２００６年第６期 中学数学教学 ４３ 竞 赛 专 栏 主持人郭要红（芜湖市安徽师范大学数学计算机科学学院邮编：２４１０００） （注：本栏目稿件及奖金请直接寄给主持人． Ｅ—ｍａｉｌ：ｇｕｏｙａｏｈｏｎｇｌ１ｏｓ＠１６３．ｃｏｒｎ） ＇【 ＇【 ★ 有奖解题擂台（８２） 安徽师范大学数学系 郭要红 （邮编：２４ｌｏｏｏ） 题 设 ， ， 是正实数，满足ｊ ＋Ｙ。＋ 。一１， 是正整数，证明或否定 １一 ＋ ≥ ． （注：供题人时第一位正确解答者．Ｎ－予奖金３Ｏ元） 圆锥曲线两切线交点的一个性质 ——兼有奖解题擂台（７９）的解答 （邮编：２５６３Ｏ０） ｂｓｉｎ０：一Ｄ—ＣＯＳＯ（ — “ｓｌｎＯ 山东省高青县教育局教研室 董 林 《中学数学教学｝２００６年第３期有奖解题擂台 （７９）（储炳南提供）是： 圆（或双曲线）上任意两点．过点Ａ、Ｂ的切线相交于Ｐ． 求证： 一 ． 一一 ，则直线ＰＡ的方程是 ． ｎ Ｓ１ｎＯ 已知 、Ｒ是椭圆（或双曲线）的左右焦点，Ａ、Ｂ是椭 ａｃｏｓ０），整理有 ｃｏｓＯ＋ｙａ ｓｉｎ０一 （※） 当切线ＰＡ所在直线斜率不存在时，０—０或 ，此 时直线ＰＡ的方程是 （※）． “或－丁： “．也符合方程 本文给出擂题（７９）的一个证明． 因此，过点Ａ的切线方程为ｘｂｃｏｓＯ十ｙａ ｓｉｎ０＝ｎ６， 证明：①当曲线是椭圆时： 同理，过点Ｂ的切线方程为ｘｂｃｏｓ￣ｏ＋ ｓｉｎ￣ｏ一 ． 设椭圆方程为 ＋告＝１（ｎ＞ｂ＞０），Ｆｌ、Ｆ２的 坐标分别为（－ ０）和（｜，０）．由于点Ａ、Ｂ是椭圆上任 意两点，所以设点Ａ的坐标为（ａｃｏｓ０，ｂｓｉｎ０），点Ｂ的坐 标为（ａｃｏｓ￣ｏ，ｂｓｉｎ￣ｏ），其中０≤ 、∞＜２ ７【． 当切线ＰＡ所在直线的斜率存在时，０≠０和 ．设 由』 ｃｏ阳 Ｉ・肋ｃｏｓ￣Ｉｏ十 一 解得点Ｐ的坐 为 “ （１ ｓ ｉｎ （Ｏ 一∞） ’， ｓｉｎ （ 一∞） ／）．’ 由Ｆ 的坐标分别为（－ｆ，０），点Ａ的坐标为（￣．／ＣＯＳＯ， ｂｓｉｎ０）及两点问的距离公式得 ＦＩＡ：￣／（ａｃｏｓ０＋ｆ） ＋ｂ ｓｉｎ。０ ｎ ＣＯＳ ０＋２ｃｕ：ｃｏｓ０＋ｆ ＋ｂ ｓｉｎ 自 直线ＰＡ的斜率是ｋ，则直线ＰＡ的方程是 —ｂｓｉｎ８一 ｋ（Ｌｒ—ａｃｏｓ０）．