2021-2022学年江苏省南京市高淳区九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1. 一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中
随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为( )
A. 2
1
B. 3
2
C. 5
1
D. 5 2
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
3. 以锐角△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶为直径作⊙𝑂，则顶点𝐴与⊙𝑂的位置关系是( )
A. 在⊙𝑂内 B. 在⊙𝑂上 C. 在⊙𝑂外 D. 不能确定
4. 某排球队6名场上队员的身高(单位：𝑐𝑚)是：180，182，184，186，190，194.现
用一名身高为188𝑐𝑚的队员换下场上身高为194𝑐𝑚的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小 C. 平均数变大，方差变小
B. 平均数变小，方差变大 D. 平均数变大，方差变大
5. 一元二次方程2𝑥2+3𝑥−5=0的两个实数根分别为𝑥1、𝑥2，则𝑥1+𝑥2的值为( )
A. 2
3
B. −2 3
C. −2 5
D. 2 5
6. 二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)中的自变量𝑥与函数值𝑦的部分对应值如下表：
𝑥 𝑦 … … −3 16 −2 7 −1 0 0 −5 1 −8 4 −5 … … 则下列结论：①𝑎>0；②当函数值𝑦<0时，对应𝑥的取值范围是𝑥<−1；③顶点坐标为(1,−8)；④若点𝑃(−2,𝑦1)、𝑄(5,𝑦2)在抛物线上，则𝑦1>𝑦2.其中，所有正确结论的序号为( )
A. ①③
B. ②③ C. ①④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 7. 一元二次方程𝑥2−5𝑥=0的解为______．
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8. 某同学6次引体向上的测试成绩(单位：个)分别为16、18、20、17、16、18，这组
数据的中位数是______ ．
9. 九(1)班同学为灾区小朋友捐款．全班40%的同学捐了10元，30%的同学捐了5元，
20%的同学捐了2元，还有10%的同学因为自身家庭经济原因没捐款．则这次全班平均每位同学捐款______元．
10. 有4根细木棒，长度分别为2𝑐𝑚，3𝑐𝑚，4𝑐𝑚，5𝑐𝑚，从中任选3根，恰好能搭成一
个三角形的概率是______．
⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，11. 如图，点𝑂在△𝐴𝐵𝐶内，若∠𝐵𝐶𝑂=40°，
则∠𝐴=______°.
12. 如图，正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，对角线𝐵𝐸长为4，则△𝐵𝐷𝐸的面
积为______．
13. 已知二次函数𝑦=(𝑥−1)(𝑥−𝑎)(𝑎为常数)的图象的对称轴是过(2,0)且平行于𝑦轴
的直线，则𝑎的值为______．
14. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，过点
𝐶作⊙𝑂的切线交𝐴𝐵的延长线于点𝑃，若∠𝐴𝐷𝐶=115°，则∠𝑃=______°.
