组数据的最大数与最小数的差为30-10=20，b组数据的最大数与最小数的差是20-10=10，所以a组数据的最大数与最小数的差较大，故选项A正确；

B、由图中可以看出，a组数据最大数与最小数的差较大，不稳定，所以a组数据的方差较大，故选项B正确；

C和D、b组数据比较稳定，即其方差较小．故选项C正确，选项D的说法错

第9页，共20页

误；

故选：D．

方差可以衡量数据稳定性，数据越稳定，方差越小．由此可得答案．

本题涉及方差和极差的相关概念，比较简单，熟练掌握方差的性质是关键．9.【答案】A

【解析】

解：根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形ABCD是正方形， 故选：A．

根据正方形的判断方法即可判断；

本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.【答案】A

【解析】

解：∵y与（x-2）成正比例， ∴设y=k（x-2），

由题意得，-2=k（1-2）， 解得，k=2， 则y=2x-4，

当x=3时，y=2×3-4=2， 故选：A．

利用待定系数法求出一次函数解析式，代入计算即可．

本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．11.【答案】B

【解析】

解：∵关于x的一次函数y=（a+1）x+（a-4）的图象不经过第二象限，∴

，

解得-1＜a≤4．∵∴x=

+2=，

+2=

有整数解，

，

∵关于x的分式方程

∴整数a=0，1，3，4，∵a=1时，x=2是增根，∴a=0，3，4

综上，可得，满足题意的a的值有2个：0，3，4，∴整数a值不可能是1．

第10页，共20页

故选：B．

依据关于x的一次函数y=（a+1）x+（a-4）的图象不经过第二象限的数，求得a的取值范围，依据关于x的分式方程有整数解，即可得到整数a的取值．此题考查了一次函数的图象与系数的关系以及分式方程的解．注意根据题意求得使得关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y=（a+1）x+（a-4）的图象不经过第二象限的a的值是关键．12.【答案】D

【解析】

解：如图，过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥y轴E，

∵AM⊥x轴，CM⊥x轴，OB⊥MN，

∴四边形ONCE和四边形OMAD是矩形，∴ON=CE，OM=AD，

∵OB是▱OABC的对角线，∴△BOC≌△OBA，∴S△BOC=S△OBA，

∵S△BOC=OB×CE，S△BOA=OB×AD，∴CE=AD，

∴ON=OM，故①正确；

在Rt△CON和Rt△AOM中，ON=OM，∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA与OC不一定相等，

∴△CON与△AOM不一定全等，故②错误；∵第二象限的点C在双曲线y=∴S△CON=|k1|=-k1，∵第一象限的点A在双曲线y=S△AOM=|k2|=k2，

∴S阴影=S△CON+S△AOM=-k1+k2=（k2-k1），故③错误；

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AC与OB互相平分，

∴点A和点C的纵坐标相等，点A与点C的横坐标互为相反数，∴点A与点C关于y轴对称，故④正确，

第11页，共20页

上，

上，

∴正确的有①④，故选：D．

先判断出CE=ON，AD=OM，再判断出CE=AD，即可判断出①正确；由于四边形OABC是平行四边形，所以OA不一定等于OC，即可得出②错误；先求出三角形COM的面积，再求出三角形AOM的面积求和即可判断出③错误，根据菱形的性质判断出OB⊥AC，OB与AC互相平分即可得出④正确．

此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，判断出CE=AD是解本题的关键．13.【答案】31

【解析】

解：这组数据的众数为31． 故答案为31．

利用众数的定义求解．

本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．14.【答案】2.1×10-5

【解析】

解：小数0.00002l用科学记数法表示为2.1×10-5． 故答案为：2.1×10-5．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15.【答案】10cm

