高中数学11.几何法求空间角复习试题

空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画．利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力．下面就利用几何法求空间角的策略进行分析． 1．求线面角

求线面角，要找出斜线在平面上的射影，其关键是作垂线找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解

例1 如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．

(1)求证：PE⊥AC；

(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值． (1)证明 设AC交BD于O，

∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC， 又AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC，

∵BD∩SO＝O，BD，SO⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD， ∵E，F，G分别为BC，SC，CD的中点， ∴FG∥SD，BD∥EG.

又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，FG，EG⊂平面EFG，SD，BD⊂平面SBD， ∴平面EFG∥平面BSD，∴AC⊥平面GEF. 又∵PE⊂平面GEF，∴PE⊥AC. (2)解 过B作BH⊥GE于H，连接PH，

∵BD⊥AC，BD∥GH，∴BH∥AC， 由(1)知AC⊥平面GEF，则BH⊥平面GEF. ∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．

在Rt△BHP中，BH＝故cos∠BPH＝＝2．求二面角

21315，PH＝，PB＝， 222

PHPB195. 15

求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角． 1例2 在三棱锥S－ABC中，已知△ABC是边长为a的等边三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝a，

2求二面角A－BC－S的大小．

解 如图所示，因为AB＝AC＝a，∠BAS＝∠CAS＝90°，所以SB＝SC.取BC的中点为D，连接AD，SD，则由等腰三角形的性质，可得SD⊥BC，AD⊥BC.于是由二面角的平面角的定义可知，∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．

133

因为AS＝a，AD＝BC＝a，

222

1

a23a2

3. 3

所以在Rt△ASD中，tan∠ADS＝＝所以∠ADS＝30°，

即所求二面角A－BC－S的大小为30°.

评注 应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小.