函数的奇偶性与周期性讲义

课前双击巩固

1.函数的奇偶性

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

定义

都有 ,那么函数f(x)是偶函都有 ,那么函数f(x)是奇函数 数

关于 对称

关于 对称

奇函数

图像 特征

2.函数的周期性 (1)周期函数

对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期. 常用结论

1.奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔𝑓(-𝑥)𝑓(𝑥)

=1⇔f(x)为偶函数;

(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔𝑓(𝑥)=-1⇔f(x)为奇函数. 2.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|; (2)若f(x+a)=𝑓(𝑥),则T=2|a|;

1

𝑓(-𝑥)

(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|. 3.函数图像的对称关系

(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=𝑎+𝑏2

对称;

(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点(

𝑎+𝑏2

,0)对称.

题组一 常识题

1.函数f(x)=x-1,f(x)=x,f(x)=x+cos x,f(x)=𝑥+|x|中,偶函数的个数是 .

2

3

2

1

2. 若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是 函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是 函数. 3.已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=√𝑥-1,则f(-2)= .

4.已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x+3),则f(2017)= . 题组二 常错题

◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;性质应用不熟练,找不到解题方法;利用奇偶性求解析式时忽略定义域. 5.函数f(x)=lg(1−𝑥2)|𝑥+3|−3

2

是 (填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数.

6.具有性质f(𝑥)=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.有下列函

𝑥,0<𝑥<1,

11

数:①f(x)=x-𝑥;②f(x)=x+𝑥;③f(x)={0,𝑥=1,其中满足“倒负”变换的函数是 .(填

1

-,𝑥>1.

𝑥

1

序号)

3

7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(𝑥+2),且f(1)=2,则f(2017)= . 8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x+4x-3,则函数f(x)的解析式为

2

f(x)= .

课堂考点探究

探究点一 函数奇偶性的判断

1 (1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

(2)下列函数奇偶性的判断,正确的是 ( )

①f(x)=√2−𝑥2+√𝑥2-2;②f(x)=𝑥2-1,𝑥<0,

③f(x)={2

-𝑥+1,𝑥>0.

ln(1−𝑥2)|𝑥-3|-3

;

A.①是奇函数,②是奇函数,③是偶函数 B.①是偶函数,②是奇函数,③是偶函数

C.①既是奇函数又是偶函数,②是奇函数,③是奇函数 D.①既是奇函数又是偶函数,②是偶函数,③是偶函数 [总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数)是否成立. 式题 (1)已知函数f(x)=𝑥

2𝑥-1

,g(x)=,则下列结论正确的是 ( )

2

𝑥

A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数 B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数 C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数 D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数

(2)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 A.f(x)=x+sin 2x B.f(x)=x-cos x

2

( )

C.f(x)=3-3𝑥 D.f(x)=x+tan x 探究点二 函数的周期性

2 (1)已知函数f(x)满足fx-4=fx+4,当x∈0,2时,f(x)=ln(x-x+1),则函数f(x)在区

2

x1

2

333

间(0,6]上的零点个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

(2) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-√3,且对任意的x都有f(x+2)=

( )

1

-𝑓(𝑥)

,则f(2018)=A.-2-√3 B.-2+√3 C.2-√3 D.2+√3 [总结反思] (1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查.

(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

式题 已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .

探究点三 函数性质的综合应用考向1 奇偶性的应用

3 (1) 设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-√2)=( )

1

1

A.-2 B.2 C.2 D.-2 (2)已知函数f(x)=2|𝑥|+1+𝑥3+22|𝑥|+1

的最大值为M,最小值为m,则M+m等于( )

A.0 B.2 C.4 D.8

[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:

(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.

(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出方程(组),进而得出参数的值.

(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.

(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值和为零可求一些特殊结构的函数值. 考向2 奇偶性与单调性

4 (1)已知f(x)是奇函数,并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是 ( ) A. B. 4

81

1

2

C.- D.- 8

8

73

(2)设偶函数f(x)满足f(x)=2-4(x≥0),则满足f(a-2)>0的实数a的取值范围为 ( )

xA.(2,+∞) B.(4,+∞) C.(0,4)

D.(-∞,0)∪(4,+∞)

[总结反思] (1)利用偶函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相同,可以把函数不等式化为一般的不等式;(2)注意偶函数性质f(x)=f(|x|)的应用. 考向3 奇偶性与周期性

5 (1)已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=1,则f(2016)+f(2017)=

( )

B.1

A.-2

C.0 D.-1

(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x,则方程f(x)=sin |x|在[-10,10]内的根的个数为 .