由 “ ｆ ＋ ｂ‘ 一１ 消去 整理 ＝ （ｂ ＋ｃ一 ）ＣＯＮ ０＋２ａｃｃｏｓ０＋ ＋ｂ ｓｉｎ ０ ＋（－ ＋２ａｘ ｃｏｓ０＋（ ＣＯＳ。０ ｌＹ—ｂｓｉｎ０： （．ｒ“ｃ（）ｓ口） 可得（ ＋“ ＾ ）ｌ丁 一２ｈａ （ｈａ ｃｏｓ口一６ｓｉｎＯ）ｘ＋“！（ｋａｃｏｓ０ 一 『＝ 干７ ＝“＋ ｏｓ０． ｂｓｉｎ８） 一“ ６ ＝０，今△一０得４ｋ “ （ａｃｏｓｈ 一ｂｓｉｎ８） 同理有ＦｌＢ＝：“＋ｆｃｏｓ妒，Ｆ？Ａ一“一ｃｏｏｓ０，Ｆ２Ｂ＝ ｎ—ｔ＇ｃｏｓ￣ｏ・ ４（ ＋“。 ）［Ⅱ （ｋａ∞ｓ 一ｂｓｉｎ０） 一Ⅱ ｂ ］一０，化简可 得：ｂ ＋“ 矗 一（ ｃｏｓ０一ｂｓｉｎＯ） 一０，整理有（ｋａ ｓｉｎ０＋ ｂｃｏｓ０） 一０则ｈａ ｓｉｎ０＋ｂｃｏｓ０＝０．又０≠０和７【，所以ｋ ；ｇｌ￣／ａ 一 ±！！竺 ！ ： ！ ！ （ｎ—ｃｃｏｓ０）（ｎ—ｃｃｏｓ￣ｏ） 维普资讯 http://www.cqvip.com
４４ ａ＇一——中学数学教学 ａｃ—２００６年第６期 ＋一（ｃｏｓ８±ｃｏｓ￣）＋Ｃ ｃｏｓＳｃｏｓ￥ —一ａ 一ＯＸ＂（ｃｏｓ８＋ｃｏｓｑ）＋ ｃｏｓ０ｃｏｓ￣ｐ 一蠢（ —ａｓｅｅ０）．由 ｆ ，一善一１ 整理得（６ 再由点ＦＩ的坐标分别为（一ｃ，Ｏ），点Ｐ的坐标为 ｌ —ｂｔａｎ０一是（＿Ｔ一口ｓｅｃ０） 一ａ２ｋ ） ＋２ｋａ （ｋａｓｅｃＯ～ｂｔａｎＯ）ｘ—ａ２（ｋａｓｅｃＯ— （地ｓｉｎ （Ｏ 一 ） ’， ｓ ｉｎ （８ 得 一∞） ）ｂｔａｎ０） 一 ＝０，令△ ０得４ｋ ａ （ｋａ ｓｅｅ０一ｂｔａｎ０）２ ２一ｎ ）［ （ｋａｓｅｃ０～ｂｔａｎ０） ＋Ｇ２ ］＝０。化简 Ｆ１ ［ ＋ｃ］ ＋ 警 ，同理 ＋４（６得ｌ（ｋａｓ．ｅｃ０－－ｂｒａｎ０） ＋ｂ２＂－ａ２＿南 一ｏ，整理有（ｈａｔａ阳一 ０） 一０，则 ｔａｎ８一ｂｓｅｃ０—０，又０≠０和 ，所以 有： ［ 一ｃ］。＋ 鲁 ． ｂｓｅｃ则直线ＰＡ的方程是 —ｂｔａｎ０＝－－冀 （ 詈＝｛Ｅ－ ｎ ＿ｓｉｎ －ｎ（ ］２＋ 忌一冀舞，ｂ （ｃｏｓ￣～ｃｏｓ０） ｝／｛［ａ（ｓｉｎＯ—ｓｉｎ￣ｏ）～ｃｓｉｎ（０一妒）］ ＋ ｂ （ＣＯＳ￣Ｄ—ｃｏｓ０） ｝ —ａｓｅｅＯ），整理有ｘｂｓｅｃ￣～ｙａｔａｎＯ 曲（※※） 当切线ＰＡ所在直线的斜率不存在时．