(完整版)极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

1．在极坐标系中，以点C(2,2)为圆心，半径为3的圆C与直线l:3(R)交于A,B两点.

（1）求圆C及直线l的普通方程. （2）求弦长AB.

2．在极坐标系中，曲线L:sin22cos，过点A（5，）（为锐角且

tan34）作平行于4(R)的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直

角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长.

3．在极坐标系中，点M坐标是(3,

2)，曲线C的方程为22sin(4)；以

极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1的直线l经过点M．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA||MB|的值．

24．已知直线l的参数方程是xt2(t是参数，圆C的极坐标方程为

y2)2t422cos(4)．

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xa3tt为参数.在极坐标

yt,系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为4cos. （Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值.

6．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为

(2,3)，半径r=1，P在圆C上运

动。

（I）求圆C的极坐标方程；

（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程。

C(2,)7．在极坐标系中，极点为坐标原点O，已知圆C的圆心坐标为4，半径为2sin()2，直线l的极坐标方程为42.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若圆C和直线l相交于A，B两点，求线段AB的长.

x4cos8．平面直角坐标系中，将曲线ysin（为参数）上的每一点纵坐标不变，

横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1 ．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C2的方程为4sin，求C1和C2公共弦的长度．

9．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

4cosx33t曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是2 ,y1（t为

2t .参数）．求极点在直线l上的射影点P的极坐标；若M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求MN的最小值。

10．已知极坐标系下曲线C的方程为2cos4sin，直线l经过点

P(2,)，倾斜角43.

（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程;

（Ⅱ）设l与曲线C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.

11．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x4cosy3sin(为参数)．以坐标原点

为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C2的极坐标方程为

sin(4)52．

（Ⅰ）分别把曲线C1与C2化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线．

（Ⅱ）在曲线C1上求一点Q，使点Q到曲线C2的距离最小，并求出最小距离．

12．设点M,N分别是曲线2sin0和sin(24)2上的动点，求动点M,N间的最小距离.

13．已知A是曲线3cos上任意一点，求点A到直线cos1距离的最大值和最小值.

14．已知椭圆C的极坐标方程为2123cos24sin2，点F1、F2为其左，右

x22t焦点，直线l的参数方程为2(t为参数，tR)． y22t（1）求直线l和曲线C的普通方程； （2）求点F1、F2到直线l的距离之和.

15．已知曲线C:x3cos，直线l:(cos2sin)12．

y2sin（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．

16．已知eO1的极坐标方程为4cos．点A的极坐标是(2,).

（Ⅰ）把eO1的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点A的极坐标化为直角坐标；

（Ⅱ）点M（x0，y0）在eO1上运动，点P(x,y)是线段AM的中点，求点P运动轨迹的直角坐标方程．

17．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x14t5(t为参数)，若以

y135tO为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=2cos(θ+4)，求直线l被曲线C所截的弦长．

18．已知曲线C221的极坐标方程为4cos，曲线C2的方程是4xy4,

x513t直线l的参数方程是： (t为参数）.

y513t（1）求曲线C1的直角坐标方程，直线l的普通方程； （2）求曲线C2上的点到直线l距离的最小值.

19．在直接坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为

x3cos（为参数）ysin

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，

以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为4,2，判断点P与直线l的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

20．经过M（10，0）作直线l交曲线C：x2cosy2sin（为参数）于A、B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求直线l的方程.

21．已知曲线错误!未找到引用源。的极坐标方程是错误!未找到引用源。，曲线错误!未找到引用源。的参数方程是错误!未找到引用源。是参数）．

（1）写出曲线错误!未找到引用源。的直角坐标方程和曲线错误!未找到引用源。的普通方程；

（2）求错误!未找到引用源。的取值范围，使得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。没有公共点．

22．设椭圆E的普通方程为x23y21

(1)设ysin,为参数,求椭圆E的参数方程;

(2)点Px,y是椭圆E上的动点,求x3y的取值范围.

