高考总复习对数与对数函数知识梳理

高考总复习对数与对数函数

【考纲要求】

1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质.

3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】

对数与对数函数 对数的概念 指对互化运算

对数运算性质 对数函数的图像与图象与性质

【考点梳理】

考点一、对数概念及其运算

xx

我们在学习过程遇到2=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.

(一)对数概念:

1.如果aNa0，且a1，那么数b叫做以a为底N的对数，

b记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

logNaaN

logaNb3.对数logaNa0，且a1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N0； (2)1的对数为0，即loga10； (3)底的对数等于1，即logaa1.

2.对数恒等式：

(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN.

(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.

abN

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数

已知logaM，logaNa0且a1，M、N0 (1)logaMNlogaMlogaN；

推广：logaN1N2LNklogaN1logaN2LlogaNkN1、N2、L、Nk0

MlogaMlogaN； N(3)logaMlogaM.

(2)loga(五)换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) logaMlog即bloganb

Mn(nR)

bn

n

令 logaM=b， 则有a=M， (a)=M，即(a)M，

annbnMn，即:logaMloganMn.

logcM(c0,c1)，令logaM=b，

logcalogcM，

logca(2) logaMb

b则有a=M， 则有 logcalogcM(c0,c1)

即blogcalogcM， 即b即logaMlogcM(c0,c1)

logca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

logab1(a0,a1,b0,b1).

logba考点二、对数函数及其图像、性质

1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内，

当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；

当0(1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0)

0(x1)(3)当a>1时，logax0(x1)

0(0x1)0(x1)当0a1时，logax0(x1)

0(0x1)【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化：

(1)log283；(2)log192；(3)log33x3；

1141(4)5625；(5)3；(6)3423216.

31【解析】(1)28；(2)9；(3)3x；

31(4)log56254；(5)log31；(6)log1162.

34【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决

问题的重要手段.

举一反三：

【变式】求下列各式中x的值：

2 (2)logx86 32(3)lg100=x (4)-lnex

(1)logx【解析】(1)x()623(4)16632316423()313642121； 162；

(2)x8，所以x(x)(8)(2)2x2

(3)10=100=10，于是x=2；

(4)由lnex，得xlne，即e类型二、对数运算法则的应用 例2.求值

(1) log·log2732

22xe2 所以x2.

111log3log5 253(3)log2(log232log1log436)

4(2)log32log22(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log2+log52)

2510. 3395232(2)原式=log262log25log32log5310

【解析】(1)原式=log233log33225

(3)原式=log2(5log213log2262) 43log2(5log2log26)log283

413(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log2+log52) (3log25log25log25)(3log52)

133log52log2513 3举一反三：

【变式】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=? 【解析】∵ log3211 ∴log32， log23alog356log37log38log4256

log342log37log36log373log32 log371log32b3a1ab1ab3

aba1类型三、对数函数性质的综合应用 例3.已知函数f(x)log1(x2x)

22（1）求函数f(x)的值域；（2）求f(x)的单调性 【解析】

(1)由题得-x22x0x22x00x2当0x2时，y-x22x(x22x)(0,1]log1(-x22x)log11022函数ylog1(-x22x)的值域为[0,).2(2)设u-x22x(0x2)vlog1u2

Q函数u-x22x在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数。vlog1u是减函数2由复合函数的单调性得函数f(x)=log1(-x22x)2在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数。举一反三：

【变式】（2015 天津高考文）已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|―1（m为实数）为偶函数，记a=f(log0.53)，

b=f(log25)，c=f (2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）

(A)a＜b＜c (B)c＜a＜b (C)a＜c＜b (D)c＜b＜a 【答案】B

【解析】由题意，f(m)f(m)，即2|2m|10，解得m=0，所以f(x)2|x|1

因为0log0.53log0.2，log25log242，2m=0

由函数f(x)关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调增可知：cab.故选B. 例4．求函数y=log1(-x+2x+3)的值域和单调区间.

22

【解析】设t=-x+2x+3，则t=-(x-1)+4. ∵ y=log1t为减函数，且0222

∴ y≥log14=-2，即函数的值域为[-2，+∞).

