流体力学题库

【1－1】底面积A＝0.2m×0.2m的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个重量为G1＝3000N的铁块，测得水深h＝0.5m，如图所示。如果将铁块加重为G2＝8000N，试求盖板下降的高度Δh。

【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率：

v/vp/E

Enp0(p/p0B) p为绝对压强。

5p1.0132510Pa代替。 0当地大气压未知，用标准大气压

p1p0G1/A1.76325105Pa p2p0G2/A3.01325105Pa

因

p1/p0和 p2/p0不是很大，可选用其中任何一个，例如，选用p2/p0来计算体积弹

性系数：

Enp0(p2/p0B)2.1299109Pa

9在工程实际中，当压强不太高时，可取 E2.110Pa

h/hv/vp/E(p2p1)/E6.4827105 h604827105h3.2413105m

【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知a＝1m，求深度h及油的密度ρ。 【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有

同样，打开阀门2时，

两式相减并化简得

代入已知数据，得

所以有

1

2 基本概念及参数

【1－3】测压管用玻璃管制成。水的表面张力系数σ＝0.0728N/m，接触角θ＝8º，如果要求毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管的内径应为多少？ 【解】由于

因此

【1－4】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产生气蚀。拟将小气泡合并在一起，减少气泡的危害。现将10个半径R1＝0.1mm的气泡合成一个较大的气泡。已知气泡周围的水压强po＝6000Pa，水的表面张力系数σ＝0.072N/m。试求合成后的气泡半径R。

【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是

设大、小气泡的密度、体积分别为ρ、V和ρ1、V1。大气泡的质量等于小气泡的质量和，即

3

合成过程是一个等温过程，T=T1 。球的体积为V＝4/3πR，因此

令x＝R/R1，将已知数据代入上式，化简得

上式为高次方程，可用迭代法求解，例如，

以xo = 2作为初值，三次迭代后得x＝2.2372846，误差小于10，因此，合成的气泡的半 径为

还可以算得大、小气泡的压强分布为

，

。

－5

【1－5】一重W＝500N的飞轮，其回转半径ρ＝30cm，由于轴套间流体粘性的影响，当飞

2

轮以速度ω＝600转/分旋转时，它的减速度ε＝0.02m/s。已知轴套长L＝5cm，轴的直径d＝2cm，其间隙t=0.05mm，求流体粘度。

2

【解】：由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩M＝Jε,飞轮的转动惯量J

所以力矩

另一方面，从摩擦阻力F的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为：

为线性分布。 则

摩擦阻力矩应等于M，即T=M 即

所以

第2章 流体静力学

【2－1】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差p1－p2，已知液面高程读数z1＝18mm，

3

z2＝62mm，z3＝32mm，z4＝53mm，酒精密度为800kg/m。

【解】设管轴到水银面4的高程差为ho，水密度为ρ，酒精密度为ρ1，水银密度为ρ2，则

将z的单位换成m，代入数据，得

3

【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知a＝1m，求深度h及油的密度ρ。 【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有

同样，打开阀门2时，

两式相减并化简得

代入已知数据，得

所以有

【2－3】人在海平面地区每分钟平均呼吸15次。如果要得到同样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度8848m）需要呼吸多少次？

【解】:海平面气温T0=288,z=8848m处的气温为

峰顶压强与海平面压强的比值为

峰顶与海平面的空气密度之比为

4

呼吸频率与空气密度成反比，即

，

o

【2－4】如图所示，圆形闸门的半径R＝0.1m，倾角α＝45，上端有铰轴，已知H1＝5m，H2＝1m，不计闸门自重，求开启闸门所需的提升力T。

【解】设y轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位的压强p1，右侧受下游水位的压强p2，其计算式为

平板上每一点的压强p1－p2是常数，合力为（p1－p2）A，作用点在圆心上，因此

代入已知数据，求得T＝871.34N。

【2－5】盛水容器底部有一个半径r＝2.5cm的圆形孔口，该孔口用半径R＝4cm、自重G＝2.452N的圆球封闭，如图所示。已知水深H＝20cm，试求升起球体所需的拉力T。 【解】用压力体求铅直方向的静水总压力Fz：

