凉山州2012年中考数学试题精析

2012年中考数学精析系列——凉山卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

A卷（共120分）

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确的字母填涂在答题卡上相应的位置。

3.（2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是【 】

A．180 B． 220 C． 240 D．300 【答案】C。

- 1 -

【考点】等边三角形的性质，多边形内角和定理。

【分析】∵等边三角形每个内角为60°，∴两底角和=120°。

又∵四边形内角和为360°，∴∠α+∠β=360°－120°=240°。故选C。

4.（2012四川凉山4分）已知A．

23ba51394，则

abab的值是【 】

49 B．

32 C． D．

【答案】D。

【考点】比例的性质。 【分析】∵

ba=513，∴设出b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入

=8k18k=49abab，得，

abab13k5k13k5k。故选D。

5.（2012四川凉山4分）下列多项式能分解因式的是【 】

A．x2y2 B．x2y2 C．x22xyy2 D． x2xyy2 【答案】C。

【考点】因式分解的意义

【分析】因式分解的常用方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法等．用各种方法分别检验是否能够分解：A、B、D不能分解，C：x2xyy=x2xyy2222=xy2。

故选C。

6.（2012四川凉山4分）如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到得卡片上算式正确的概率是【 】

aaa

347aaa

842(a)a

326aa2a

235

A．

14 B．

12 C．

34 D．1

【答案】B。

【考点】概率公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项。 【分析】判断运算正确的卡片的数量，然后利用概率的公式求解即可：

∵根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则四张卡

片中第一张和第三张正确，

∴随机抽取一张，则抽到得卡片上算式正确的概率是

14=12。故选B。

7.（2012四川凉山4分）设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天枰称两次，情况如图

- 2 -

所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是【 】

A．cba B．bca C．cab D．bac 【答案】A。

【考点】等式和不等式的性质。

【分析】观察图形可知：b＋c =3c，即b = 2c ；且a＞b。所以cba。故选A。 8.（2012四川凉山4分）如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为【 】

A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】B。

【考点】平角的性质，平行线的性质。

【分析】∵∠DFE=135°，∴∠CFE=180°－135°=45°。

∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE=45°。故选B。

9.（2012四川凉山4分）下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④16的算术平方根是4。其中真命题的个数有【 】

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A。

【考点】命题与定理，圆周角定理，方程的解，平行四边形的性质，算术平方根。 【分析】根据圆周角定理，方程的解、平行四边形的性质及算术平方根的定义进行判断即可得到真命题的个数：

同（等）弧所对的圆周角等于圆心角的一半，必须是同（等）弧，故①是假命题；

- 3 -

将x=2代入方程左右两边相等，故②正确，是真命题；

平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故③错误，是假命题；

16=4的算术平方根是2，故④错误，是假命题。

真命题有1个。故选A。

11.（2012四川凉山4分）雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是【 】 A．xy702.5x2.5y420

B．xy702.5x2.5y420

xy70C．

2.5x2.5y420

2.5x2.5y420 D．

2.5x2.5y70【答案】D。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组（行程问题）。

【分析】设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，

根据相遇时，小汽车比客车多行驶70千米可列方程2.5x－2.5y=70； 根据经过2.5小时相遇，西昌到成都全长420千米可列方程2.5x＋2.5y=420。 故选D。

- 4 -

（2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线yx12.

与⊙O的位置关系是【 】

2

A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能 【答案】B。

【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，在yx2中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ，

∴A（0，－2），B（2，0）。∴OA=OB= 2 。 ∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2， 过点O作OD⊥AB，则OD=BD=

12AB=

12×2=1。

又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。 ∴直线y=x- 2 与⊙O相切。故选B。

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13.（2012四川凉山4分）在函数y【答案】x≥－1且x≠0。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数为是非负数和分式分母不为0的条件，要使

x1xx1x中，自变量x的取值范围是 ▲ 。

在实数范围内有意义，必须

x+10x1x≥－1且x≠0。 x0x014.（2012四川凉山4分）整式A与m2－2mn＋n2的和是（m＋n）2，则A= ▲ 。 【答案】4mn。

【考点】代数式的加减法，完全平方公式。

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【分析】根据已知两数的和和其中一个加数，求另一个加数，用减法．列式计算：