23．在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:sin22acosa0,已知过点P2,4的直线l的参数方程2为:x22t,直线l与曲线C分别交于M,N y422t(1)写出曲线C和直线l的普通方程;

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列,求a的值.

x224．已知直线l的参数方程是2t(t是参数)，圆C的极坐标方程为2y2t422cos(4)． （I）求圆心C的直角坐标；

(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已

数）．

知直线l的极坐标方程为cos(x2cos4)2，曲线C的参数方程为ysin（为对数），求曲线C截直线l所得的弦长.

26．已知曲线Cx2cos，x3t1，1：（y2sin为参数），曲线C2：（t为参

y3t（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线C1，C2．写出C1，C2的参数方程．C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．

27．求直线4x1t5(t为参数）被曲线2cos()所截的弦长. y1345t

28．已知圆的方程为y26ysinx28xcos7cos280

求圆心轨迹C的参数方程;点P(x,y)是（1）中曲线C上的动点，求2xy的取值范围.

29．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x4cosy4sin（为参数），直

线l经过点P(2,2)，倾斜角3.

（I）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A,B两点，求|PA||PB|的值.

30． 已知P为半圆C：xcosysin（为参数，0）上的点，点A的坐



标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度

均为

3。 （I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； （II）求直线AM的参数方程。

31．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x32t,2(t为参数)．在极

y522t

坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为25sin． (Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；

(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为(3，5)，求PAPB与

PAPB．

x232．已知A,B两点是椭圆 9y241与坐标轴正半轴的两个交点. (1)设y2sin,为参数，求椭圆的参数方程；

(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求此最大值.

33．已知曲线Cx4cost,t为参数）， Cx2cos,1： （y3sint,2：（为参数）。y4sin,（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（II）若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直

线C3:2xy70（t为参数）距离的最大值。

34．在直角坐标系中，曲线Cx2cos1的参数方程为y22sin(为参数)，M是曲线C1

上

的动点，点P满足OP2OM

(1)求点P的轨迹方程C2；

(2)以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与曲线C1、C2交于

不同于极点的A、B两点，求|AB|.

35．设直线l经过点P(1,1)，倾斜角6，

（Ⅰ）写出直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与圆x2y24相交与两点A，B.求点P到A、B两点的距离的和与积.

36．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标

系. 已知点M的极坐标为(４2,4)，曲线C的参数方程为

x12cos,(为参数）． y2sin（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．

337．在直角坐标系xOyP(中, 过点

2,32)作倾斜角为的直线l与曲线

C:x2y21相交于不同的两点M,N.

(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;

11(Ⅱ) 求 PMPN 的取值范围.

x32xOyt38．在直角坐标系中，直线l的参数方程为2y52t（t为参数）。在极坐

2标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。

39．在平面直角坐标系xoy中，曲线Cxacos1的参数方程为（abybsin0，为

参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M(1,32)对应的参数3，射线

3与曲线C2交于点D(1,3)．

（I）求曲线C1，C2的方程；（II）若点A(1,)，B(2,求

2)在曲线C1上，

112122的值．

参考答案

1．（1）圆方程x2(y2)29 ∴直线l方程：3xy0

(2) AB2321242

【解析】(1)圆C在直角坐标系中的圆心坐标为(0,2),半径为3,所以其普通方程为x2(y2)29.直线l由于过原点，并且倾斜角为3,所以其方程为y3x即3xy0.

(2)因为圆心C到直线的距离为1,然后利用弦长公式|AB|2r2d2可求出|AB|的值

（1）∵圆心C(0,2)，半径为3∴圆方程x2(y2)29 …….4分 ∵l过原点，倾斜角为3，∴直线l方程：y3x即3xy0 ……….8分

(2) 因为

圆心C(0,2)到直线l的距离d221 所以

AB2321242 2．（Ⅰ）yx1 （Ⅱ）BC1k2x1x226 【解析】

(I)先把曲线方程化成普通方程，转化公式为

2x2y2,xcos,ysin.

