数学分析高等数学导数与微分习题有答案教材

重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义 难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数 例题:

aexbex,x0f(x)1例1 试确定a、b之值,使函数在ln(1x),x0x

内可导,并求

13xsinx,0x例2 设 f(x) 证明f(x)在x0处连续,可微,且导函

0,x0数在x

0处连续,但f'(x)在x0处不可导

1f例3 设f(u)在ut处可导,求limr0r

rtarfta(a0为常数)

例4 求下列函数的导数y'

(１)

yx(2x)2xx3yarctanx2x (x0)(２)

1xyln1x (３)

22y(x)(x)的导数. (x)(x)例5 设和是可导函数,求函数

例6 设yy(x)由方程yf(x)xf(y)x数,试求y'.

22确定,其中f(x)是

x的可微函

xf'(t)d2y例7 已知yt'f(t)f(t),f''(t)0.求dx2



lnf(x)例8 设f(x)0且处处可微,求df(f(x)).

例9 求下列函数的高阶导数

(１)

y(x2)(2x3)2(3x4)3,求y(6)

44(n)ysinxcosx,求y. (２)

x21(n)y2x,求y.e(３)

(４)

1y2，求y(n).

x5x6例10 设函数f(x)满足:

(１) 对于任意实数x1,x2,有(２) 证明:

f(x1x2)f(x1)f(x2)

f(x)在x0可导,且f'(0)1. f(x)可导且f'(x)f(x)

1作业题:求平面曲线yx与yx(x0)的公切线方程.

2

答案：

例1 试确定a、b之值,使函数

aexbex,x0f(x)1ln(1x),x0 x

内可导,只需f(x)在x在内可导,并求

解: 欲使f(x)在

0处连续,可导,由

xxlimf(x)lim(aebe)ab x0x0limf(x)lim x0x0而f(x)在x11ln(1x)lim1 x01xx0处连续,得

ab1……………………（1）

f(x)f(0)aexbexabf'(0)limlimab x0x0xxa(ex1)b(ex1)limlim x 0x0xxxxlimalimbab x0xx0xln(1x)(ab)f(x)f(0)xf'(0)limlim x0x0xx11ln(1x)x11xlimlim x20x0x2x2由f(x)在x0处可导,得

1ab

2………………………（2）

1313联立(1)与(2)解得a,b.所以当a,b时,f(x)在x0处可导,且

44441x3xee,x044f'(x)11 2ln(1x),x0x(1x)x

例2 设

证明f(x)在可导

13xsin,x0f(x)x

0,x0x0处连续,可微,且导函数在x0处连续,但f'(x)在x0处不

1f(x)limxsin0f(x),故f(x)在x0处连续,又 证: 因为limx0x0x31xsinf(x)f(0)12xf'(0)limlimlimxsin0,x0x0x0xxx3故f(x)在

x0处可导,也可微.当x0时,

11f'(x)3xsinxcos.

xx211limf'(x)lim(3xsinxcos)0f'(0). x0x0xx2故导函数f'(x)在x0处连续,但

f'(x)f'(0)11limlim(3xsincos)不存在. x0x0xxx0处不可导

故导函数f'(x)在x

例11 设f(u)在ut处可导,求

1limfr0rrtarfta(a0为常数)

1f解: limr0rrtarft arrf(t)f(t)f(t)f(t)aalim r0rrrf(t)f(t)f(t)f(t)11aalimlimr0rrar0a()aa

11f'(t)aa

2f't()a ft'()例12 求下列函数的导数y'

(１) (２)

yx(2x)2xx(x0)

yarctanx32x 1xyln1x

(３)

(１) 解:

y'(x2x)'[(2x)x]',令y1x2x,

y'1 lny12xlnx,y22lnx

1

y'1x2x(22lnx).

xy'21 令 y2(2x),lny2xln(2x),y2ln2x

21 y'2(2x)(ln2x)

2x2xxy'2x(1lnx)(2x)(1ln2x) 故

(２) 解:

y'11x32x(x32x)'

123x2

21x32x2x32x

3x22(1x2x)x2x33

(３) 解:

1xylnln1xln1x1x112y'1x1x1x2

22例13 设(x)和(x)是可导函数,求函数y(x)(x)的导数.

y'解:

2(x)2(x) 222(x)(x)1'

(x)'(x)(x)'(x)(x)(x)22

22yy(x)例14 设由方程yf(x)xf(y)x确定,其中f(x)是x的可微函

数,试求

y'.

2解: 对原式左右求导有

2yy'f(x)yf'(x)f(y)x f'(y)y'2x解得

2xy2f'(x)f(y)y'2yf(x)xf'(y)

xf'(t)d2y,f''(t)0.求2 例15 已知dxyt'f(t)f(t)解:

dydydtf'(t)tf''(t)f'(t)t dxdxf''(t)dtdyd()dx2dy1dt2dx dxf\"(t) dt

lnf(x)). 例16 设f(x)0且处处可微,求df(f(x)lnf(x)lnf(x)f'解: dff(x)f(x)f(x)f'(x)f'(x)lnf(x)f(x)dx 2f(x)lnf(x)2f(x)1lnf(x)f'(x)dx f'f(x)

例17 求下列函数的高阶导数

(１) (２)

y(x2)(2x3)2(3x4)3,求y(6) ysinxcosx,求y.

x1y2x,求y(n).

e1y2，求y(n).

x5x6236244(n)(３)

(４)

(１) 解:

yx(2x)(3x)p5(x)108xp5(x),其中p5(x)为x的５

y(6)1086!

2222次多项式,故

(２) 解: 将原函数变形得

y(sinxcosx)2sinxcosx

1211cos4x1sin2x1

2221(3cos4x), 42

故

y(n144)nncoxs(422n1)x4co s(42n).(３) 解: 将原函数变形得

ye2x(x1)

(n)n22xn2xn12xy(2)(x1)e(2)(nx)en(n1)(2)e 故

(４) 解: 将原函数变形得

111y(x2)(x3)(x2)(x3)n

故

11y'(1)n!n1n1

(x2)(x3)例18 设函数f(x)满足:

(１) 对于任意实数x1,x2,有(２) 证明: 证: 首先

f(x1x2)f(x1)f(x2)

f(x)在x0可导,且f'(0)1. f(x)可导且f'(x)f(x)

f(x)不恒为零,否则有f'(0)0,与题设矛盾.于是至少存在一点x0,使

f(x0)0.这样,由f(x0)f(x00)f(x0)f(0)可得f(0)1.

设为内任一点,则

f(xx)f(x)f(x)f(x)f(x)f'(x)limlim x0x0xxf(x)1f(0x)f(0)limf(x)limf(x)  x0x0xx 即

f(x)f'(0)f

xf(x)可导且f'(x)f(x).

1作业题:求平面曲线yx与yx(x0)的公切线方程.

12解: 设公切线分别与曲线yx和y(x0)相切于点

x2M(,),M1(,)21 ,并与

x轴交于点M0(x0,0),见图,因为公切线是曲线

yx2在点M(,2)处切线,故其斜率为

k2………………………………（1）

其方程为

y22(x),即

y2x2……… (２)

或

y02x0(,x即

)y2x2x0…… (３)

11

公切线也是曲线y在点M1(,)处的切线,故其斜率为

x

k12…………………………（４）

其方程为

y112(x),即yx22…… (５)

或

1y0(x20x)y,即

xx022…. (６)

由(２)、(３)可得, 由(５)、(６)可得, 所以

x0

2x02

4

1由(１)、(４)、(７)可解得2,.

2故所求公切线方程为 y4x4