A=（m＋n）2 －（m2－2mn＋n2）==4mn。

15.（2012四川凉山4分）如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为 ▲ 。

【答案】y2x。

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=

12|k|，又反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0。则由1=

2x12|k|

得k=－2。所以这个反比例函数的解析式是y。

16.（2012四川凉山4分）某商品的售价是528元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%～20%，设进价为x元，则x的取值范围是 ▲ 。 【答案】440≤x≤480。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】根据：售价=进价×（1+利润率），可得：进价=售价1+利润率 ，商品可获利润（10%～20%），即售价至少是进价（1+10%）倍，最多是进价的1+20%倍，据此可到不等式组：

528 1+20% ≤x≤528 1+10% ， 解得440≤x≤480。

∴x的取值范围是440≤x≤480。

17.（2012四川凉山4分）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为 ▲ （结果保留）。

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【答案】

4。

【考点】扇形面积的计算，直角三角形两锐角的关系。

【分析】如图，先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可：

∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°。 ∵两个阴影部分扇形的半径均为1，∴S阴影三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分） 18.（2012四川凉山6分）计算：12012|1122cos45|(2)220(1.4)；

90136024。

【答案】解：原式=1|1222|241=1081=8。

【考点】实数的运算，有理数的乘方，特殊角的三角函数值，二次根式化简，绝对值，负整数指数幂，零指数幂。

【分析】针对有理数的乘方，特殊角的三角函数值，二次根式化简，绝对值，负整数指数幂，零指数幂6个考点分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可。 19.（2012四川凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形．

（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；

（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形． （3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）

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【答案】解：（1）如图所示，根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标分别为：

（－2，－1），（－4，－4），（0，－4），（0，－1）。

（2）根据A，B两点关于y轴对称点分别为：A′（2，－1），B′（4，－4），

在坐标系中找出A′，B′，连接DA′，A′B′，B′C，即可得等腰梯形AA′B′B，

即为所求，如下图所示：

（3）将对应点分别向上移动4个单位，可得等腰梯形EFGH，即为所求，如上图所

示。

【考点】作图（轴对称和平移变换），直角梯形和等腰梯形的性质 【分析】（1）根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标即可。

（2）首先求出A，B两点关于y轴对称点，在坐标系中找出，连接各点，即可得出

- 8 -

图象。

（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象。

四、解答题（ 共3小题，20题7分，21题、22题各8分，共23分）

20.（2012四川凉山7分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）求EF的长．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°。

∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠ABE。

∴△ABE∽△DEF。

（2）解：∵△ABE∽△DEF，∴

BEEFABDE。

ABAE22∵AB=6，AD=12，AE=8，∴BE8=4。

∴

10EF10，DE=AD-AE=12－

，解得：EF203。

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF。

（2）由（1）△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得

BEEFABDE ，

又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB－AE，求得DE的长，从而求得EF的长。

21.（2012四川凉山8分）某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：

小明：我站在此处看树顶仰角为45。

- 9 -



小华：我站在此处看树顶仰角为30。 小明：我们的身高都是1.6m. 小华：我们相距20m。

请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度。

（参考数据：21.414，31.732，结果保留三个有效数字）

【答案】解：如图所示，延长BC交DA于E。设AE的长为x m，

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∠AEB=90°， ∴∠CAE=45°， AE=CE=x。 在Rt△ABE中，∠B=30°，AE=x， ∴tanBAEBE，即：BExtan300=3x。

∵BE－CE=BC，BC=20， ∴3xx20，解得x=103+10。 ∴AD=AE＋DE=103+10+1.6≈28.9（m）。 答：这棵汉柏树的高度约为28.9米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】延长BC交DA于E．设AE的长为x米，在Rt△ACE中，求得CE=AE，然后在Rt△ABE中求得BE，利用BE－CE=BC，解得AE，则AD=AE+DE。

22.（2012四川凉山8分）吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图：

- 10 -

根据统计图解答下列问题： （1）同学们一共调查了多少人？ （2）将条形统计图补充完整。

（3）若该社区有1万人，请你估计大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？

（4）为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传。若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有多少人？

【答案】解：（1）∵50÷10%=500，∴一共调查了500人．

（2）由（1）可知，总人数是300人，

∴药物戒烟：500×15%=75（人）；警示戒烟：500－200－50－75=175（人）。 补充完整的条形统计图如图所示：

（3）∵10000×35%=3500，∴估计大约有3500人支持“警示戒烟”这种方式。 （4）∵3500×（1+20%）2=5040（人），∴两期宣传后支持“警示戒烟”的市民

约有5040人。

【考点】扇形统计图，条形统计图，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。 【分析】（1）根据替代品戒烟50人占总体的10%，即可求得总人数。