０—０或 ，此 时直线ＰＡ的方程是 —ａ或 一一ｎ，也符合方程（※※）． 因此．过点Ａ的切线方程为ｘｂｓｅｃＯ－－ｙａｔａｎ０ ａｂ． 同理，过点Ｂ的切线方程为ｘｂｓｅｃ￣一ｙａｔａｎ ＝ａｂ． 一 ｏｓ 咖 ＋ｚｃｓｉｎ、 ｃ。ｓ ］ ｝ｌ／｛『ｚ伽ｓ ｓｉｎ 一 ｎ ｉｎ ｃｏｓ ］２＋ ｂ２ ｓ ｓｉｎ ｌ （ ｃｏｓ ａｃｏｓ ２由』ｘｂ ｓｅ。ｃＯ－－ｙａｔａｎＯ ．ａｂ 解得点Ｐ的坐标为 －ｌ船ｓｅ叩一ｙａ阻“中 ∞ ／ａｓｉｎ（０一 ）６（ｃｏｓ∞一ｃｏｓ０）、 。ｓ ） ＋６ｚｓｉｎｊ －ｃｃＯＳ Ｉ ’ 湎： Ｊ‘ 由于Ｆ１、Ｆｚ的坐标分别为（－ｃ．Ｏ）、（ｆ，Ｏ），点Ａ的 ） ＋ｂ２ ｓｉｎ 坐标为（ａｓｅｃ０，６ｔａ ）及两点间的距离公式得 Ｆ。Ａ＝ 一菡 蔷 ￣，Ｏｆ ｓｅ ＋２ａｃｓｅｅ０＋ｃ ＋ｂ２ｔａ ０ 、／ｎ‘ＳｅＣ‘０十２ａｃｓｅ叩十 十 ｔａｎ ０一口 ｔａｎＺＯ －＋－ｃ２ＣＯｓ２ ２ ＋６２ ｓｉｎ２ ２ Ｉ —ｌ口＋ｃｓｅｃ０ｌ一罕兰 ． １ ｕ 口Ｉ 那么 ｃ＋ ａ ｃｏｓＯ）一（（ｃ￣： 竺竺 ： 二： ！！． 二 ２ 一 同理有ＦｌＢ＝￡亍ｌ ＿卜ｃｏ ｓｅｐ ・ｌ Ｆ２Ａ； ｃｌ ｏｓ０ ・ｌ Ｆ２Ｂ ２ 。． ｎｚ一口ｃ（ｃ。 ＋ 。ｓ ＋ （ｃ。ｓ２ 一ｓｉｎ２ ） ±塑 ＝ 一—１－ｅｏｓ—（Ｏ＋￣ｏ） ２ 一 ａｃｏｓｃ。。・（ 一。鲫）（ ￣妒 ） 一 十 （ｃｏｓ８＋ｃｏｓｑ）＋ａ ｃｏｓ０ｃｏｓ０ ｃ 一ｎｃ（ｃｏｓ８＋ｃｏｓｑ）＋ ｃｏｓ０ｅｏｓｑ ，＋ ＋，［ ■ 一 ］ ４ ＋珊（ｃ０ ＋ｃｏ ）＋等［ｃ０ｓ（ 一 ）－－ｃｏｓ（０＋ ）］ 一 ［ Ｆ Ｉ ｇ －一…＋ｃ卜 ・ －ａｃ（ｃｏ￣＋ｃｏ ）＋ ［ｃｏｓ（０－－ ）一ｃｏｓ（０＋妒）］ 一 Ｆ２Ｐ ［ａ两ｓｉｎ（０－￣）一ｃ ｂｚ（ｅｏｓ ￣－ｃｏｓＯ）ｚ． ｛［ａ（ｓｉｎ（０一 ）＋ｃ（ｓｉｎ０一ｓｉｎ￣ｏ）Ｊ ＋ ± （一ｃｏｓ０＋ｃｏｓ￣）＋，ｃｏｓＯｃｏｓ￣ 旷一 （ＣＯ鲫＋ｃｏｓ￣）＋ｃ ｃｏｓＯｃｏｓ￣‘ ｂ。（ｃｏｓ￣一ｃｏｓ０） ｝／｛［ａ（ｓｉｎ（０￣ ）＋ｃ（ｓｉ阳一ｓ－ｎ ）］ ＋ ｂ （ｃｏｓ 一ｃｏｓＯ） ｝ 所以有 ＝嚣庳立． ②当曲线是双曲线时； 设双曲线方程为 一菩＝ｌ¨ （ａ，ｌｂ＞０）．Ｆ 、 的坐 标分别为（一ｃ．