(II)直线方程与抛物线方程联立消y之后，借助韦达定理和弦定公式求出弦长即可

（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为4,3 (1分) 曲线L的普通方程为：y22x （3分）

直线l的普通方程为：yx1 （5分） （Ⅱ）设B（x1,y1）C（x2,y2）

y22x 联立得x24x10 yx1由韦达定理得x1x24，x1x21 （7分） 由弦长公式得BC1k2x1x226

3．解：（1）∵点M的直角坐标是(0,3)，直线l倾斜角是135， …………（1分）∴直线l参数方程是xtcos135x2ty3tsin135，即2， ………（3分） 2y32t22sin(4)即2(sincos)，

两边同乘以得22(sincos)，曲线C的直角坐标方程 曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0；………………（5分）

2（2）x2t代入x2y22x2y0，得t232t30

y322t∵60，∴直线l的和曲线C相交于两点A、B，………（7分） 设t232t30的两个根是t1、t2，t1t23，

∴|MA||MB||t1t2|3． ………………（10分）

【解析】略

4．（I）2cos2sin，

22cos2sin， …………（2分）圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0， …………（3分）即(x22222)(y2)1，圆心直角坐标为(22,22)．…………（5分）（II）方法1：直线l上的点向圆C 引切线长是

(22t22)2(22t2242)21t28t40(t4)22426， …………（8分）∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26 …………（10分）方法2：直线l的普通方程为xy420， …………（8分）

|222242|圆心C到直线l距离是

25，

∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是521226 【解析】略

5．（Ⅰ）由4cos得24cos，…………２分

结合极坐标与直角坐标的互化公式xcos得ysinx2y24x，

即(x2)2y24. …………５分

（Ⅱ）由直线l的参数方程xa3t(t为参数)化为普通方程，

yt得，x3ya0. …………７分 结合圆C与直线l相切，得2a132，

解得a2或6. 【解析】略

6．解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为(,)，由余弦定理得

1222222cos(3)

24cos()30 所以圆的极坐标方程为

3………………… （5分）

5524114离为2， 所以公共弦长为．

（Ⅱ）设Q(x,y)则P(2x,2y)，P在圆上，则Q的直角坐标方程为

(x1

2)2(y32)214………………… （10分）

【解析】略 7．

【解析】略

x4cosα8．解：曲线ysinα（为参数）上的每一点纵坐标不变，

x2cosαysin横坐标变为原来的一半得到α，

然后整个图象向右平移1个单位得到xy2sincosαα1，

x2cosα1最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2sinα，

所以C1为(x1)2y24， 又C2为4sin，即

x2y24y， 所以C1和C2公共弦所在直线为2x4y30， 所以(1,0)到2x4y30距

【解析】略

9．（1）极坐标为P(3,223) （2）MN1mindr2 【解析】解：（1）由直线的参数方程消去参数t得l：x3y30， 则l的一个方向向量为a(3,3)，

设P(332t,12t)，则OP(332t,12t)， 又OPa，则3(332t)332t0，得：t23， 将t323代入直线l的参数方程得P(34,343)，化为极坐标为P(322,3)。（2）4cos24cos，

由2x2y2及xcos得(x2)2y24， 设E(2,0)，则E到直线l的距离d52， 则MNmindr12。

1x1t210．（Ⅰ）(t为参数)

y132t

（Ⅱ）C：(x1)2(y2)25，【解析】

11．

t23t40，t1t24【解析】



，

12．21

【解析】略

13．最大值为2，最小值为0

【解析】将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－

32)2＋y2=94 ρcosθ=1即x=1 直线与圆相交。

所求最大值为2， 最小值为0。 （1）x2y214．431（2）22 【解析】（Ⅰ） 直线l普通方程为yx2；曲线C的普通方程为x24y231． 3′ 6′

8′ 10′

………………………………3分……………6分

（Ⅱ） ∵F1(1,0),F2(1,0)， …………………7分 ∴点F1021到直线l的距离d12322, …………………8分 点F10222到直线l的距离d222, ………………9分 ∴d1d222. ……………10分 15．⑴x2y120（2）755 【解析】：⑴x2y120

⑵设P(3cos,2sin)，

∴d3cos4sin125555cos()12（其中，cos345,sin5) 当cos()1时，dmin755， ∴P点到直线l的距离的最小值为

755。 16．（Ⅰ）eO221的直角坐标方程是(x2)y4，A的直角坐标为（－2，0）（Ⅱ）P运动轨迹的直角坐标方程是x2y21.