（2）根据求得的总人数，结合扇形统计图可以求得药物戒烟的人数，从而求得警示

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戒烟的人数，据此补充完整条形统计图。

（3）根据图中“强制戒烟”的百分比再进一步根据样本估计总体。

（4）第一期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有3500×（1+增长率），第二期宣传后

支持“警示戒烟”的市民约有3500×（1+增长率）（1+增长率）。 五、解答题（共2小题，23题8分，24题9分，共17分）

23.（2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小． （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE周长的最小值：

- 12 -

．

【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）8．

【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：

∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。 ∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。 ∴DEDEDD22 345。

22∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。

24.（2012四川凉山9分）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售。相关信息如下表：

冰箱 彩电 进价（元/台） a a400 售价（元/台） 2500 2000 （1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用000元购进彩电的数量相等，求表中a的值。 （2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数

- 13 -

量不少于彩电数量的

56。

①该商场有哪几种进货方式？

②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值。

【答案】解：（1）根据题意得

80000 a000a400，解得a=2000。

经检验a=2000是原方程的根。 ∴a=2000。

（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50－x）台。

550x x ①根据题意得 6a50xa，解得：25x400x9000030011 。

∴有三种进货方式：

1）购买彩电25台，则购进冰箱25台； 2）购买彩电26台，则购进冰箱24台； 3）购买彩电27台，则购进冰箱23台。

②一个冰箱的利润为：500元，一个彩电的利润为400元， ∴w=400x＋500（50－x）=－100x+25000， ∴w为关于x的一次函数，且为减函数。 ∵25x30011 ，x取整数，

∴当x=25时，获得的利润最大，最大为22500元。

【考点】一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解。

（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50－x）台。

①根据题意列不等式组求解。

②用含x的代数式表示利润w，根据x的取值范围和一次函数的性质求解。

B卷（共30分）

六、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 25.（2012四川凉山5分）对于正数x，规定 f(x)11x11415，例如：f(4)，

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1f()411144512，则

f…(…2 ▲ 。

21026.（2012四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG+FH= ▲ 。

2

2

【答案】36。

【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。

∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。

- 15 -

∴EH=

12 BD=3。

12同理可得EF=GH= AC=3，FG=

12 BD=3。

∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。 ∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE+OH=EH=9。 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36。 ∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。

七、解答题（共2小题，27题8分，28题12分，共20分）

27.（2012四川凉山8分）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把

A三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）． O2

2

2

（1） 求证：△POD≌△ABO；

（2） 若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式

【答案】（1）证明：连接PB，

A三等分， ∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把O∴∠APB=∠DPO=

13×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。

∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。 ∴AB=PA，∠BAO=60°， ∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。 在△POD和△ABO中，

∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ， ∴△POD≌△ABO（ASA）。

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。

- 16 -

∵∠AOB=

12∠APB=

12×60°=30°，∴∠PDO=30°。

3∴OP=OD•tan30°=3×3=3。∴点P的坐标为：（－3，0）。

∵点P，D在直线y=kx+b上， ∴b3  3 kb0 ，解得：k b33 。

∴直线l的解析式为：y=3x+3。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，锐角三角函数定义，直线上点的坐标与方程的关系。

A三【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把O等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。

（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定

系数法，即可求得直线l的解析式。

28.（2012四川凉山12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？

（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

- 17 -

【答案】解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。

∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点， ∴4bc0  16c4，解得 2

b3  c4。

∴抛物线解析式为y=－x－3x＋4。

令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1， ∴C（1，0）。 （2）如图1，设D（t，0）。

∵OA=OB，∴∠BAO=45°。

∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）。

PE=yP－yE=－t－3t＋4－t－4=－t－4t=－（t+2）+4。 ∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。 （3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。

设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。 ∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m。 又M为OA中点，∴MH=2－m。 当△MON为等腰三角形时：

①若MN=ON，则H为底边OM的中点， ∴m=1，∴yQ=4－m=3。

2

2

2

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由－xQ2－3xQ＋4=3，解得xQ∴点Q坐标为（3+13232133。

13，3）或（2，3）。

②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，

根据勾股定理得：MN=NH＋MH，即2=（4－m）＋（2－m）， 化简得m－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）。 ∴yQ=2，由－xQ2－3xQ＋4=2，解得xQ∴点Q坐标为（3+17232172172

2

2

2

2

2

2

。

，2）或（3，2）。

③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，

根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2， 化简得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，

∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。

综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐

标为

（3+132，3）或（3132，3）或（3+172，2）或（3172，2）。

【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程。

【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。

（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t

的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。

（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次

方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。

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