复合函数求单调区间

1. 求函数

ysin(31x)2的单调区间。

解：

F[f(x)]sin[f(x)]sin(31x)2

112kf(x)2k22（kZ）时F[f(x)]为增函数 可知在

而

f(x)31x,因为x的系数k0，f(x)在R上均为减函数2

根据复合函数性质得增减为减：

1112kx2k2322 154kx4k(kZ)3315即4kx4k(kZ)33

就为F（x）的单调减区间。

同理可得F（x）的单调增区间为：

5114kx4k(kZ)33

所以

ysin(31x)2的单调区间为：

15[4k,4k](kZ)33增区间：

511[4k,4k](kZ)33减区间：

通过观察能轻易知道f(x) 的增减性，从而结合复合函数求解，即增加了对复合函数回忆的加强又熟悉了三角函数的单调性求法。

ysin(x)42.求函数在[0,2]的单调增区间

解：

F[f(x)]sin[f(x)]sin(4x)

132kf(x)2k22（kZ）时F[f(x)]为减函数 可知在

而

f(x)4x,因为x的系数k0，f(x)在R上均为减函数

根据复合函数性质得减减为增：

132kx2k242 512kx2k(kZ)4451即2kx2k(kZ)44

就为F（x）的单调增区间，可知只有k=1的时候增区间在[0,2]内

37ysin(x)[,]4在[0,2]的单调增区间为44

两种解法解三角函数的单调区间。

ysin(x)43.求的单调减区间。

解法一：变形得

ysin(x)sin[(x)]sin(x)444

ysin(x4的单调减区间为：

)112kx2k242的解

132kx2k(kZ)44即

132k,2k(kZ)ysin(x)444的单调减区间为

解法二：

F[f(x)]sin[f(x)]sin(4x)

112kf(x)2k22（kZ）时F[f(x)]为增函数 可知在

而

f(x)4x,因为x的系数k0，f(x)在R上均为减函数

根据复合函数性质得增减为减：

112kx2k242 132kx2k(kZ)4413即2kx2k(kZ)44

132k,2k(kZ)ysin(x)444的单调减区间为

两种方法都有其特点：方法一是记住了三角函数的变换，然后通过sinx的单调区间从而知道sinx的单调区间，再通过整体代换思想求解，简单明了。方法二，从题目来说很容易知道

f(x)4x是在R上的减函数，进而利用复合函数的性质加上整体代换可以进行快速求

解减少变换则减少了错误出现的可能性。