由于

， 因此

，

o

【2－6】如图所示的挡水弧形闸门，已知R＝2m，θ＝30，h＝5m，试求单位宽度所受到的静水总压力的大小。 【解】水平方向的总压力等于面EB上的水压力。铅直方向的总压力对应的压力体为CABEDC 。

，

5

【2－7】如图所示，底面积为b×b＝0.2m×0.2m的方口容器，自重G＝40N，静止时装水高度h＝0.15m，设容器在荷重W＝200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数f＝0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。

【解】解题的关键在于求出加速度a。如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。 考虑水、容器和重物的运动。系统的质量M和外力分别为

因此，系统的重力加速度为

代入数据得a = 5.5898 m/s

2

容器内液面的方程式为

坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见，

当x＝－b/2时，z＝H－h， 代入上式，

可见，为使水不能溢出，容器最小高度为0.207m。

【2－8】如图所示，液体转速计由一个直径为d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为d2两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为R，当转速为ω时，活塞比静止时的高度下降了h，试证明：

【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，竖管液面上升。 设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为h1，竖管的液面高度设为H1。此时，液体总压力等于盖子重量，设为G：

旋转时，活塞盖下降高度为h，两支竖管的液面上升高度为H。

6

液体压强分布的通式为

将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数C。当r＝R，z＝H1-h1＋H + h时，p＝pa，

因此，液体压强分布为

旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即 因盖子下表面的相对压强为 代入G式并进行积分，得到

代入上式，化简得

由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此

所以有

【2－9】如图所示，U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和R2，其液面高差为Δh，试求ω的表达式。如果R1＝0.08m，R2＝0.20m，Δh＝0.06m，求ω的值。 【解】两竖管的液面的压强都是pa（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示。设液面方程为

不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为h。现根液面边界条件进行计算。

当r＝R1，z＝h及r＝R2，z＝h＋Δh时

；

据

7

两式相减得

所以

【2－10】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度H＝0.5m，底半径R＝0.6m，自重G＝1500N，航灯重W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为z。若要求浮体稳定，z的最大值应为多少？

【解】浮体稳定时要求倾半径r大于偏心距e，即r>e

先求定倾半径r＝J/V，浮体所排开的水的体积V可根据吃水深度h计算。

，

再求偏心距e，它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为C，它到圆柱体下表面的距离设为hC ，则

根据浮体稳定的要求

有

化简得

r，h的值已经算出，代入其它数据，有z<1.1074m

【2－11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径D＝25cm，水泵柱塞直径d＝5cm，密封圈高度h＝2.5cm，密封圈的摩擦系数f＝0.15，压力机柱塞重G＝981N，施于水泵柱塞上的总压力P1=882N，试求压力机最后对重物的压力F。 【解】：P1所形成的流体静压力

压力机柱塞上的总压力

静压力作用在密封圈上的总压力为p∏Dh ，方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力

8

故压力机对重物的压力为

第3、4章 流体运动的基本概念及方程 【3－1】已知平面流动的速度分布为

，

试计算点（0，1）处的加速度。

【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。

将

，

所以有：

在点（0，1）处，

，

，

代入，得

9

算得

，

【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： （1） （2） （3） 【解】: （1） （2）

，

，

，

，

，

（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。

，

【3－3】已知平面流场的速度分布为

，

， 试求t＝1时经过坐标原点的流线方程。

【解】对于固定时刻to，流线的微分方程为

积分得

10

这就是时刻to的流线方程的一般形式。

根据题意，to＝1时，x＝0，y＝0，因此C＝2

3

【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ＝800kg/m，水银密度

3

为ρ’＝13600 kg/m，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速u。

【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1－0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为u。当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为po，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。

综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是

由此可见，只要测出压差为po－p，就可以求出速度u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，

式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，Δh的单位应该是用m表示，Δh＝0.06m，得速度为u＝4.3391m/s。

【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，

3

压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度ρ＝1.25kg/m，管径d1＝400mm，d2＝600mm，水柱h＝45mm，试计算体积流量Q。

11

【解】截面1－1的管径小，速度大，压强低；截面2－2接触大气，可应用伯努利方程，即

利用连续方程，由上式得

此外细管有液柱上升，说明p1低于大气压，即

式中，ρˊ是水的密度，因此

由d1＝400mm，d2＝600mm 可以求出A1和A2，而ρ、ρˊ、h皆已知，可算得

【3－6】如图所示，水池的水位高h＝4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y，如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x＝2m，求y的值。如果要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少？ 【解】孔口的出流速度为