15. 已知点𝑃(−3,𝑚)和𝑄(1,𝑚)在二次函数𝑦=2𝑥2+𝑏𝑥−1的图象上．将这个二次函数
图象向上平移______单位长度后，得到的函数图象与𝑥轴只有一个公共点． 16. 下列关于二次函数𝑦=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2+1(𝑚为常数)的结论：①该函数的图象与
函数𝑦=−𝑥2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数𝑦=𝑥2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分） 17. 解方程：(2𝑥−1)2=3−6𝑥．
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18. 主题班会课上，王老师出示了一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观
点：𝐴.放下自我，彼此尊重；𝐵.放下利益，彼此平衡；𝐶.放下性格，彼此成就；𝐷.合理竞争，合作双赢．要求每人选取
其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了如下两幅不完整的图表． 观点 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 频数 𝑎 12 8 20 频率 0.2 0.24 𝑏 0.4 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)表中𝑎=______，𝑏=______； (2)将条形统计图补充完整；
(3)现准备从𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个观点中任选两个作为演讲主题，则选中观点𝐷(合理竞争，合作双赢)的概率为______．
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19. 某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
跳绳成绩(个) 一班人数(人) 二班人数(人) 132 1 0 133 2 1 134 0 4 135 2 1 136 3 2 137 2 2 (1)两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：
一班 二班 众数 136 134 中位数 135.5 𝑎 平均数 135 135 方差 2.8 𝑏 表中数据𝑎=______，𝑏=______；
(2)请用所学的统计知识，从两个不同角度比较两个班跳绳比赛的成绩．
20. 小明参加某个智力竞答节目，答对最后的两道单选题就顺利通关．第一道单选题有
3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项)． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______． (2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
(3)从概率的角度分析，建议小明在第______题使用“求助”.(直接写出答案)
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21. 已知二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3．
(1)这个二次函数图象与𝑥轴的交点坐标为______，它的顶点坐标为______； (2)画出这个二次函数的图象，并说明𝑦=−𝑥2的图象经过怎样的平移可得到该函数的图象；
(3)𝑥取什么值时，该函数图象在𝑥轴上方？ (4)𝑥取什么值时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小？
22. 已知：矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=12．
(1)用直尺和圆规作⊙𝑂，使⊙𝑂过𝐵、𝐶两点，且与𝐴𝐷相切(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．
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∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=5，23. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，半径为2的⊙𝑂分别与𝐴𝐶、
𝐵𝐶相切于点𝐸、𝐹． (1)求证：𝐴𝐵是⊙𝑂的切线； (2)求图中阴影部分的面积．
24. 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的
长与宽的比是2：1.已知镜面玻璃的价格是120元/𝑚2，边框的价格是30元/𝑚，加工费是60元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．
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25. 如图，𝐵𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高．
(1)求证：𝐵、𝐶、𝐷、𝐸四个点在同一个圆上；
(2)若∠𝐵𝐷𝐸=45°，∠𝐷𝐸𝐶=15°，𝐵𝐸=5√2，则∠𝐸𝐵𝐷=______°，𝐷𝐸=______．
26. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝐶与⊙𝑂交于点𝐶，∠𝐵𝐴𝐶的
平分线交⊙𝑂于点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为𝐸． (1)求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；
(2)若𝐴𝐶=6，𝐷𝐸=4，求⊙𝑂的半径．
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27. 已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐵𝐶=6，∠𝐵=60°，∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝑚，以𝐵𝐶为
