2018天津高考理科数学试卷含答案

2018天津理

一． 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝( ) A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2}

D．{x|0＜x＜2}

【解析】因B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}，因A＝{x|0＜x＜2}，故A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．

2x－y≤4，

2．设变量x，y满足约束条件－x＋y≤1，

y≥0，

A． 6 B． 19 C． 21 D． 45

x＋y≤5，

则目标函数z＝3x＋5y的最大值为

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A

－x＋y＝1，

处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：A(2，3)，据此可知目标函数x＋y＝5，

2＋5×3＝21．本题选择C选项． 的最大值为：zmax＝3×

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为



A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【解析】结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：N＝20，i＝2，T＝0，

N

＝10，结果为整数，执行T＝1，i＝3，此时不满足i≥5； i

N20

＝，结果不为整数，执行i＝4，此时不满足i≥5； i3

N

＝5，结果为整数，执行T＝2，i＝5，此时满足i≥5； i

跳出循环，输出T＝2．

11

4．设x∈R，则“|x－|＜”是“x3＜1”的

22

A．充分而不必要条件 B．必要而不重复条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11111

【解析】绝对值不等式|x－|＜，即－＜x－＜，即0＜x＜1，由x3＜1，即x＜1．据此可知|x－

2222211

|＜是x3＜1的充分而不必要条件．本题选择A选项． 22

1

5．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系是( )

23A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b

【解析】c＝log23＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c＞a＞1．又b＝ln 2＜1，故c＞a＞b．

ππ

6．将函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )

510

11



3π5π3π

A．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，π]上单调递减

4445π3π3π

C．在区间[，]上单调递增 D．在区间[，2π]上单调递减

422

ππππ

【解析】把函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin 2x

510105ππππ3π5π

的图像，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)

2244443π5π

＝sin 2x的一个单调递增区间为[，]，故选A．

44

x2y2

7．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，

abB两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D． －＝1

3993412124

b2b2b

【解析】由题意不妨设A(c，)，B(c，－)，不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－

aaabc－b2＋bc＋b2

ay＝0，则d1＝22，d2＝22，故d1＋d2＝22＋22＝＝2b＝6，

ca＋ba＋ba＋ba＋bc

故b＝3．又＝

a1．

8．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边→→CD上的动点，则AE·BE的最小值为

c2

＝a2

a2＋b2

＝a2

b2x2y2

222

1＋2＝2，故b＝3a，得a＝3．故双曲线的方程为－＝a39

|bc－b2|

|bc＋b2|

|bc－b2|

|bc＋b2|

21325

A． B． C． D．3

16216

【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，

13因在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，故A(0，0)，B(1，0)，D(－，)．设

22



33→13331→

C(1，m)，E(x，y)，故DC＝(，m，－)，AD＝(－，)，因AD⊥CD，故(，m，－)·(－，

2222222331333

)＝0，则×(－)＋(m－)＝0，解得m＝3，即C(1，3)．因E在CD上，故≤y≤3，由2222223

23－y→→→→

kCE＝kCD，得＝，即x＝3y－2，因AE＝(x，y)，BE＝(x－1，y)，故AE·BE＝(x，y)·(x

11－x

1＋2

3－

－1，y)＝x2－x＋y2＝(3y－2)2－3y＋2＋y2＝4y2－53y＋6，令f(y)＝4y2－53y＋6，y∈[3]．因函数f(y)＝4y2－53y＋6在[

3，2

35353，]上单调递减，在(，3]上单调递增，故f(y)min＝288

532532121→→

4×()－53×＋6＝．故AE·BE的最小值为． 881616二． 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 6＋7i

9．i是虚数单位，复数1＋2i＝___________． 6＋7i6＋7i

【解析】由复数的运算法则得：1＋2i＝1＋2i

1－2i20－5i

1－2i＝5＝4－i．

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 10．在(x－2x)5的展开式中，x2的系数为____________． 【解析】结合二项式定理的通项公式有：Tr＋1＝Cr5x＝2，则x