流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口降至地面所需的时间为t，则

消去t，得

，即

解得

如果要使水柱射出最远，则因为

x是y的函数，当x达到极大值时，dx/dy＝0，上式两边对y求导，得

12

【3－7】如图所示消防水枪的水管直径d1＝0.12m，喷嘴出口直径d2＝0.04m，消防人员持此水枪向距离为l＝12m，高h＝15m的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有V3＝10m/s的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角θ。

【解】解题思路：已知V3利用截面2－2和3－3的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面1－1和2－2的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1－pa。水流离开截面2－2以后可以视作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角θ。 对水射流的截面2－2和截面3－3，压强相同，

将h、V3代入得V2＝19.8540m/s。

对于喷嘴内的水流截面1－1和截面2－2，有

式中，p2＝pa。利用连续方程，则有

喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V2cosθ和V2sinθ，利用斜抛物体运动公式，不难得到上抛高度h和平抛距离l的计算公式分别为

消去时间t得到

代入数据，又 上式化为

【3－8】如图所示，一个水平放置的水管在某处出现θ＝30的转弯，管径也从d1＝0.3m渐

34

变为d2＝0.2m，当流量为Q＝0.1m/s时，测得大口径管段中心的表压为2.94×10Pa，试求为了固定弯管所需的外力。 【解】用pˊ表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面1－1的表压p1ˊ＝p1－pa＝2.94

4

×10Pa，截面2－2的表压p2ˊ可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力，则可以利用总流的动量方程求出。

取如图所示的控制体，截面1－1和2－2的平均流速分别为

13

o

弯管水平放置，两截面高程相同，故

总流的动量方程是

由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体，x，y方向的动量方程是

代入数据，得

，

【3－9】宽度B＝1的平板闸门开启时，上游水位h1＝2m，下游水位h2＝0.8m，试求固定闸门所需的水平力F。

【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面1－1应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游的截面2－2应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面1－1上的总压力为1/2ρgh1Bh1 ，它是左方水体作用在控制面1－1上的力，方向从左到右。同样地，在控制面2－2上地总压力为1/2ρgh2Bh2，它是右方水体作用在控制面2－2上的力，方向从右到左。另外，设固定平板所需的外力是F，分析控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是F，方向从右向左。 考虑动量方程的水平投影式：

流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出：

由以上两式得

将已知数据代入动量方程，得

14

；

我们还可以推导F的一般表达式。

上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V2，因而

将此式代入动量方程得

【3－10】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为d，速度为V。此射流冲击一个运动叶片，在叶片上流速方向转角为θ，如果叶片运动的速度为u，试求： （1）叶片所受的冲击力；

（2）水流对叶片所作的功率；

（3）当u取什么值时，水流作功最大？

2

【解】射流离开喷嘴时，速度为V，截面积为A=Πd/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶片的速度为V－u，显然，水流离开叶片的相对速度也是V－u。而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示，由动量方程得

叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为：

当V固定时，功率P是u的函数。令

：

因此，当u＝V/3时，水流对叶片所作的功率达到极大值。

【3－11】如图所示，两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为d1和d2，试求散开角θ与d1、d2的关系。如果d2 ＝0.7d1，θ是多少度？不计重力作用。

【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程，各射流截面的流速相等。 汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总是不变的，它等于两个射流量Q1和Q2之和。

作用在水体上的外力和为零，根据动量方程， 可以求出张角θ与d1、d2的关系。

15

当d2 ＝0.7d1时, cosθ＝0.3423，θ＝70

【3－12】如图所示，气体混合室进口高度为2B，出口高度为2b，进、出口气压都等于大气压，进口的速度 u0和2 u0各占高度为B，出口速度分布为

气体密度为ρ，试求气流给混合室壁面的作用力。

o

【解】利用连续性方程求出口轴线上的速度um：

用动量方程求合力F：

【3－13】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等，l1＝1.2m，l2＝1.5m，若喷口直径d＝25mm，