【解析】

解：∵∠A=∠B， ∴BC=AC=5cm， ∵DF∥AC， ∴∠A=∠BDF， ∵∠A=∠B， ∴∠B=∠BDF， ∴DF=BF， 同理AE=DE，

∴四边形DECF的周长为：

CF+DF+DE+CE=CF+BF+AE+CE=BC+AC=5cm+5cm=10cm， 故答案为：10cm．

第12页，共20页

求出BC，求出BF=DF，CE=AE，代入得出四边形DECF的周长等于BC+AC，代入求出即可．

本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出BF=DF，DE=AE．16.【答案】4

【解析】

解：====

=4，

故答案为4．

将分子相加，把分子利用平方差公式化简，最后约分即可得出结论．

此题主要考查了分式的加减，平方差公式，约分，利用平方差公式化简分子是解本题的关键．17.【答案】（-2，1）

【解析】

解：平面直角坐标系如图所示：

炮的位置（-3，1），向右平移一格后的坐标为（-2，1），故答案为（-2，1）．

根据平面直角坐标系即可解决问题；

本题考查坐标确定位置，平面直角坐标系的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】①②③④⑤

【解析】

解：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，∵CD=3DE，

第13页，共20页

∴DE=2，

∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，

∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，∴AF=AB，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．∴①正确；

∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．

设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2，∴（6-x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．

∴BG=GF=CG=3．∴②正确；∵CG=GF，

∴∠CFG=∠FCG．

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，∴∠AGB=∠FCG．∴AG∥CF．∴③正确；

∵S△EGC=×3×4=6，S△AEF=S△ADE=×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE；

∴④正确，

∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．∴

=

=，

∵S△GCE=6，∴S△CFG=×6=3.6，

∴⑤正确；

故答案为①②③④⑤．

由正方形和折叠的性质得出AF=AB，∠B=∠AFG=90°，由HL即可证明

第14页，共20页

Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，

GE=GF+EF=BG+DE=x+2，由勾股定理求出x=3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB=∠FCG，证出平行线，得出③正确；分别求出△EGC，△AEF的面积，可以判断④，由

=

=，可求出△FGC的面积，

故此可对⑤做出判断．

本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．19.【答案】解：（1）小明的解答不正确，错在第①步；

（2）𝑥2−2𝑥=

(𝑥−1)1−𝑥

2

𝑥2−1

÷+1⋅𝑥

𝑥+1

𝑥−1

⋅1+𝑥

1−𝑥

(𝑥+1)(𝑥−1)

𝑥−1+1

⋅1+𝑥

1−𝑥

=1+𝑥，当

1−312

x=3时，原式=2=5．1+

32

【解析】

（1）根据有理数的乘除法可以明确小明在哪一步出错了，从而可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】24 12 12

【解析】

11

1

解：（1）由图象可得，

冲锋舟从A地到C地的时间为12×（20÷10）=24（分钟），

设冲锋舟在静水中的速度为a千米/分钟，水流的速度为b千米/分钟，

，解得，

，

故答案为：24，，；

千米时，冲锋舟所用时间为：

=8（分钟），

（2）冲锋舟在距离A地

∴救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分钟）之间的函数关系式为y=kx+b过点（12，10），（52，

），

第15页，共20页

，

解得，，

，11．

即k、b的值分别是

（1）根据题意和函数图象中的数据，可以解答本题；

（2）根据题意和函数图象中的数据，可以求得k、b的值，本题得以解决．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．

21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEA=∠BFC=90°．在△AED和△BFC中，

{∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐹

∠𝐷𝐸𝐴=∠𝐵𝐹𝐶=90°，𝐴𝐷=𝐵𝐶

∴△AED≌△CFB，∴BF=DE．【解析】

由平行四边形的性质可知AD=BC，∠DAE=∠BCF，由垂直的定义可知

∠DEA=∠BFC=90°，由全等三角形的判定方法可知△AED≌△CFB，进而得到BF=DE．

此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的性质与判定，是中考常见的题目．22.【答案】20 6

【解析】

解：（1）共抽取的同学人数=6÷30%=20（人），睡眠时间7小时左右的人数=20×

=5

（人），睡眠时间8小时左右的人数=20-6-2-3-5=4（人），

按照睡眠时间从小到大排列，各组人数分别为2，3，6，5，4，睡眠时间分别为4，5，6，7，8，共有20个数据，

第10个和第11个数据都是6小时，它们的平均数也是6小时，

∴同学们的睡眠时间的中位数是6小时左右；

第16页，共20页

故答案为：20，6；

将条形统计图补充完整如图所示：（2）∵平均数为

（4×8+6×6+2×4+3×5+5×7）=6.3（小时），

∴估计年级每个学生的平均睡眠时间约6.3小时．

（1）由B的人数和所占百分数求出共抽取的人数；再求出E和A的人数，由中位数的定义求出中位数，再将条形统计图补充完整即可；

（2）求出所抽取的20名同学的平均睡眠时间，即可得出结果．

本题考查了条形统计呼和扇形统计图以及中位数和平均数的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23.【答案】解：设甲队独做需a天，乙队独做需b天．