【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）由4cos得4cos，将cosx，xy代入可得

2222x2y24x．eO1的直角坐标方程是(x2)2y24，

4x1t5(t为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3

试题分析：将方程y13t5eOx22cos,1的直角坐标参数方程可写为2sin.点A的极坐标是(2,)，

y由xcos，ysin知点A的直角坐标为（－2，0）.

（Ⅱ）点M（xOx022cos,0，y0）在e1上运动，所 y02sin. 点P(x,y)是线段AM的中点，所以x2x02222cos2cos，

y0y0202sin2sin， 所以，点P运动轨迹的直角坐标参数方程是xcos,ysin.

即点P运动轨迹的直角坐标方程是x2y21.

17．75

【解析】

分

将方程=2cos(θ+4)化为普通方程得，x2+y2

-x+y=0， ……………6分 它表示圆心为(

12，-122)，半径为2的圆， …………………………9分

则圆心到直线的距离d=110， ……………………………10分

弦长为2r2d2211721005． ……………………12分 考点：直线参数方程，圆的极坐标方程及直线与圆的位置关系

点评：先将参数方程极坐标方程转化为普通方程

18．解: (1) xy250 ；（2）到直线l距离的最小值为

102。 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2

，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．

（Ⅱ）曲线C的方程为4x2+y2

1=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．

解: (1) 曲线C1的方程为(x2)2y24，直线l的方程是：xy250

（2）设曲线C2上的任意点(cos,2sin),

该点到直线l距离d|cos2sin25|255sin()|2|2.

到直线l距离的最小值为102。

考点：本题主要考查了曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中档题．

点评：解决该试题的关键是对于椭圆上点到直线距离的最值问题，一般用参数方程来求解得到。

19．(1)点P在直线l上；(2)当cos(6)1时，d取得最小值，且最小值

为2。 【解析】

试题分析：（1）由曲线C的参数方程为 x3cossin，知曲线C的普通方程，

y再由点P的极坐标为(4， 2)，知点P的普通坐标为（4cos 2，4sin 2），即

（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．

（2）由Q在曲线C： x3cos上，（0°≤α＜360°），知Q( 3cosα，ysinsinα)到直线l：x-y+4=0的距离d= |2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°），由

此能求出Q到直线l的距离的最小值

解：(1)把极坐标系下的点P4,2化为直角坐标，得P（0，4）

。 因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程xy40， 所以点P在直线l上，

(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为3cos,sin，

从而点Q到直线l的距离为

d|3cossin4|2cos()42622cos(6)22

由此得，当cos(6)1时，d取得最小值，且最小值为2

考点：本试题主要考查了椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认

真审题，注意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用． 点评：解决该试题的关键是参数方程与普通方程的互化以及对于点到直线距离公式的灵活运用求解最值。 20．x3y10

【解析】

试题分析：把曲线的参数方程化为普通方程，由|AB|2

=|MA|•|MB|，可得|AB|等于圆的切线长，设出直线l的方程，求出弦心距d，再利用弦长公式求得|AB|，由此求得直线的斜率k的值，即可求得直线l的方程． 解：直线l的参数方程：x10tcos（t为参数），…………①

ytsin

曲线C：x2cos22化为普通方程为xy4，…………②

y2sinx3cos22．(1)(为参数)

ysin(2)23,23

t2(210cos)t60，将①代入②整理得：设A、B对应的参数分别为t1,t2，

t1t2-210cos，由MA,AB,MB成等比数列得：(t-t2t12)t1t2， 1t2640cos2-246，cos32，k33， 直线l的方程为：x3y10

考点：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，

直线和圆的位置关系，属于基础题．

点评：解决该试题的关键是把曲线的参数方程化为普通方程，由|AB|2

=|MA|•|MB|，可得|AB|等于圆的切线长，利用切割线定理得到，并结合勾股定理得到结论。 21．（1）曲线错误!未找到引用源。的直角坐标方程是错误!未找到引用源。，曲线错误!未找到引用源。的普通方程是错误!未找到引用源。； （2）错误!未找到引用源。。

【解析】本试题主要是考查了极坐标方程和曲线普通方程的互化，以及曲线的交点的求解的综合运用。

因为根据极坐标方程与直角坐标方程的互化得到普通方程，然后，联立方程组可知满足没有公共点时的t的范围。 解：（1）曲线错误!未找到引用源。的直角坐标方程是错误!未找到引用源。， 曲线错误!未找到引用源。的普通方程是错误!未找到引用源。…………5分

（2）当且仅当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。没有公共点，

解得错误!未找到引用源。……10分

【解析】(1)由x2y21，令x2cos233,y2sin2可求出椭圆E的参数方程。

（2）根据椭圆的参数方程可得x3y3cossin23cosπ3，然后易得

x3y23,23.