－33

每个喷口的水流量为Q＝3×10m/s，不计摩擦力矩，求转速。

【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中，相对速度和牵连速度反向，都与转臂垂直。

设两个喷嘴水流的绝对速度为V1和V2，则

；

根据动量矩方程，有

以V1、V2代入上式，得

16

第8章 相似原理及量纲分析

【8－1】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l 的断面间的压强差 Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用π定理求Δp 的一般表达式。 【解】列出上述影响因素的函数关系式

函数式中N＝7 ；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是

其指数行列式为

说明基本物理量的量纲是独立的。可写出N－3＝7－3＝4个无量纲π项：

，

，

，

根据量纲和谐原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1为例）：

即

解得x1＝1，y1＝0，z1＝0，所以

，

，

，

以上各π项根据需要取其倒数，但不会改变它的无量纲性质，所以

求压差Δp 时，以

，

代入，可得

； 令：

17

，最后可得沿程水头损失公式为

上式就是沿程损失的一般表达式。

【8－2】通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度ω，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足

【解】由题意可写出函数关系式

现选ω，D，ρ 为基本物理量，因此可以组成两个无量纲的π项：

，

基于MLT 量纲制可得量纲式

联立上三式求得x1＝3，y1＝1，z1＝5 所以

，

故有

一般常将c/ωD 写成倒数形式，即ωD/c ，其实质就是旋转气流的马赫数，因此上式可改写为

【8－3】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力FD，该阻力和桥墩的宽度b（或柱墩直径D）、水流速度V、水的密度ρ、动力粘性系数μ及重力加速度g有关。试用π定理推导绕流阻力表示式。 【解】依据题意有

18

现选ρ、V、b为基本物理量，由π定理，有

，

对于π1项，由量纲和谐定理可得

求得x1＝1，y1＝2，z1＝2 ； 故

对于π2项，由量纲和谐原理可得

解得x2＝1，y2＝1，z2＝1 ；故

对于π3项，由量纲和谐定理可得

第5章 管流损失和水力计算

【5-1】动力粘性系数μ＝0.072kg/（m.s）的油在管径d＝0.1m的圆管中作层流运动，流

－33

量Q＝3×10m/s，试计算管壁的切应力τo 。 【解】管流的粘性切应力的计算式为

在管流中，当r增大时，速度u减小，速度梯度为负值，因此上式使用负号。 圆管层流的速度分布为

19

，

式中，V是平均速度；r0是管道半径。由此式可得到壁面的切应力为

由流量Q和管径d算得管流平均速度，代入上式可算出τ0：

【5－2】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示，即

式中，y坐标由渠底壁面起算。设水深为H，试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的深度h。 【解】：

利用分部积分法和罗彼塔法则，得

平均速度为

当点速度恰好等于平均速度时，

可见，点速度等于平均速度的位置距底面的距离为y＝0.3679H，距水面的深度为h＝0.6321H。

3

【5－3】一条输水管长l＝1000m，管径d＝0.3m，设计流量Q＝0.055m/s，水的运动粘性

－62

系数为ν＝10m/s，如果要求此管段的沿程水头损失为hf＝3m，试问应选择相对粗糙度Δ/d为多少的管道。

【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数Re和沿程水头损失系数λ。

由水头损失

20

算得λ＝0.02915。

将数据代入柯列勃洛克公式，有

可以求出λ，

3

【5－4】如图所示，密度ρ＝920kg/m的油在管中流动。用水银压差计测量长度l＝3m的

－43

管流的压差，其读数为Δh＝90mm。已知管径d＝25mm，测得油的流量为Q＝4.5×10m/s，试求油的运动粘性系数。 【解】：

式中，ρˊ＝13600 kg/m是水银密度；ρ是油的密度。 代入数据，算得hf＝1.2404m。

3

算得λ＝0.2412。设管流为层流，λ＝64/Re，因此

可见油的流动状态确为层流。因此

【5－5】不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大。管道1的管径d1＝0.2m，管道2的管径d1＝0.3m。为了测量管2的沿程水头损失系数λ以及截面突然扩大的局部水头损失系数ξ，在突扩处前面装一个测压管，在其它地方再装两测压管，如图所示。已知l1＝1.2m，