2再由：函数y=log1(-x+2x+3)的定义域为-x+2x+3>0，即-12

2

2∴ t=-x+2x+3在(-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=log1t为减函数.

2

2∴ 函数y=log1(-x+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3).

2

2例5. 判断下列函数的奇偶性.

1-x; (2)f(x)ln(1x2-x). 1x1-x【解析】由0可得-1x1

1x(1)f(x)lg所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

1x1x11xlg()-lgf(x) 1x1x1x即f(x)f(x)

1-x所以函数f(x)lg是奇函数；

1x又f(x)lg【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

(2)【解析】由1x2-x0可得xR 所以函数的定义域为R关于原点对称，又

f(-x)ln(1xx)lnln11x2-x2(1x2x)(1x2-x)1xx2

-ln(1x2-x)-f(x)

即f(-x)=-f(x)；所以函数f(x)ln(1x2-x)是奇函数.

【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

例6．（2015 泸州模拟）已知函数fxlg1axba0为奇函数，函数gx1xbR. 1x1x

(1)求函数fx的定义域.

(2)当x,时，关于x的不等式fxlggx有解，求b的取值范围.

32【解析】（1）由fxlg111axa0为奇函数得fxfx0 1x1ax1ax1a2x2lglg0 即lg21x1x1x1a2x21解得a1

1x2fxlg1x1x 0解得1x1 1x1xfx的定义域为1,1.

（2）不等式fxlggx等价于

1xb 1x1x1x2即bxx在x,有解，故只需bxx32112min11x,

321111函数yx2xx在x,上单调递增

2432ymin114 339224b的取值范围是,.

9【巩固练习】

一、选择题

abc

1．设a，b，c为正数，且3=4=6，则有( ) A.

111221122212 B. C. D. cabcabcabcab2.（2015 宝安区校级二模）设alog3，blog23，clog32，则（ ） Aa.bc B.acb C.bac Db.ca

3．图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取3,次为( )

431,,，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依3510431413351031031413C.，3，， D.，3，， 35103105A.3，，， B.3，，，

4.已知函数yf(x)的周期为2，当x[1,1]时 f(x)x，那么函数yf(x)的图像与函数

2ylgx的图像交点共有（ ）

A.10个 B.9个 C.8个 D.1个

5．设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2) C.f(a+1)x

6．设方程2+x-3=0的根为，方程log2x+x-3=0的根为，则的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 二、填空题

2

7．已知函数y=loga(kx+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值范围是__________； 若函数的值域为R，则k的取值范围是________.

21x,x18．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是

1log2x,x1A．[－1，2] B．[0，2]

C．[1，＋) D．[0，＋).

9．已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，则a，b，c，d的大小关系是______. 三、解答题

10．设logac， logbc是方程x-3x+1=0的两根，求logac的值.

2

bx211.已知函数f(x3)lg2，

x62(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性.

mx28xn12.已知函数f(x)log3的定义域为R，值域为0,2，求m,n的值.

x21

13．设f(x)11x lgx21x121. 21)判断f(x)的单调性，并给出证明；

-1-1

2)若f(x)的反函数为f(x)，证明f(x)=0有唯一解； 3)解关于x的不等式f[x(x)]14.(2015 天津校级模拟) 对于函数fxlog1xax3，解答下列问题：

22（1）若fx的定义域为R，求a的取值范围. （2）若fx的值域为R，求a的取值范围. （3）若fx在1,上有意义，求a的取值范围.

（4）若fx的值域是,1，求a的取值范围. （5）若fx在,1内为增函数，求a的取值范围.

【参与解析】 一、选择题

abc

1．设3=4=6=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k，

1111logk3， 同理logk4，logk6， alog3kbc11而logk2,logk3logk2， 2bc111221∴，即. ca2bcab∴2.A

【解析】Qlog3log33log22log23log22log32 abc故选A.

4； 331在第四象限内，0a1，从顺时针方向看图象，a逐渐增大，；

510431所以相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为3，，，.选A.