直径作⊙𝑂．
(1)如图①，⊙𝑂与𝐴𝐷边相切，切点为𝐸，求𝑚的值；
(2)就𝑚的取值范围讨论⊙𝑂与边𝐴𝐵、𝐴𝐷除点𝐵外的公共点总个数的情况(直接写出答案)．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率𝑃=2+3=5． 故选：𝐷．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=事件𝐴可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
2
2
2.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，正确． 故选：𝐷．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】𝐶
【解析】解：如图，作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶于𝐷，连接𝑂𝐴、𝑂𝐷， ∵𝐵𝐶为直径， ∴点𝐷在圆上，
∵∠𝐴𝐷𝑂>90°>∠𝑂𝐴𝐷， ∴𝑂𝐴>𝑂𝐷， ∴顶点𝐴在⊙𝑂外． 故选：𝐶．
作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶于𝐷，根据圆周角定理，点𝐷在⊙𝑂上，由于∠𝐴𝐷𝑂>90°>∠𝑂𝐴𝐷，
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得出𝑂𝐴>𝑂𝐷，即可证得顶点𝐴在⊙𝑂外．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙𝑂的半径为𝑟，点𝑃到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，则有点𝑃在圆外⇔𝑑>𝑟；点𝑃在圆上⇔𝑑=𝑟；点𝑃在圆内⇔𝑑<𝑟．
4.【答案】𝐴
【解析】解：∵原数据的平均数为6×(180+182+184+186+190+194)=186， 新数据的平均数为6×(180+182+184+186+190+188)=185，
原方差：6[(180−186)2+(182−186)2+(184−186)2+(186−186)2+(190−186)2+(194−186)2]=
1
683
1
1
1
，
新方差：6[(180−185)2+(182−185)2+(184−185)2+(186−185)2+(190−185)2+(188−185)2]=
353
，
∴平均数减小、方差减小， 故选：𝐴．
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案．
𝑥1，𝑥2，…𝑥𝑛的平均数为𝑥，本题主要考查方差和平均数，一般地设𝑛个数据，则方差𝑆2=
1𝑛
−
[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，
−−−
波动性越大，反之也成立．
5.【答案】𝐵
【解析】解：根据根与系数的关系得，𝑥1+𝑥2=−2． 故选：𝐵．
直接利用根与系数的关系求解．
𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根，本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎．
𝑏
𝑐
3
6.【答案】𝐶
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【解析】解：由(0,−5)，(4,−5)可得抛物线对称轴为直线𝑥=2， 由(1,−8)，(4,−5)可得𝑥>2时𝑦随𝑥增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线𝑥=2，且抛物线过点(−1,0)， ∴抛物线与𝑥轴另一交点坐标为(5,0)， ∴−1<𝑥<5时，𝑦<0， ∴②错误，不符合题意． ∵抛物线对称轴为直线𝑥=2， ∴③错误，不符合题意．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=2，且5−2<2−(−2)， ∴𝑦1>𝑦2，
∴④正确，符合题意． 故选：𝐶．
由(0,−5)，(4,−5)可得抛物线对称轴为直线𝑥=2，由(1,−8)，(4,−5)可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是根据抛物线所经过的点判断抛物线开口方向及对称轴，掌握二次函数与方程不等式的关系．
7.【答案】𝑥1=0，𝑥2=5
【解析】 【分析】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)． 【解答】
解：𝑥(𝑥−5)=0， 𝑥=0或𝑥−5=0， 所以𝑥1=0，𝑥2=5． 故答案为𝑥1=0，𝑥2=5．
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8.【答案】17.5
【解析】解：题目中数据共有6个，故中位数是按从小到大排列后第3，第4两个数的平均数作为中位数，
16，16，17，18，18，20，
故这组数据的中位数是2(17+18)=17.5． 故答案为：17.5．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
1
9.【答案】5.9
【解析】解：10×40%+5×30%+2×20%+0×10% =4+1.5+0.4+0 =5.9(元)．
故这次全班平均每位同学捐款5.9元． 故答案为：5.9．
利用加权平均数公式即可求解．
此题考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的计算方法．
10.【答案】4 【解析】 【分析】
本题考查概率的计算方法．
根据题意，使用列举法可得从4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案． 【解答】
3
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解：根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5；3种； 故其概率为：4．