3

l2＝3m，测压管水柱高度h1＝80mm，h2＝162mm，h3＝152mm，水流量Q=0.06m/s，试求λ和ξ。

【解】在长l2的管段内，没有局部水头损失，只有沿程水头损失，因此

，

将数据代入上式，可得λ＝0.02722。 在长l1的管段内，既有局部水头损失，也有沿程水头

21

损失，列出截面1和2的伯努利方程：

因此

V1＝Q/A1＝1.91m/s，代入其它数据，有

3

【5－6】水塔的水通过一条串连管路流出，要求输水量Q＝0.028 m/s，如图所示。各管的管径和长度分别为：d1＝0.2m， l1＝600m，d2＝0.15m，l2＝300m，d3＝0.18m，l3＝500m，各管的沿程水头损失系数相同，λ＝0.03。由于锈蚀，管2出现均匀泄漏，每米长度上的

3

泄漏量为q，总泄漏量为Qt＝ql2＝0.015m/s。试求水塔的水位H。 【解】不计局部水头损失，则有

现分别计算各管的沿程水头损失。 对于管道1，其流量应为

于是流速

和水

头损失分别为

3

管道2有泄漏，其右端的出口流量也为Q，即Q2＝Q＝0.028m/s。其沿程损失

管道3的流速和水头损失为

总的水头损失为

【5－7】如图所示，两个底面直径分别为D1＝2m，D2＝1.5m的圆柱形水箱用一条长l＝8m，管径d＝0.1m的管道连通。初始时刻，两水箱水面高差h0＝1.2m，在水位差的作用下，水从左水箱流向右水箱。不计局部水头损失，而沿程水头损失系数用光滑管的勃拉休斯公式计算，即

式中，

，水的运动粘性系数

，试求水面高差从h＝h0＝1.2m

变为h＝0所需的时间T。

【解】设初始时刻，左、右水箱水位分别为H1和H2，水位差h0＝H1－H2＝1.2m。某时刻t，左、右水箱的水位分别为h1和h2，水位差h＝h1－h2。显然，h是时间的函数h＝h（t）。变水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱的液面应用伯努利方程，有

22

将已知量代入上式，得：

水从左边流向右边，使左水箱水位下降，右水箱水位上升，根据连续性方程，有

将已知数据以及V的表达式代入上式，得

【5－8】如图所示的具有并联、串联管路的虹吸管，已知H＝40m， l1＝200m，l2＝100m，l3＝500m，d1＝0.2m，d2＝0.1m，d3＝0.25m， λ1＝λ2＝0.02，λ3＝0.025，求总流量Q。

【解】管1和管2并联，此并联管路又与管3串联，因此

（1）

（3）

由（2）式得

，

代入(3)式得

（2）

23

由式（1）得

将代入上式，计算得 已知数值

，

，

【5－9】如图所示，水管直径d＝200mm，壁厚δ＝6mm，管内水流速度u0＝1.2m/s，管壁材

109

料的弹性模量为Es＝20×10Pa，水的体积弹性系数为E＝2×10Pa，试求由于水击压强Δp引起的管壁的拉应力σ。

【解】水击波传播速度c和水击压强Δp：

管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力，如图所示。现取单位长度管道，沿管轴线切开，分析图示的管壁的受力平衡。根据曲面静压力公式知，压强Δp作用在图示的曲面上的总压力为Δpd，管壁切面的总拉力为

一般钢材的许用应力约为[σ]=30×10Pa，可见水击引起的拉应力差不多到了许用值。 第7章 气体的一维流动

【7－1】空气气流在两处的参数分别为：

，

【解】：

,

又因

24

6

，因此

， ， ，求熵增。

, ,

所以

注：空气的气体参数为：

，

，

6

，

【7－2】过热水蒸汽的温度为430℃，压强为5×10Pa，速度为525m/s，求水蒸汽的滞止参数。 ： 【解】

所以：

注：水蒸汽的气体参数为：

5

【7－3】滞止参数为，p0 = 4×10Pa， T0 = 380K的过热蒸汽经收缩喷管流出，出口外部

5-42-42

的背压为pe = 1.5×10Pa，出口截面积A=10m，某截面面积为A1=6×10m，试确定这两个截面上的马赫数Ma和Ma1。 【解】：

25

，

因此出口截面上的气流达临界状态，即：Ma=1。

；

由上三式得到关于Ma1的代数方程，令x＝Ma1，则此方程为 用迭代法解：

得到x＝0.09775和3.2014（舍去），因此，

，

5

【7－4】空气从气罐经拉伐尔喷管流入背压为pe＝0.981×10Pa的大气中，气罐中的气体

5

压强为p0＝7×10Pa，温度为T0＝313K，已知拉伐尔喷管喉部的直径为d*＝25mm，试求：（1）出口马赫数Ma2；（2）喷管的质量流量；（3）喷管出口截面的直径d2。 【解】：（1）