2

2

的系数为：C25(2)＝2．

5－r

313

－rrr5r

(2x)＝(－2)C5x2，令5－2r＝2可得：r

1

1

15

11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积__________．

【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的

11

中点，故EH∥AC，EH＝AC．因为F，G分别为B1A，B1C的中点，故FG∥AC，FG＝AC．故

22EH∥FG，EH＝FG，故四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，故四边形EHGF为11211

正方形．又点M到平面EHGF的距离为，故四棱锥M－EFGH的体积为××＝．

23221212． 已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线

2

(为参数)与该圆相交于A，B两点，

则△ABC的面积为___________．

【解析】由题意可得圆的标准方程为：(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为：

，



即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，

则．

1

13．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋b的最小值为__________．

81

【解析】由题知a－3b＝－6，因为2a＞0，8b＞0，故2a＋b≥2×

81

当且仅当2a＝b，即a＝－3，b＝1时取等号．

8

2x＋2ax＋a，x≤0，

14．已知a＞0，函数f(x)＝－x2＋2ax－2a，x>0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，

11－－

2a×b＝2×2a3b＝226＝，84

则a的取值范围是______________．

【解析】当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得

2－x－ax，x≤0，

2a＝－x2＋ax．令g(x)＝2作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x＞0)的图像，函数g(x)的图像如

－x＋ax，x>0.

a2a2a2a2

图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图像可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜＜

42442a，解得4＜a＜8．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

π

15．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsin A＝acos(B－)．

6(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

abπ

【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos(B－)，得

sin Asin B6πππ

asin B＝acos(B－)，即sin B＝cos(B－)，可得tan B＝3．又B∈(0，π)，可得B＝．

663

π

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7．由bsin

3π3243A＝acos(B－)，可得sin A＝．因a＜c，故cos A＝．因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A

677714311333

＝2cos2A－1＝．故，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝．

7727214

16．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中



抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ．．

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率． 【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

k

CkC34·3

(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．

C37

－

故，随机变量X的分布列为

X P 0 1 351 12 352 18 353 4 3511218412随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．

353535357

②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①6

知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝．故，事件A发生

76

的概率为．

7

17．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； (2)求二面角E－BC－F的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．

→→→

解 依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，3

0，，1，N(1，0，2)． 1，2)，G(0，0，2)，M2



→n·DC＝0，0→→

(1)证明 依题意DC＝(0，2，0)，DE＝(2，0，2)．设n0＝(x，y，z)为平面CDE的法向量，则

→n0·DE＝0，

2y＝0，3→→

1，－，1，可得MN·即不妨令z＝－1，可得n0＝(1，0，－1)．又MN＝n0＝0，又22x＋2z＝0，

因为直线MN⊄平面CDE，所以MN∥平面CDE．

→→→

(2)依题意，可得BC＝(－1，0，0)，BE＝(1，－2，2)，CF＝(0，－1，2)．设n＝(x，y，z)为平面→BC＝0，n·－x＝0，

BCE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(0，1，1)．设m＝(x，y，

→x－2y＋2z＝0，BE＝0，n·→BC＝0，m·－x＝0，

z)为平面BCF的法向量，则即不妨令z＝1，可得m＝(0，2，1)．因此有

→－y＋2z＝0，CF＝0，m·m·n3101010

cos〈m，n〉＝＝，于是sin〈m，n〉＝．所以，二面角E－BC－F的正弦值为．

|m||n|101010→→

(3)设线段DP的长为h(h∈[0，2])，则点P的坐标为(0，0，h)，可得BP＝(－1，－2，h)．易知，DC→→|BP·DC|22→→

＝(0，2，0)为平面ADGE的一个法向量，故|cos〈BP，DC〉|＝＝2，由题意，可得2

→→h＋5h＋5|BP||DC|＝sin 60°＝

333

，解得h＝∈[0，2]．所以，线段DP的长为． 233

，

是等差数列．已知

，

，

18．设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为

，

(I)求

和

．

的通项公式； 的前n项和为

，

(II)设数列(i)求； (ii)证明

．

的公比为q．由的公差为d，由

可得，可得

．因为由

，可得，可得

，

【解析】(I)设等比数列故

．设等差数列



从而

(II)(i)由(I)，有

故 故数列的通项公式为，数列的通项公式为

，故．

(ii)因为，故

．

x2y25

19．设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标

ab3为(b，0)，且|FB|·|AB|＝62． (1)求椭圆的方程；

|AQ|52(2)设直线l：y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若＝sin

|PQ|4∠AOQ(O为原点)，求k的值．

c25

【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有2＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b．由已知可得，|FB|

a9x2y2

＝a，|AB|＝2b，由|FB|·|AB|＝62，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2．故，椭圆的方程为＋＝1．