3
11.【答案】50
【解析】解：连接𝑂𝐵， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝑂=40°，
∴∠𝐵𝑂𝐶=180°−40°−40°=100°， ∴∠𝐴=2∠𝐵𝑂𝐶=50°， 故答案为：50．
判断出△𝑂𝐵𝐶是等腰三角形，根据∠𝐵𝐶𝑂=40°判断出∠𝑂𝐵𝐶的度数，然后求出∠𝑂的度数，再根据圆周角定理求出∠𝐴的度数．
本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
1
12.【答案】2√3
【解析】解：在正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶=∠𝐷𝐸𝐹=120°，𝐶𝐷=𝐶𝐵， ∴∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷=30°， ∴∠𝐵𝐷𝐸=90°，
由题意得，∠𝐷𝐸𝐵=60°， ∴∠𝐷𝐵𝐸=30°， ∵𝐷𝐸=2， ∴𝐵𝐷=2√3，
∴△𝐵𝐷𝐸的面积=2𝐷𝐸⋅𝐵𝐷=2×2×2√3=2√3， 故答案为：2√3．
根据正六边形的性质得到∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶∠𝐷𝐸𝐹=120°，𝐶𝐷=𝐶𝐵，求得∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷=30°，得到∠𝐵𝐷𝐸=90°，由题意得，∠𝐷𝐸𝐵=60°，求得∠𝐷𝐵𝐸=30°，根据直角三角形
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1
1
的性质得到𝐵𝐷=2√3，根据三角形的面积公式即可得到答案．
本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：由二次函数𝑦=(𝑥−1)(𝑥−𝑎)(𝑎为常数)知，该抛物线与𝑥轴的交点坐标是(1,0)和(𝑎,0)．
∵对称轴是过(2,0)且平行于𝑦轴的直线， ∴对称轴为直线𝑥=2， ∴
1+𝑎2
=2．
解得𝑎=3； 故答案为：3．
根据抛物线解析式得到抛物线与𝑥轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得𝑎的值即可．
本题考查了抛物线与𝑥轴的交点，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质对称性是解决本题的关键．
14.【答案】40
【解析】解：如图，连接𝑂𝐶， ∵𝑃𝐶是⊙𝑂的切线， ∴𝑃𝐶⊥𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐶𝑃=90°， ∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴点𝑂在𝐴𝐵上，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，且∠𝐴𝐷𝐶=115°， ∴∠𝑂𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=∠𝑂𝐵𝐶+115°=180°， ∴∠𝑂𝐵𝐶=180°−115°=65°， ∵𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐶𝐵=∠𝑂𝐵𝐶=65°，
∴∠𝑃𝑂𝐶=180°−65°−65°=50°，
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∴∠𝑃=90°−∠𝑃𝑂𝐶=40°， 故答案为：40．
连接𝑂𝐶，根据切线的性质求出∠𝑂𝐶𝑃=90°，然后说明圆心𝑂在𝐴𝐵上，再由圆内接四边形对角互补求出∠𝑂𝐵𝐶的度数，再由等腰三角形的性质求出∠𝑃𝑂𝐶的度数，再由直角三角形的两个锐角互余求出∠𝑃的度数．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是连接过切点的半径构造直角三角形．
15.【答案】3
【解析】解：∵𝑃(−3,𝑚)和𝑄(1,𝑚)关于对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线𝑥=−4=∴𝑏=4，
∴𝑦=2𝑥2+4𝑥−1=2(𝑥+1)2−3， ∴抛物线顶点坐标为(−1,−3)，
将抛物线向上平移3个单位后抛物线顶点坐标为(−1,0)，此时抛物线与𝑥轴只有一个交点， 故答案为：3．
由𝑃(−3,𝑚)和𝑄(1,𝑚)可得抛物线对称轴，从而求出抛物线解析式，将抛物线解析式配方可得顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的对称性，掌握二次函数图象平移的规律．
𝑏
−3+12
=−1，
16.【答案】①②④
【解析】 【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用二次函数的性质一一判断即可． 【解答】
解：①∵二次函数𝑦=−(𝑥−𝑚)2+𝑚+1(𝑚为常数)与函数𝑦=−𝑥2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数𝑦=−𝑥2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数𝑦=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2+1中，令𝑥=0，则𝑦=−𝑚2+𝑚2+1=1，
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∴该函数的图象一定经过点(0,1)，故结论②正确； ③∵𝑦=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥=𝑚，当𝑥>𝑚时，𝑦随𝑥的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当𝑥=𝑚时，函数𝑦有最大值𝑚2+1， ∴该函数的图象的顶点在函数𝑦=𝑥2+1的图象上．故结论④正确， 故答案为①②④．
17.【答案】解：(2𝑥−1)2=−3(2𝑥−1)，
(2𝑥−1)2+3(2𝑥−1)=0， (2𝑥−1)[(2𝑥−1)+3]=0， 2𝑥−1=0或2𝑥+2=0 所以𝑥1=2，𝑥2=−1．