０）和（ｆ，０）．由于点Ａ、Ｂ是双曲线上任意 两点．，所以设点Ａ的坐标为（ａｓｃｃ８， ａ阳），点Ｂ的坐标为 一＿ｌ｛［ ２∞ｃｏｓ ＋ｚｃｓｉｎ ｃｏｓ ］ ｚｓｉｎ一 ｓｉｎ。 ｝／｛『ｚ ｎ ｓ．ｎ ｚ ｎ ｃｏｓ ］ ＋４ｂｚｓｉｎ ｓｉｎ ｌ ～（ａｓ￣ｐ，６ｔ ），其中０≤ 、 ＜２ｎ．且 、 ≠号和警，当 切线ＰＡ所在直线的斜率存在时．０≠０和 ．设直线 （ｎｃｏｓ ＧＣＯ￥，＋ｂｚ ｓｉｎｚ ＋ｌｂ ｓｉｎ２ ２ ￣的斜率是七，显然七≠士÷，则直线ＰＡ的方程是ｙ－－ｂｔａｎＯ 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００６年第６期 中学数学教学 ４５ 一道赛题的另解 安徽省潜山二中 琚国起 （邮编：２４６３００） 安徽省高中数学竞赛初赛的第１５题是； ｌ 已知数列｛ｎ ｝（”≥Ｏ）满足吼一０，对于所有非负整数 ２‘ ｍ有 ；１＝２、 丽 ＋ｌｌａ ＋５．求 的通项公式． ・．．６ 一 －＿ 二盟：， 参考答案是通过移项两边平方变形化简，最后求３次 方程的特征根得到通项．下面给出两种较为简便的解法． 一［（ ＋ ）“ （ ＿ ） ］。 解法ｌ 显然ａ ＞Ⅱ ≥０ ∈Ｎ， ～ ４ ｎ １＝２ １／３０ａ．（Ⅱ ＋１）＋１１ｎ ＋５ 解法２ ’．’ ｎ 一２ ＝Ｆ—『『＋１１“ ＋５， ’．． —５（“ ＋１）＋２ ３０ａ （Ⅱ ＋１）＋６ａ Ⅱ ｆｌ ｝Ｉ１＝ ６（“ ＋１）＋２￣／３ｏ“ （“ ＋１）十５“ ＝（ ５（口 ＋１）＋ ６４－￣ｇ，，）！， ＝（ ６（“ ＋１）＋￣／５ａ ） ， ’．． ．￣／口 ｌ一￣／５（Ⅱ ＋１）＋￣／６“ ， ｖ／ｎ 上ｌ＋ｌ一￣／６（“ ＋１）＋￣／ｓ“¨ ① 即￣／Ⅱ 。一￣／６‰＝ ５（ｎ，．＋１）， 义由解法１中得到： 一 两边平方，化简得：ｎ ＋ｎ 一２√６ ｎ ｎ ＝５， ②中“以ｎ＋ｌ代替，得： 以，ｊ＋１代替得ｍ ＋ ＋ｎ 一２ｅｇ ＝５， 以上两式相减得； ｖ／Ⅱ ２一，／５（Ⅱ ＋１）＋√６ｄ ｌ ⑧ ｎ ＋。一“一２√６￣／ｒ』 ｆ（￣／Ｈ 一￣／ ） ０； 将①代入③，得：ｖ／‰ 一 （，／６（Ⅱ ＋１）＋ ’’ ｖ厂瓦 ）＋、／瓦 一、 二订了＋ ．Ⅱ ｝ ＞盘 １＞Ⅱ ， 。５√ｎ ４－￣／６ａ¨十ｌ， ．．