；；

所以

（2）由于出口马赫数大于1，因此气流在喉部达临界状态，流量按下式计算：

，

26

，

（3）

，

6

【7－5】马赫数Ma1＝2.5，滞止压强p01＝1.2×10Pa，滞止温度T01＝600K的空气进入一条等截面无摩擦的加热管道，如果出口马赫数Ma2＝1，试求加热量q，出口压强p2，滞止压强p02，出口温度T2，滞止温度T02。

【解】本题的解题步骤为：(1)计算进口参数p1，T1；(2)由Ma1，Ma2求T02，q；(3)计算出

口参数。

(1) 进口参数计算：

，

(2) T02和q的计算：

，

27

(3) 出口参数计算：

，

；

；

第 章 理想流体的有旋及无旋流动

2

【 －1】已知平面流动的速度分布u＝x＋2x－4y，v＝－2xy－2y。试确定流动：（1）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函数，求出它们。 【解】： （1）

，连续性方程得到满足。

（2）

，流动有旋。

28

（3）

此流场为不可压缩流体的有旋运动，流函数

存在，速度势不存在。

因为

所以

；

，

注意：复位势W（z）不存在。 【 －2】已知平面流动的流函数

求势函数，并证明速度大小与点的矢径r的平方成正比。 【解】：

，

因为：

所以：

；

【 －3】已知复位势为

29

(1) 分析流动由哪些基本势流组成；

22

(2) 圆周x＋y＝2上的速度环量Г和流量Q。 【解】： (1)

对比点源（汇），点涡，偶极子的复势，可以看出此流动由下列简单势流叠加而成： 位于原点的偶极子，其强度M＝2π，方向角（由点汇指向点源）β＝π；

在点（0，1）和点（0，－1）各有一个点源和点涡，点源强度Q1＝2π，点涡强度Г1＝2π，方向为顺时针方向；

在点（0，2）和点（0，－2）各有一个点源和点涡，点源强度Q2＝4π，点涡强 度Г2＝6π，方向为逆时针方向。

22

(2) 圆周x＋y＝2内部区域有两个同向涡点（强度为Г1），还有两个点源（强度为Q1），

22

因此在圆周x＋y＝2上的速度环量和流量分别为

；

【 －4】势流由一个速度为V∞，方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成，试求经过驻点的流线方程，并绘出该流线的大致形状。 【解】：

驻点就是速度为零的点，令

得

可见，驻点的位置为

，

或

，

经过驻点的流线为

当θ＝π/2 时，

当θ＝0时，

30

流线形状如图所示。

【 －5】求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知：V∞＝5，Q＝20π，a＝2。 【解】：

令：

，

下面求驻点位置：

所以

，即 ，

，则

当x＝－2，y＝0（驻点）时，θ1＝π＋π/4，θ2＝π－π/4，过驻点流线方程为

【 －6】已知平面流场的速度分布为u＝－x－y，v＝y，试问（1）流场是否有旋？（2）沿如图所示的曲线ABCD 的速度环量Г时多少？ 【解】：

可见，流场内处处有旋，涡量为常数。使用 斯托克斯定理，可以使曲线ABCD的速度环量的计算变得简单

31

当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布，矩形每条边的平均速度等于两端点的速度之和的一半，故