2

[总结反思] 利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质. 考向4 奇偶性﹑周期性与单调性

6 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则

f(x)在下列哪个区间上单调递减 ( )

A.[3,7] B.[4,5] C.[5,8] D.[6,10]

(2) 定义在R上的奇函数f(x)满足fx+1,

32

32

=f(x),当x∈0,2时,f(x)=log1(1-x),则f(x)在区间

2

1

内是 ( )

A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0 C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0

[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解. 强化演练

1.【考向1】 已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=3,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)= ( ) A.3 B.3 C.π

D. 34π

π

2π

π

2.【考向2】 已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(ln x)2

-2

C.(e,+∞)

2D.(e,e)

-2

2

3.【考向4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )

A.f(-25)C.f(11)4.【考向3】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-2)= . 5.【考向3】 设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2-1.则f(2)+f(1)+f(2)+f(2)+f(2)= . x5

135

参

【课前双基巩固】 知识聚焦

1.f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 2.f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 对点演练

1.2 [解析] f(x)=x-1和f(x)=x+cos x为偶函数. 2.减 减 [解析] 根据奇偶函数图像的对称性可得. 3.1-√2 [解析] f(-2)=-f(2)=-(√2-1)=1-√2.

4.1 [解析] 因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2017)=f(672×3+1)=f(1)=log4(12+3)=1.

1−𝑥2>0,

5.奇 [解析] 由{得-1|𝑥+3|−3≠0,

2

2

∴f(x)=|𝑥+3|−3=lg(1−𝑥2)lg(1−𝑥2)

𝑥

,∴f(-x)=1

1

lg(1−𝑥2)

-𝑥

=-f(x),∴f(x)是奇函数.

1

11

𝑥

6.①③ [解析] 对于①,f()=-x=-f(x),满足题意;对于②,f()=+1=f(x)≠-f(x),不满足题意;

𝑥𝑥𝑥𝑥

1 𝑥,0<𝑥<1,,𝑥>1, 𝑥1111

对于③,f(𝑥)=0,𝑥=1,即f(𝑥)={0,𝑥=1,故f(𝑥)=-f(x),满足题意.

1

-𝑥,0<𝑥<1, -𝑥,>1,

{𝑥

1

1

7.2 [解析] ∵f(x)=-f(𝑥+2),∴f(x+3)=f[(𝑥+2)+2]=-f(𝑥+

32

333

)=f(x),∴f(2017)=f(3×672+1)=f(1)=2.

𝑥2+4𝑥-3,𝑥>0,8.{0,𝑥=0, [解析] 设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+4(-x)-3]=-x2+4x+3,

-𝑥2+4𝑥+3,𝑥<0𝑥2+4𝑥-3,𝑥>0,

由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)= {0,𝑥=0,

-𝑥2+4𝑥+3,𝑥<0.【课堂考点探究】

例1 [思路点拨] (1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.

(1)C (2)C [解析] (1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错误;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D错误.故选C.

(2)①中,易知函数的定义域为{-√2,√2},所以f(x)=0,所以f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以①既是1−𝑥2>0,

奇函数又是偶函数;②中,由{得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所

|𝑥-3|-3≠0以f(x)=C.

变式题 (1)A (2)D [解析] (1)易知h(x)=f(x)+g(x)的定义域为{x|x≠0}.因为

ln(1−𝑥2)

-𝑥

,验证知f(-x)=-f(x)成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选

f(-x)+g(-x)=2-𝑥-1+2=-1−2𝑥-2=A.

