函数定义域的求法、单调性

函数定义域的求法

由函数解析式来确定定义域大致有以下几种情况：

（1） 整式——x取一切实数

（2） 分式——x取分母≠0的实数

（3） 偶次根式（例如：二次根式）——x取被开方数≥0的实数

（4） 齐次根式（例如：立方根）——x取一切实数

例1：求下列函数的定义域

（1）y=5x-3 （2）y= （3）y=

x+2

1

x-1 （4）y=

3

x-2 （5）y=

∣x∣-2

1

学生练习1：求下列函数的定义域

3x+11

（1）y=2x+5 （2）y= （3）y=3x-4 （4）y=2

x-2x+1

例2：求下列函数的定义域 （1）y=

1+2x 1+2x

（2）y= x-2 x-2

学生练习2：求下列函数的定义域

1-2x

（1）y= （2）y= （3）y= （4）y=

x+12x-1x-1 x-2

1-2x x-11-2x

拓展练习：求下列函数的定义域

13

（1）y=x+ （2）y=-x +x （3）y=

x

2x-1 +2-3x （4）y=2x-1 +

2-3x

1

函数的简单性质——单调性

1x在其定义域(,0)(0,)上是减函数吗？

对例1．思考：函数

y说明：1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；

2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

评注：基本函数的单调性：

①一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时，f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；当k<0时，f(x)在(-∞,+∞)上为减函数。

1

x(k≠0), 当k>0时，f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数；当k<0时，f(x)在(-∞,0)和（0，+

②反比例函数∞)上为增函数。

y

③二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0),当a>0时,f(x)在(-∞，

2bb2a]上为减函数,在[2a,+∞) 上为增函数;当a<0

时,同理.

对例2．归纳 ：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤：

① 任取x1，x2∈I，且x1④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性）．

说明：判断函数的单调性，可以用图象或单调性的定义；而证明函数的单调性，只能用单调性的定义．

f(x2)f(x1)0xx21思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2有，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?

1.函数y＝－x2+2|x|+3的单调减区间是 .，单调增区间是

2xx1的单调增区间是________________.

2.

f(x)变式：已知函数

f(x)axx1在区间（－1，＋∞）上是增函数，则a的取值范围______ 。

2f(x)x2ax2在(,4]上是减函数，则实数a的取值范围是_______ _. 3. 若函数

4．证明函数

y＝x＋1x在（1，＋∞）上为增函数．

当堂检测

2f(x)2xmx3，当x[2,)时是增函数，当x(,2]时是减函数，则f(1)_____________. 1. 函数

2. 画出下列函数的图像，并写出其单调增区间。

x21, x03x1f(x)f(x)2x2, x0 (2) y=|x+2|－2|x－1| （3）1x. （1）

3.证明函数f(x)x在[0,)上是增函数．

巩固一下

1１．函数y＝x＋1的单调区间为___________．

2．函数y=3x2+6x－12在区间______上为增函数，在区间______上为减函数.

3．函数y=－|x|在［a,+∞)上是减函数，则a的取值范围是______.

2f(x)kxk4. 若函数为R上的增函数，则实数的k取值范围为__________.

5. 判断函数

f(x)x21x在区间(0,)上的单调性，并用定义证明你的结论。

6. 已知f(x)=x3+x(x∈R)，

(1)判断f(x)在(－∞,+∞)上的单调性，并证明； (2)求证：满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.

7.已知f(x)是定义在[－1，1]的增函数，且f(x－1)