Г＝－1×2＋1/2×1－（－2）×4－1/2×1＝2 答案虽然一样，但计算要复杂得多。

【 －7】已知速度分布为

，

，

试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之间的数量关系，式中k，C为常数。 【解】：

；

涡线方程为

可以看出，涡线方程与流线方程完全相同。

【 －8】设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r)，速度只是r的函数，试证涡量为

【解】：不可压缩流体运动的连续性方程为

由于速度与θ无关，上式左边第二项为零，因此

流线的方程式为

，

涡量的表达式是

32

上式右边的第二项为零，因此

【 －9】已知速度场为 求【解】：

根据斯托克斯定理有

【 －10】已知速度场u＝2y，v＝3x，求椭圆4x+9y=36周线上的速度环量。 【解】:椭圆方程可写为

其长、短轴分别为a＝3，b＝2，

根据斯托克斯定理，有

【 －11】在平面上有三个强度和方向相同的点涡，位置如图所示。试求各个点涡的运动速度。 【解】：

位于点（3，0）处的点涡的运动速度为

2

2

所围的正方形的速度环量。

33

，

位于点（－3，0）处的点涡的运动速度为

位于点（0，3）处的点涡的运动速度为

【 －12】横截面是一个边长为

（高为

）的如图所示的等边三角形的柱体内部充，

，

满理想不可压缩的均质流体，柱体和其内的流体原先都是静止的，当柱体绕中心轴线以角速度ω作等角速度旋转时，求流体对于三角形柱体的相对运动速度，并确定相对于柱体的流线形状。 【解】：建立如图所示的坐标系，其中等边三角形的高与x轴重合，三条边的方程为

； 设流函数为

C为待定系数，显然，在边界上

流体的旋转角速度为－2ω，即

用流函数表示上式，有

再将

的表达式代入上式，有

；

；

；

；

流线的一般方程为

34

【 －13】在理想不可压缩流体的无界流场中有一对点涡如图所示，无穷远处有一股均匀流V∞恰好使这对点涡静止不动，试求V∞与Γ的关系。 【解】：

位于（0，b）的点涡的运动速度为

，

若使点涡静止，必有

第 章 粘性流体绕过物体的流动

【 －1】如图所示，液膜沿倾角为θ的斜面向下流动，设流动定常，液膜厚度h为常数，试求液膜的速度分布式。

【解】设x轴沿壁面法向，如图所示，y向速度为零，即v＝0。流动定常，x向速度与时间无关。质量力的分量为

，

运动方程式为

35

由上式第二个方程积分得

液面上流体压强与当地大气压pa相等，即

由此式得到了待定函数f（x），于是

由于h＝常数，因而液体压强p与x无关，这样x方向运动方程变为

积分得

积分常数由下列边界条件确定，

：

；

：

因此，C1＝－h，C2＝0

【 －2】如图所示，两平行的水平平板间有互不相混的不可压缩粘性流体，这两层流体的密度、动力粘性系数和厚度分别为ρ1、μ1、h1和ρ2、μ2、h2，设两板静止，流体在常压强梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。 【解】这两层流体的运动方程都是

积分得

36

因此，两层流体的速度分布可分别表示为

；

由边界条件确定积分常数，

：

：

：

：

由以上四个边界条件解出积分常数C1、C2、D1、D2：

；

；

最后得速度分布分别为

；

【 －3】考虑振荡平板上方的粘性流动。设有一块无限大平板，此平板上方充满粘性流体，如果平板以速度U0cosωt作振荡，试求流体的速度。 【解】本问题的微分方程及边界条件分别为

，

；

37

，

本问题采用复数解法，设本问题的解为

的实部。将此表达式代入原式，得到函数f（y）的方程及边界条件： 设此解为 则

，

， ；

，

因此，本问题的解为

【 －4】如图所示，两个半径分别为a和b的同轴圆柱面之间充满均匀不可压缩粘性流体，此两个圆柱分别以角速度ω1和ω2绕轴旋转，试求流体的速度分布。

【解】这种流动只有切向速度v，径向速度和轴向速度都为零，流动为定常。由于对称关系，流动参数与角度θ无关，因而由圆柱坐标中的N-S方程可得 或 边界条件

运动方程是欧拉方程，设解为：

则得

38

代入边界条件得积分常数C1、C2 因此速度分布为

【 －5】如图所示，粘性不可压缩流体在无限长的矩形截面管道中作定常层流运动，设矩形的边长分别为2a和2b，试求此管流的速度分布。

【解】设x轴沿管轴线，管截面上的坐标为y和z，原点在矩形中心，设速度仅在x轴上有分量，其余两个速度分量为零，于是x轴上的速度u与x无关，u＝u（y，z），且管轴线上的压强梯度是一个常数。运动方程和边界条件分别是