35103. 在第一象限内，a1，从顺时针方向看图象，a逐渐增大，34.A

【解析】Q函数yf(x)的周期为2，当x[1,1]时f(x)x 所以可以做出函数yf(x)的图像，可知函数yf(x)的值域为1,1

再作出ylgx的图像，发现ylgx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增且当x1,y0；

2x10,y1

结合图像可知两函数图像的交点共有10个.

5．由f(x)是偶函数，得b=0；

又因为f(x)在(-∞，0)上是增函数，得0所以0f(b+2)

x

6．将方程整理得2=-x+3，log2x=-x+3，如图所示，

可知是指数函数y=2的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标； 是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.

x

由于函数y=2与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，

x

所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以A，，B，. 注意到A，在直线y=-x+3上，所以有3，即3. 二、填空题

7．[0，）；.要使函数的定义域为R， [，）只需对一切实数x， kx+4kx+3>0恒成立，

2

3434k0,其充要条件是k=0或 216k12k0,33解得k=0或0k，故k的取值范围是[0,).

44要使函数的值域为R，只需kx+4kx+3能取遍一切正数，

2

k0,3

则，解得. k2416k12k0,3故k的取值范围是[,).

418．. ∵14，

24∴f(3log23)()123log2311()log224()22log121241. 24又∵当x<4时，f(x+1)=f(x)，

∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)=

3

1. 240.3

9．b>a>d>c， ∵0.3>0，3>0， ∴a=0.3>0， b=3>0. ∵3>1， 0<0.3<1， ∴c=log30.3<0， d=log0.33<0

0.33

又∵b=3>1， a=0.3<1， ∴ b>a 而clog30.3log311， 310dlog0.33log0.31， ∴d>c.

3三、解答题

11logalogb3logaclogbc3,cc10．依题意得： 即 ，

1logaclogbc1,1logalogbcclogcalogcb3,即 

logcalogcb1.222∴(logcalogcb)(logcalogcb)4logcalogcb345.

∴logcalogcb5. 故logacb1logcab115.

logcalogcb55

22x33x2lg211.(1)∵f(x3)lg2， x6x33∴f(x)lgx3， x3x20得x233， 又由2x6∴ f(x)的定义域为3,.

(2)∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.

2mx8xnmx8xn3212.由f(x)log3，得， x12x12y即3ymgx28x3yn0

∵xR,4(3m)(3n)≥0， 即32yyy(mn)g3ymn16≤0

y由0≤y≤2，得1≤3≤9，

由根与系数的关系得mn19，解得mn5. 9mn161g1x0,13．1)由1x 得-1x20设-11x11x211lg(lg) x121x1x221x2x2x1(1x1)(1x2)lg ，

(x12)(x22)(1x1)(1x2)f(x1)-f(x2)=

又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)

=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0， (1-x1)(1+x2)>0， (1+x1)(1-x2)>0， 所以

(1x1)(1x2)1

(1x1)(1x2)(1x1)(1x2)0，

(1x1)(1x2)x2x10， 又易知

(x12)(x22)所以lg∴ f(x1)-f(x2)>0 ， 即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(-1，1)上是减函数.

111lg1，所以f1()0，

2221-1

即f(x)=0有一个根x.

21-1-1

假设f(x)=0还有一个根x0，则f(x0)=0，

21即f(0)x0，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾.

21-1

故x是方程f(x)=0的唯一解.

2113)因为f(0)，所以f[x(x)]f(0).

221又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以0x(x)1.

21171117,0)(,). 解得x(4242)因为f(0)14.【解析】对于函数fxlog1x2ax3

2（1）Qfx的定义域为R

x2ax30在R上恒成立

即a120得：a23,23 （2）Qfx的值域为R

2yx2ax3的图像不能在x轴上方

即a120解得：a,23U23, （3）Qfx在1,上有意义

2x2ax30在1,上恒成立

a1即0或2解得：23,23U4,2

4a0（4）Qfx的值域为,1

yx2ax3的值域为2,

413a2最小值2，解得a2

4

（5）Qfx在,1上为增函数

yx2ax3在,1内为减函数，且x2ax30在,1上恒成立.

a12解得a2. 4a0