空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画.利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体,能综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力.下面就利用几何法求空间角的策略进行分析. 1.求线面角
求线面角,要找出斜线在平面上的射影,其关键是作垂线找垂足,把线面角转化到一个三角形中求解
例1 如图,正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,E,F,G分别为BC,SC,CD的中点.设P为线段FG上任意一点.
(1)求证:PE⊥AC;
(2)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值. (1)证明 设AC交BD于O,
∵S-ABCD为正四棱锥,∴SO⊥底面ABCD,BD⊥AC, 又AC⊂平面ABCD,∴SO⊥AC,
∵BD∩SO=O,BD,SO⊂平面SBD,∴AC⊥平面SBD, ∵E,F,G分别为BC,SC,CD的中点, ∴FG∥SD,BD∥EG.
又FG∩EG=G,SD∩BD=D,FG,EG⊂平面EFG,SD,BD⊂平面SBD, ∴平面EFG∥平面BSD,∴AC⊥平面GEF. 又∵PE⊂平面GEF,∴PE⊥AC. (2)解 过B作BH⊥GE于H,连接PH,
∵BD⊥AC,BD∥GH,∴BH∥AC, 由(1)知AC⊥平面GEF,则BH⊥平面GEF. ∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角.
在Rt△BHP中,BH=故cos∠BPH==2.求二面角
21315,PH=,PB=, 222
PHPB195. 15
求二面角是通过求其平面角的大小实现的,而平面角的作法中必须强调“垂直”,其常见途径:(1)利用共底的两个等腰三角形;(2)利用共公共边的两个全等三角形;(3)利用线面垂直和面面垂直的性质;(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱,然后再利用上述方法作出平面角. 1例2 在三棱锥S-ABC中,已知△ABC是边长为a的等边三角形,且SA⊥底面ABC,AS=a,
2求二面角A-BC-S的大小.
解 如图所示,因为AB=AC=a,∠BAS=∠CAS=90°,所以SB=SC.取BC的中点为D,连接AD,SD,则由等腰三角形的性质,可得SD⊥BC,AD⊥BC.于是由二面角的平面角的定义可知,∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
133
因为AS=a,AD=BC=a,
222
1
a23a2
3. 3
所以在Rt△ASD中,tan∠ADS==所以∠ADS=30°,
即所求二面角A-BC-S的大小为30°.
评注 应用二面角的定义时,常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点),然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,找出二面角的平面角,然后通过解三角形求得二面角的大小.
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