；

方程是非齐次的，但边界条件是齐次的。我们设法使方程变为齐次，同时使一个边界条件保持齐次。令

式中，Y（y）和Z（z）表示y、z的函数。这样，微分方程和边界条件变为

，

由边界条件求出本征值：

此外，

39

系数An 由另外一个边界条件求出，即

三角函数cosλny 具有正交性，即

【 －6】考虑底板喷射、顶板吸吮的两板之间的流动。两板相距2h，且都是多孔的，上板吮吸，下板喷射，速度都是v0。粘性不可压缩流体在两板之间作定常的层流运动，如图所示，设流体在y方向的速度处处相等，即v＝v0，而在常压强梯度dp/dx作用下产生的水平速度u仅是y的函数，u=u(y)，试求u的分布式。 【解】运动方程和边界条件分别为

，

运动方程是非齐次的线性微分方程，其解由齐次解和特解组成，齐次方程为

40

设

则

，

设特解为

代入运动方程，得

；

因而方程的解为

常数C1和C2由边界条件确定：

；

解出C1和C2后，得到速度分布式

式中，

，

【 －7】试求平板边界层的相似性解。

【解】平板边界层的势流速度V∞是常数，边界层微分方程式及边界条件为：

；

速度u，v还要满足连续性方程，即

41

对于平板，m＝0，为方便起见，设其相似性解为

，

流体不可压缩，流函数存在，则

；

将以上各式代入平板边界层微分方程及边界条件，得

；

以上方程没有解析解，但有数值解。 【 －8】水以来流速度V∞=0.2m/s纵向绕过一块平板。已知水的运动粘性系数ν＝1.145×10－62

m/s，试求距平板前缘5m处的边界层厚度，以及在该处与平板面垂直距离为10mm的点的水流速度。

【解】先计算x＝5m处的雷诺数，即

显然该处的边界层属紊流，

y＝10mm的点位于边界层内，速度可用1/7次幂函数求得：

42

【 －9】平底船的底面可视为宽b＝10m，长l＝50m的平板，船速V∞=4m/s，水的运动粘性系数 ν＝10m/s，如果平板边界层转捩临界雷诺数阻力所需的功率。 【解】：

－62

，试求克服边界层

所以出现混合边界层，其阻力是

；

；

【 －10】炉膛的烟气以速度V＝0.5m/s向上腾升，气体的密度为ρ＝0.25kg/m，动力粘性

－523

系数μ＝5×10N.s/m，粉尘的密度ρˊ＝1200kg/m，试估计此烟气能带走多大直径的粉尘？

【解】当粉尘受到的气流作用力和浮力大于重力时，粉尘将被气流带走。 气流作用于粉尘的力就是阻力FD：

2

A为迎风面积，粉尘可近似地视作圆球，迎风面积就是圆面积。不同的Re数的FD的计算式是不同的，因此计算时要假定一个雷诺数Re的范围，计算后再验算。 设: 则

粉尘重量为

粉尘的浮力

43

因此

代入数字得

，

第 章 气体的二维流动

【 -1】 正激波前的超音速空气气流的马赫数为Ma1=3，滞止压强和滞止温度分别为p01=6

5

×10Pa，T01=333K，试求波后的速度V2和压强p2。

【解】利用等熵公式求波前的压强p1，再利用激波公式求波后的Ma2，p2，T2，进而求出V2。

44

，

，

，

，

【 －2】Ma1＝3的空气超音速气流，其方向内折一个角度θ＝6之后形成一个斜激波，试求激波角β以及波后的气流马赫数。 【解】：超音速气流从Ma1变成Ma2（Ma1 < Ma2）时，气流方向的折转角为

本题参照上式，用迭代法求β，设β＝ x，则有

因为β有两个解，故设初值x0＝0.5和1.5，则x＝0.4177533，1.533807（舍去）。

o

【 －3】拉伐尔喷管的出口面积A3与喉部面积A*之比A3/ A*＝4，在扩散管某处产生正激波，该处的面积A与喉部面积之比为A/ A*＝2。气流越过激波后沿扩散段作减速运动，求出口马赫数Ma3。 【解】

与

满足等熵关系，

与

满足激波关系式，

与

满

足等熵关系式。

45

令：

用迭代法求x：

得：

令：

上式可简化为

用迭代法求得：

；

46