ｖ／ ：ｉ＋ｖ／ 一２ ｖ／ ＿『：：０． 令 ｖ／ ．则６ｌｒ ｌ一２４Ｄ， 。＋矗，一０． 再由②式得； ：一 （ｖ／ ＿＿一 ）＋ 相应的特征方程为： ～２ ｒ＋１—０，易得特征 ＿、 一２ ， 根为 】一 ＋ ， ２一 一 ，所以６ 一ｆ】Ａ７＋ｆ Ａ 即 一２ ＋ ＝＝０． 以下同解法１． ｃ （ ＋ ） ＋ （ ）”． （收稿日期：２００６－１０—０９） 由 ； ｉ＝（）＿ 一 一 ，解得ｃ。： ， ０，协。ｌ，０，７ ：，，１２ ＣＯＳ２ ＋２ ｃ。ｓ ｅ＿Ｚｅｅｃ。ｓ ＋ ｃｏｓ。 ，所以有器 器毗． …ｎ 一啷 综上可知原题结论成立． 评注 （评注人ａ郭要红，评注时间：２００６年１０月 ｃ ！；ｉｎ ｝ ２５日）评注人收到攻擂稿件８份，其中７份是正确的，按 来稿的时间顺序，作者依次是：刘才华（山东宁阳第一 ｃ ＋ （ｃ。ｓ ＋ｃ。ｓ驴）一十ｎ２ ＣＯＳｚ ０－－２ ｑ！一ｓｉｎ２ ） 中学，２７１４００，收稿邮截时间，２００６年６月２１日）．董林 ２一甜（ｃ。ｓ口＋ｃ。ｓ驴）＋“ （ｃ。 一ｓｉｎ２ 专卫） （山东省高青县教育局教研室．２５６３００．２０Ｏ６年６月２４ 日），焦堂生（河北省唐山市第二中学，０６３００１，２００６年６ ＋唧）＋ 『 ｝ 月２４日），邹黎明（江苏省无锡『ｆ『硕放中学，２¨１ ４２， ２００６年６月２６日）．王扬（深圳市育才・｛Ｊ学，５１８０６７， （硎＋ ＋ ［ 一 ） ２００６年６月２７日），吴波（重庆市长裔龙溪中学． ４Ｏｌ２４９，２００６年６月３Ｏ日）．擂题（７９）是．一道关Ｆ蜘锇 ，＋ （ｃ０硼＋ｃ。 驴）＋等［ｏ０ｓ（ 一驴）～ｃ。ｓ（口＋ ）］ 曲线两切线交点的性质问题。正确解答来稿的作瞢所 一一 ２————————————— 采用的方法本质上是一样的．刘才华老师的来稿省略 Ｃ２一 （ｃ。鲫＋ｃ。 ）＋鲁［ｃ０ｓ（口一驴） ｃ。ｓ（ ＋ ）］ 了大量的计算过程，考虑到所有来稿在思维方面并无 ：：± ！竺 ±！竺 翌 ± ！！竺 ！ 虫 区别，为方便读者了解计算过程，我们选择董林老师的 （。。一 （ｃｏｓ０＋ｃｏｓ￣）＋“ ｃｏｓ０ｃｏｓｑ￣ 来稿，作为擂题（７９）的解答．
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