建立方程组

{24𝑎20𝑎

++

24𝑏40𝑏

=1

，=1

𝑎=30解得𝑏=120．

经检验a=30，b=120是原方程的解．答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．【解析】

{设甲队独做需a天，乙队独做需b天，根据题意可得两个等量关系为：甲工效×工作时间+乙工效×工作时间=1；甲工效×20+乙工效×40=1．列出方程组，再解即可．

本题考查了分式方程（组）的应用．得到工作量1的等量关系是解决本题的关键．

24.【答案】解：（1）∵一次函数y=-2x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，

∴A（8，0），B（0，4）∴OA=8，OB=4

在Rr△AOB中，AB=𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=45∴△OAB的周长=4+8+45=12+45（2）∵

1

{𝑦=−2𝑥+4𝑦=2𝑥

3

1

𝑥=2∴𝑦=3

∴C点坐标为（2，3）

∵将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得点D．∴D（3，-3）

设过D点的反比例函数解析式y=𝑥∴k=3×（-3）=-9

第17页，共20页

𝑘

{∴反比例函数解析式y=𝑥【解析】

−9

（1）根据题意可求A，B坐标，勾股定理可求AB长度，即可求△OAB的周长． （2）把两个函数关系式联立成方程组求解，即为C点坐标，通过平移可求D点坐标，用待定系数法可求反比例函数解析式．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°．∵BG⊥CE，∴∠BOC=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠2．

在△GAB和△EBC中，

∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，∴△GAB≌△EBC（ASA）．∴AG=BE．

（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE；由（1）知，AG=BE，∴AG=AE；

∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°；又∵AF=AF，

∴△GAF≌△EAF（SAS）；∴∠AGF=∠AEF；

由（1）知，△GAB≌△EBC；∴∠AGF=∠CEB；∴∠AEF=∠CEB．【解析】

（1）要证明AG=BE，只要证明三角形ABG和EBC全等即可．两三角形中已知的条件有一组直角，AB=BC，只要再得出一组对应角相等即可．我们发现∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2，这样就构成了两三角形全等的条件ASA，因此两三角形全等．

（2）要求E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，我们先看若两角相等能得出什么．若∠AEF=∠CEB，由（1）中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB，因此

第18页，共20页

∠AEF=∠AGF，三角形GFA和AEF中，有一条公共边，∠DAC=∠CAB=45°，因此两三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么只有AE=BE时，∠AEF=∠CEB．

本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质等知识点，利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法．26.【答案】B

【解析】

解：

（1）根据调和数的定义，通过计算各位数之和，易知B选项错误故答案选B（2）∵A=

，B=

，A、B互为“调和数”

∴x+y=m+n ①

∵A与B之和是B与A之差的3倍∴∴

∴10m+n=20x+2y ②由①②得，

∵m为两位数的十位数字∴1≤m≤9∴

∴9≤19x+y≤81，且19x+y是9的倍数

∴19x+y=18或27或36或45或54或63或72或81则

或

∵x，y分别为A的 十位和个位，∴1≤x≤9，0≤y≤9∴计算可得，仅当

时满足，此时x=1，y=8，故A为18

或

或

或

或

或

或

故满足A的值为18

（1）根据题意，两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，即可作答

（2）先用“调和数”，得出x+y=m+n，再利用A与B之和是B与A之差的3倍，得出10m+n=20x+2y，即可得出可以得出结论

，最后利用1≤x≤9，0≤y≤9，计论即

第19页，共20页

义解不等式，分类讨论的数学思想，判断出此题主要考查了整除的问题，新定

19x+y=18或27或36或45或54或63或72或81是解决（2）的关键

第20页，共20页