94(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．由已知有y1＞y2＞0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2．又因为|AQ|＝

y2π|AQ|52

，而∠OAB＝，故|AQ|＝2y2．由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2．由方

4|PQ|4sin∠OAB

y＝kx，6k

程组x2y2消去x，可得y1＝．易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，由方程组2

9k＋49＋4＝1，

y＝kx，2k

消去x，可得y2＝．代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝39k2＋4，将等式两边平方，

k＋1x＋y－2＝0，

111111

整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝．故k的值为或．

228228

20．已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a＞1． ⑴．求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间；

⑵．若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线平行，证明：x1＋g(x2)＝－

1

(2ln ln a)； lna

1

⑶．证明当a≥ee时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． 【解】⑴．由已知，h(x)＝ax－xln a，有h′(x)＝(ax－1)ln a．令h′(x)＝0，解得x＝0．由a＞1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：



x h′(x) h(x) (－∞，0) － ↘ 0 0 极小值 (0，＋∞) ＋ ↗ 故函数h(x)的单调递减区间(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．

⑵．证明：由f′(x)＝axln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ax1ln a．由g′(x)＝

1，xln a

可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为1/(x2ln a)．因这两条切线平行，故有ax1ln a＝1/(x2ln 1

a)，即x2ax1(ln a)2＝1．两边取以a为底的对数得，x1＋logax2＋2loga(ln a)＝0，故x1＋g(x2)＝－(2ln

lnaln a)．

⑶．证明：曲线y＝f(x)在点(x1，ax1)处的切线l1：y－ax1＝ax1ln a(x－x1)．曲线y＝g(x)在点(x2，loga x2)处的切线l2：y－loga x2＝[1/(x2ln a)](x－x2)．要证明当a≥ee时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线，只需证明当a≥ee时，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使得l11

和l2重合．即只需证明当a≥ee时，方程组ax1ln a＝1/(x2ln a)①，ax1(1－x1ln a)＝－＋loga x2②有解，

lna

1

1

1

由①得，a

x1

(ln a)2＝

111x1

，代入②得，x1＋a(1－x1ln a)＋(1＋2lnln a)＝0③，因此，只需证明当a≥eex2lna

11

时，关于x1的方程③有实数解．设函数u(x)＝x＋ax(1－xln a)＋(1＋2lnln a)，即要证明当a≥ee时，

lna

函数y＝u(x)存在零点．u′(x)＝1－xax(ln a)2，可知x∈(－∞，0)时，u′(x)＞0；x∈(0，＋∞)时，u′(x)单调递减，又u′(0)＝1＞0，u′(x)[1/(ln a)2]＝1－a[1/(ln a)2]＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′(x0)＝0，即1－x0ax0(ln a)2＝0．由此可得u(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．u(x)在x＝x0处取得极大值u(x0)．因a≥ee，故lnln a≥－1，故u(x0)＝x0＋ax0(1－x0ln a)＋x0＋[1/x0(ln a)2]＋

11

(1＋2lnln a)≥(2＋2lnln a)≥0． lnalna

1

1

(1＋2lnln a) ＝lna

1

下面证明存在实数t，使得u(t)＜0．由⑴得，ax≥1＋xln a，当x＞时，有u(x)≤x＋(1＋xln a)(1

lna－xln a)＋

1

11

(1＋2lnln a)＝x＋1－x2(ln a)2＋(1＋2lnln a)，故存在实数t，使得u(t)＜0，因此，当lnalna

1

a≥ee时，存在x1∈(－∞，＋∞)，使得u(x1)＝0．故当a≥ee时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线．

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，故在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析



几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．