-𝑥-𝑥

𝑥·2𝑥𝑥𝑥(1-2𝑥)-𝑥𝑥

1−2𝑥-2=2𝑥-1+2=f(x)+g(x),所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数.故选

𝑥𝑥

(2)对于选项A,函数的定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),所以f(x)=x+sin 2x为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)-cos(-x)=x-cos x=f(x),所以f(x)=x-cos x2

2

2

为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f(-x)=3--𝑥=-3--xx113𝑥

3

=-f(x),所以f(x)=3x-3𝑥为奇函

1

数;只有f(x)=x+tan x既不是奇函数也不是偶函数.故选D.

2

例2 [思路点拨] (1)先确定函数f(x)在0,2上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f(x+2)=-𝑓(𝑥)可得出函数的周期为4,再求f(2018).

3

3

3

3

1

3

(1)B (2)A [解析] (1)由fx-4=fx+4得fx+2=f(x),即函数是周期为2的周期函数.∵当

x∈0,2时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,得x2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f(x)的周期为

32

3

,∴方程f(x)=0在区间(0,6]上的解有1,,4,,共4个.

2

2

1

511

(2) 由f(x+2)=1

-𝑓(𝑥)

,得f(x+4)=1

1

-𝑓(𝑥+2)1=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f(2).因为

f(2+2)=-𝑓(2),所以f(2)=-𝑓(4)=-2−3=-2-√3.故f(2018)=-2-√3.

√变式题 803 [解析] 依题意,f(1)=f(1+3)=f(4)=3×4-1=11,f(2)=3×2-1=5,f(3)=3×3-1=8,所以f(1)+f(2)+f(3)=24,所以f(1)+f(2)+f(3)+…

+f(100)=33[f(1)+f(2)+f(3)]+f(100)=33×24+f(1)=792+11=803.

例3 [思路点拨] (1)利用偶函数将求f(-√2)转化为求f(√2);(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.

(1)B (2)C [解析] (1)∵f(x)为偶函数,∴f(-√2)=f(√2),又当x>0时,f(x)=log2x,∴f(√2)=log2√2=2,即f(-√2)=2. (2)f(x)=2·(2|𝑥|+1)+𝑥3

2|𝑥|+1

1

1

=2+2|𝑥|+1,设g(x)=2|𝑥|+1,∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函

𝑥3𝑥3

数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4. 例4 [思路点拨] (1)函数只有一个零点,所以f(2x+1)+f(λ-x)=0有唯一解,即f(2x+1)=f(x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),再据单调性求解.

2

2

(1)C (2)D [解析] (1)令y=f(2x+1)+f(λ-x)=0,因为f(x)是奇函数,所以

2

f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即

2x-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-8.

2

7

(2)∵偶函数f(x)满足f(x)=2-4(x≥0),∴函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(2)=0,∴不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.

x例5 [思路点拨] (1)由f(x)是奇函数且f(x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f(x)是周期为4的函数,f(x)=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.

(1)B (2)10 [解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,且有f(x)=-f(-x),即有f(x+1)=-f(-x-1),又∵f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(-x+1)=-f(-x-1),即f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,∴f(2016)+f(2017)=f(504×4)+f(1+504×4)=f(0)+f(1)=0+1=1.

(2)∵函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.

例6 [思路点拨] (1)由函数f(x)是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x∈0,2时单调递增,且f(x)>0,进而根据奇函数得出x∈-2,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,

32

1

1

上的情况.

(1)B (2)D [解析] (1)依题意知,f(x)是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,所以f(x)在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f(x)在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f(x)在[4,5]上单调递减. (2)当x∈0,

1

12

时,由f(x)=log1(1-x)可知f(x)单调递增且f(x)>0,又函数为奇函数,所以在区间

2

-2,0上函数也单调递增,且f(x)<0.由fx+2=f(x)知,函数的周期为2,所以在区间1,2上,

函数单调递增且f(x)<0.故选D. 强化演练

1.B [解析] 由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故

333

f(x)=f(x+4),则F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=3,故选B.

2.D [解析] 根据题意,f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f(ln x)2π

3.D [解析] 因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足

f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)1

5

1

1

1

1

1

f(2)+f(1)+f(2)+f(2)+f(2)=f(2)+f(1)+f(-2)+f(0)+f(2)=f(2)+f(1)-f(2)+f(0)+f(2)=f(2)+f(1)+f(0)=2-1+21-1+20-1=√2.

1

2

1351111111