解：(1)x3cos(为参数)

ysin(2)x3y3cossin23cosπ3

x3y23,23 23．(1)y22ax,yx2

(2)a1

【解析】(1)对于直线l两式相减，直接可消去参数t得到其普通方程，

对于曲线C，两边同乘以

,再利用2x2y2,xcos,ysin可

求得其普通方程.

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可知，

|PM||PN||t1t2|,|MN||t2t1|,Q|t2t1|2|t1t2|,借助韦达定理可建立关于a

的方程，求出a的值.

24．（I）(22,22)；(Ⅱ)26 【解析】(I)把圆C的极坐标方程利用2x2y2,xcos,ysin化成普通方程，再求其圆心坐标. （II）设直线上的点的坐标为(222t,2t42),然后根据切线长公式转化为关于t的函数来研究其最值即可. 解：（I）2cos2sin，

22cos2sin， ………（2分） 圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0， …………（3分）

即(x22)2(y22)21，圆心直角坐标为(22,22)．…………（5分） （II）：直线l上的点向圆C 引切线长是 (22t22)2(22t2242)21t28t40(t4)22426， …………（8分） ∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26 …………（10分） ∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是521226 …………（10分）

25．425

【解析】(1)先把直线l和曲线C的方程化成普通方程可得xy20和x2y241, 然后联立解方程组借助韦达定理和弦长公式可求出弦长. 解：由cos(4)2可化为直角坐标方程xy20

参数方程为x2cosx2sin（为对数）可化为直角坐标方程y2y41 联立（1）（2）得两曲线的交点为(2,0),(6,455)

所求的弦长(26)24425(05)25 …………13分

26．（1）C1是圆，C2是直线。C2与C1有两个公共点（2）C1′：x2y24161，C2′：

2xy2。有两个公共点，C1与C2公共点个数相同

【解析】本试题主要是考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的转化，以及直线

与椭圆的 位置关系的运用。

（1）结合已知的极坐标方程和参数方程，消去参数后得到普通方程，然后利用直线与圆的位置关系判定。

（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：x2cos，y4sinθ为参数）；



C2′：x3t1，（t为参数）联立消元得23t2x22x30其判别式

yV442(-3)280，

可知有公共点。

解：（1）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2y24， 圆心C1（0，0），半径r=2．C2的普通方程为x-y-1=0．

因为圆心C1到直线x-y+ 1=0的距离为222， 所以C2与C1有两个公共点．

（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：x2cos，θ为参数）；C2′：x3t1，y4siny23t（t为参数）

化为普通方程为：C1′：

x2y24161，C2′：2xy2 联立消元得2x22x30其判别式V442(-3)280， 所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然有两个公共点，和C1与C2公共点个数相

同

27．弦长为错误!未找到引用源。。

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的 相交弦的长度问题的运用。将参数方程化为普通方程，然后利用圆心到直线的距离公式和圆的半径，结合勾股定理得到结论

28．（1）圆心轨迹的参数方程为x4cos,y3sin,(为参数）

（2）2xy的取值范围是-73，73

【解析】本试题主要是考查了圆的参数方程与一般式方程的互换，以及运用参数方

程求解最值的问题。

（1）因为圆的方程整理得(x4cos)2(y3sin)21，设圆心坐标为(x,y)，

则可得圆心轨迹的参数方程为x4cos,y3sin,(为参数）

（2）因为点P是曲线C上的动点，因此设点P（4cos,3sin)，那么 2xy8cos3sin73sin(）（其中tan83)，结合三角函数

的性质得到最值。

x2129．（Ⅰ）2t（t为参数）；（Ⅱ）PAPB=8 。

y232t【解析】(1)方程消去参数得圆的标准方程为x2y216，由直线方程的意义可直接写出直线l的参数；（2）把直线l的参数方程代入x2y216，由直线l的参数方程中t

的几何意义得|PA||PB|的值.

