数值分析期末试题

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

x1x2x345x14x23x3122xxx11123

二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y(0)=1, y(1)=—4

三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：

9 1 n=4 四、（10分）证明对任意参数t，下列龙格－库塔方法是二阶的。

hyn1yn(k3k2) xdx2k1f(xn,yn)五、（14分）用牛顿法构造求c公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 k2f(xnth,ynthk1)1a0k3f(xn(1t)h,yn(1t)hk1a1a0a1 试就AX=B建立雅六、（10分）方程组AX=B 其中A=

可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a取何值时

迭代收斂。

2七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式2代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分}证明：

f(x)dxAf(a)Bf{0}Cf(a) 有尽可能多的

AVAV 其中A为矩阵，V为向量.

第二套

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

3x24x31x1x2x322xx2x3231

二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y(0)=0,

y(1)=y(1)= 1,y(2)=1

三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、

复化的辛普生公式及其下表计算下列积分：

/2

sinxdx0

/12 /2 x 0 2/12 3/12 4/12 5/12 sinx 四、（12分）证明下列龙格－库塔方法是三阶的。

h yn1yn(3k3k1)4 kf(x,y)1nn k2f(xnh/3,ynhk1/3)  k3f(xn2h/3,yn2hk2/3)五、（10分）试确定常数A,B,C使得数值积分公式

2f(x)dxAf(0)Bf(1)Cf(2)0

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有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。

1六、（14分）用牛顿法构造求c公式，验证其收敛性。并求1/ e(保留4位有效数字)。 七、{10分}证明：设非负函数N(x)=x为Rn上任意向量范数，则N(x)是x分量x1,x2,…xn的连续

函数.

参

一、解：（8分）

3x24x31x1x2x322xx2x3231

增广矩阵：

134111/213/211/213/211120014/31/334121212303/201/200 (4分) 解得：x1=2/3, x2=-1/3 x3=1./2 （8分） 二、解：（12分）

注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商

设 P(x)=0(x)y(0)+1(x) y(1)+2(x)y(2)+0(x) y’(0)+1(x) y’(1) (4分) 解得：

1(x)=x2(x-2)2 2(x)=(1/12)x2(x-1)2 1(x)=-x2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= 1(x) y(1)+2(x)y(2)+1(x) y’(1)= 1(x) +2(x)+1(x)

= x2(x-2)2+(1/12)x2(x-1)2 +x2(x-1)(x-2) (4分)

三、解：（14分） 推证复化的梯形公式 (3分)

推证复化的辛普生公式 (3分)

/2利用复化的梯形公式

sinxdx0= =

/2利用复化的辛普生公式

sinxdx0 四、（12分）证明：

hyn1yn(3k3k1)k3=f(xn,yn)+2h/3f’(xn,yn)+(2h/3)2f’’(xn,yn)/2+0(h2) (44k1f(xn,yn)分) 23

k2f(xnh/3,ynhk1/3)yn+1=yn+h/4(3 k3+k1)= yn+ h f(xn,yn)+hf’(xn,yn)/2+h/6f’’(xn,yn)

3) (8分) +0(h

k3f(xn2h/3,yn2hk2/3)yn+1*= yn+ h yn’ +h2yn’’/2+h3/6 yn’’’ +0(h3)

yn+1 -yn+1*=0(h3)

则该公式是三阶的 (12分)

五、解：（10分） 将1，x,x2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3

解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3

2141f(0)f{1}f(2)3330 (8分)

代数精确度为2 (10分)。

六、证明：（14分）1/x-c=0

f(xk)Xk+1=xk-f(xk)=xk(2-cxk) f(x)dxXk+1-1/c=-c(xk-1/c)2

r设rk=1-cxk rk+1=rk2 反复递推 rk=0(8分)

若选初值0七、{10分}证明：设x=

2kxei1niiy=

nyei1inii (4分)

N(x)N(y)xyxy(xi1yi)eicxy0(cei)i1n..(10分)

第三套

一、 （10分）利用列主元素消去法解方程：

246x13492•x52113x34

二、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：

hyn1yn(2k13k24k3)9k1f(xn,yn)hhk2f(xn,yn)2233k3f(xnh,ynh)44

三、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,P(0)4,P(1)6,

四、 （20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次

数:

baf(x)dxba[f(a)f(b)]a(ba)2[f(a)f(b)]2

五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别

9

利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分1



xdx

(n=8)

六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间[1,]上的根。（1）要得到具有3位有效数的

近似根，须作几次二分；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。

nnnn七、（10分）设•是R中的任意范数，AR，则有(A)A

参

五、（10分）利用列主元素消去法解方程：

解：

492463(4)92501211340(5)42515251124 （5分）

x1=139/20, x2=5/2, x3=-3/20 （10分）

六、（15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：

121hy(xn)h3y()26证:（5分）

111k2f(xn,yn)hf(xn,yn)(h)2f(,y())222 （9分） 331k3f(xn,yn)hf(xn,yn)(h)2f(,y())442 （13分）

y(xn+1)- yn+1=o(h3) （15分）

y(xn1)y(xn)hy(xn)

七、（10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,P(0)4,P(1)6,

解：设p3(x)p01(x)p12(x)p11(x)p22(x) （2分）

1(0)1,1(1)0,1(0)0,1(1)0

(0)0,2(1)0 2(0)0,2(1)1,2(0)1,1(1)0 1(0)0,1(1)0,1(0)0,2(1)1 （6分） 2(0)0,2(1)0,2p3(x)3+4x-2x2+6x2(x-1) （10分）

八、（20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:

baf(x)dxba[f(a)f(b)]a(ba)2[f(a)f(b)]2

b解：将

1,x，x2,,x3代入af(x)dxba[f(a)f(b)]a(ba)2[f(a)f(b)]2（4分）

13ba2(ba3)[ab2]a(ba)2[2a2b]2得3（10分）

14ba3(ba4)[ab3]a(ba)2[3a23b2]42

a=b=1/2（15分）

将1,x，x2,,x3,x4,x5代入公式的两端，可得该公式具有4次代数精确度。（20分）

五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯

9

形公式和Simpson公式计算积分1



xdx

(n=8)

证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式（5分）

Simpson公式推导复化Simpson公式（10分）

9

解：利用复化的梯形公式1



xdx

(n=8) = （15分）

9

Simpson公式计算积分



1

xdx

(n=8)= （20分）

六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间[1,]上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作

几次；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。 解：须作3次（5分）

将[1,] [1，], [,] f(1)<0, f <0, （8分） 将[,] 二分为[,],[,] f >0, （10分） 将[,]二分为[,],[,] f <0（12分）

[,]的 中点为方程f(x)=x3+4x2-10的近似根（15分）

七、设

•是Rnn中的任意范数，ARnn，则有(A)A

证: 设是的任意特征值，x为相应的向量, （2分）

则Axx,

$

xxAxAx （8分）(A)A（10分）