解：（Ⅰ）圆的标准方程为x2y216 …… 2分

x2tx21t直线l的参数方程为cos3，即2（t为参数）y2tsin …… 53y232t分

x21（Ⅱ）把直线的方程2t代入x2y216，

y232t得(212t)2(232t)216，t22(31)t80 ……8分 所以t1t28，即PAPB=8 …… 10分．

x1(1)t30．（Ⅰ）（63，3）. （Ⅱ）（t为参数）

y36t【解析】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点

的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2

，进行代换即得．

（2）先在直角坐标系中算出点M、A的坐标，再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可

解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为3，且M点的极径等于3， 故点M的极坐标为（

3，3）. （Ⅱ）M点的直角坐标为（

6,36），A（0,1），故直线AM的参数方程为 x1(61)t（t为参数） y36t31． (Ⅰ) x2(y225y5)5x2(y5)25．

(Ⅱ) |PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=22232.PAPB2．

【解析】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题

（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程； （Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得A,B坐标，进而得到结论。解：(Ⅰ)由ρ=25sinθ，得ρ2=25ρsinθ，∴x2+y2

=25y,

所以x2(y225y5)5x2(y5)25．

(Ⅱ)直线的一般方程为x3y5xy530，容易知道P在直线

上，又32(55)25，所以P在圆外，联立圆与直线方程可以得到：

A(2,51),B(1,52)，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=22232.

同理，可得PAPB2．

32．（1）x3cos （y2sin为参数）；

（2）当4 ，即 P322,2时，SOAPBmax32 。 【解析】本试题主要是考查了运用参数方程来求解最值的数学思想的运用。

（1）把y2sin代入椭圆方程，得x24sin2941， 于是 x291sin29cos2， 即 x3cos，那么可知参数方程的

表示。

（2）由椭圆的参数方程，设P3cos,2sin02

易知 A(3,0),B(0,2)，连接OP,

S11OAPBSOAPSOBP232sin223cos32sin4

结合三角函数的值域求解最值。

代入椭圆方程，得x2解：（1）把y2sin94sin241， 于是 x291sin29cos2， 即 x3cos………………（3分）

由参数的任意性，可取 x3cos，

因此，椭圆 x2y2941的参数方程是 x3cos2sin （为参数）………（5分） y（2）由椭圆的参数方程，设P3cos,2sin02 易知 A(3,0),B(0,2)，连接OP,

SSS11OAPBOAPOBP232sin223cos32sin4……（9

分） 当4 ，即 P322,2时，……………………………（11分） SOAPBmax32 ………………………………（12分）

2233．（I）C22x1:(x-4)(y+3)1,C2:4y161， C1为圆心是(4,3)，半径是1的圆。

C2为中心是坐标原点，焦点在y轴上，长半轴长是2，短半轴长是4的椭圆。

（Ⅱ）210+255。

【解析】本试题主要是考查了参数方程与普通方程的转化以及点到直线的距离公式的求解的综合运用。

（1）消去参数得到普通方程。

（2）因为当t时，P(4,2).Q(2cos,4sin)，故M(2cos,12sin) 【解析】(1)先求出曲线C1的普通方程为x(y2)4,再根据222C3为直线2xy70，

那么利用点到直线的距离公式得到。

解：（I）C2x2y21:(x-4)(y+3)21,C2:4161………………4分 C1为圆心是(4,3)，半径是1的圆。

C2为中心是坐标原点，焦点在y轴上，长半轴长是2，短半轴长是4的椭圆。

……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）当t2时，P(4,2).Q(2cos,4sin)，故M(2cos,12sin)

……………………………………………………………8分

C3为直线2xy70，

M到C3的距离d2525|sincos+1|=55|2sin(4)1|……10分 从而当

42,即34时时， d取得最大值210+255…………………………………………………12分

34．（1）x2(y4)216 （2）AB23

OP2OM,结合代点法可求出点P的轨迹方程.

（2）因为两圆内切，切点为极点，然后再根据圆心到射线y3x的距离，求出弦长，两个圆的弦长相减可得|AB|的值.

x13t35．（Ⅰ）2； y112t（Ⅱ）PAPB；PA•PB

【解析】(I)引进参数t,可以直接写出其参数方程为x132t. y112t(II)将直线的参数方程代入圆的方程，可得到关于t的一元二次方程，根据（I）

中方程参数的几何意义可知，|PA|+|PB||t21t2|(t1t2)4t1t2,|PA||PB|=|t1t2|.然后借助韦达定理解决即可. 解：（Ⅰ）依题意得，

直线l的参数方程为x132t ① 4分 y112t

（Ⅱ）由①代入圆的方程x2y24得

t2(31)t20….………………6分

由t的几何意义PAt1,PBt2，因为点P在圆内，这个方程必有两个实根，所以t1t2(31),t1t22 ……………………8分

PAPBt1t2(t1t22)4t1t2

＝(31)28

＝1223 ………10分

PA•PBt1•t22………12分

36．（Ⅰ）yx；（Ⅱ） 【解析】(I)由极坐标根据公式xcos,ysin,可得M的直角坐标为(4,4).

(II)由于M在圆C外，所以最小距离应等于|MC|-r.

解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(４2,4)得点M的直角坐标为(４,4)，……2分

所以直线OM的直角坐标方程为yx．………………………………5分

（Ⅱ）由曲线C的参数方程x12cos,(为参数）

y2sin

化为普通方程为(x1)2y22，……………………………8分 圆心为A(1,0),，半径为r2．10分

由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MAr52 12分

x32tcosy3t37．（Ⅰ）2sin (t为参数）(Ⅱ)

2,3

【解析】本试题主要考查了直线的参数方程与直线与圆的位置关系的综合运用。

（1）利用直线过点和直线的斜率得到参数方程。

2（2）直线与圆连理方程组，得到t(3cos3sin)t20，结合判别式

得到结论。

x3tcos2y3tsin解：（Ⅰ）2 (t为参数）…………… 4分 x3tcos2y3（Ⅱ）2tsin (t为参数）代入x2y21，得 t2(3cos3sin)t200sin( ，

6)63

1111tt(3cos3sin)123sin()2,3【解析】（I）由于曲线C1过点M，及对应参数xacos,代入,可

PMPNt1t2t1t22610分

38．x2(y5)25.；（2）32 【解析】本试题主要是考查了极坐标系和直角坐标系，以及直线与圆的位置关系

和不等式的综合运用。先利用极坐标系与直角坐标系 互化得到普通方程，让直线与圆联立方程组得到相交弦的长度。

解：（1）由25sin得x2y225y0,即x2(y5)25.-----3分

（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(322t)2(222t)5即t232t40,由于(32)24420，设t1,t2是上述方程的两实根，所以t1t232,又直线l过点P(3,5),故由上式及t的几何意义得：

t1t24|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32-----------7分

39．（I）Cx2cosx21的方程为（为参数），或ysin4y21， C2的方程为2cos,或(x1)2y21； （II）

3ybsin求出a,b.

的值.设圆C2的极坐标方程为2Rcos,根据过点D(1,3)，

代入2Rcos,可求出R,所以其极坐标方程. (II) 因为点A(1,)，B(2,2) 在在曲线C1上, 代入曲线C1的方程，直接

求

1212即可.

121（I）将M(1,32)及对应的参数3，代入xacos，得acosybsin3， 32bsin3即a2，

b1

所以曲线Cx2cosx21的方程为ysin（为参数），或y21. 4设圆C2的半径为R,由题意,圆C2的方程为2Rcos,(或

(xR)2y2R2).

将点D(1,3)代入2Rcos,

得12Rcos3,即R1.

(或由D(1,13),代入(xR)2y2R2,得R1), ),得D(,22322所以曲线C2的方程为2cos,或(x1)y1. （II）因为点A(1,)，B(2,2) 在在曲线C1上,

22cos21,

所以

12cos24sin1,

21222sin24cos2sin252所以22(sin)(cos2).

4441211