1
【解析】先变形得到(2𝑥−1)2+3(2𝑥−1)=0，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18.【答案】10 0.16 2
【解析】解：(1)总人数=12÷0.24=50(人)， 𝑎=50×0.2=10，𝑏=50=0.16， 故答案为：10，0.16；
(2)根据(1)补全条形统计图如下：
81
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(3)根据题意画出树状图如下：
由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点𝐷(合理竞争，合作双赢)的概率有6种， 所以选中观点𝐷(合理竞争，合作双赢)的概率是：12=2； 故答案为：2．
(1)由𝐵观点的人数和所占的频率即可求出总人数，再由总人数即可求出𝑎、𝑏的值； (2)由(1)中的数据即可将条形统计图补充完整； (3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
6
1
19.【答案】134.5 1.8
【解析】解：(1)把二班的数据从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数， 则中位数𝑎=
1
134+135
2
=134.5；
方差𝑏=10×[(133−135)2+4×(134−135)2+(135−135)2+2×(136−135)2+2×(137−135)2]=1.8； 故答案为：134.5、1.8；
(2)①从众数(或中位数)来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；
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③一班成绩的方差大于二班，说明二班成绩比一班稳定． (1)根据中位数和方差的定义求解即可；
(2)从众数、中位数、平均数及方差的意义求解可得．
此题主要考查了方差以及众数、中位数、平均分，正确把握相关定义是解题关键．
20.【答案】3 第一
【解析】解：(1)∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：3； 故答案为：3；
(2)分别用𝐴，𝐵，𝐶表示第一道单选题的3个选项，𝑎，𝑏，𝑐表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得：
1
1
1
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：9；
(3)如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为8； 如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为9； ∵8>9，
∴建议小明在第一题使用“求助”； 故答案为：第一．
(1)由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)首先分别用𝐴，𝐵，𝐶表示第一道单选题的3个选项，𝑎，𝑏，𝑐表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；
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1
1
1
1
1
(3)根据概率公式分别求出第一次和第二次使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有𝑛种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件𝐴出现𝑚种结果，那么事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=𝑛．
𝑚
21.【答案】(−1,0)，(3,0) (1,4)
【解析】解：(1)把𝑦=0代入𝑦=−𝑥2+2𝑥+3得0=−𝑥2+2𝑥+3， 解得𝑥=−1或𝑥=3，
∴抛物线与𝑥轴交点坐标为(−1,0)，(3,0)． ∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4， ∴抛物线顶点坐标为(1,4)， 故答案为：(−1,0)，(3,0)；(1,4)． (2)如图，
∵抛物线顶点坐标为(1,4)，𝑦=−𝑥2，
∴该抛物线可由抛物线𝑦=−𝑥2向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到． (3)∵抛物线与𝑥轴交点坐标为(−1,0)，(3,0)且开口向下， ∴当−1<𝑥<3时，该函数图象在𝑥轴上方． (4)∵抛物线对称轴为直线𝑥=1， ∴𝑥≥1时，𝑦随𝑥增大而减小．
(1)把𝑦=0代入抛物线解析式可求抛物线与𝑥轴交点坐标，将抛物线化为顶点式可得抛物线顶点坐标．
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(2)分别求出抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3与𝑦=−𝑥2顶点坐标，从而求解． (3)由抛物线开口方向与抛物线与𝑥轴交点坐标求解． (4)根据抛物线开口方向及对称轴求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22.【答案】解：(1)如图，⊙𝑂即为所求；
(2)连接𝑂𝐵，由(1)知：∠𝐸𝑀𝐶=90°，𝑂𝑁⊥𝐵𝐸，𝐵𝑀=2𝐵𝐶=6， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形， ∴∠𝐴=∠𝐴𝐵𝑀=90°，
∴∠𝐸𝑀𝐵=∠𝐴=∠𝐴𝐵𝑀=90°， ∴四边形𝐴𝐵𝑀𝐸是矩形， ∴𝐸𝑀=𝐴𝐵=8，
设半径为𝑅，则𝑂𝐵=𝑂𝐸=𝑅，𝑂𝑀=8−𝑅， 在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑀中，根据勾股定理，得 𝐵𝑀2+𝑂𝑀2=𝑂𝐵2， ∴(8−𝑅)2+62=𝑅2， 解得𝑅=
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1
．
(1)作𝐵𝐶的垂直平分线交𝐴𝐷于点𝐸，【解析】连接𝐵𝐸，作𝐵𝐸的垂直平分线交𝐸𝑀于点𝑂即可；
(2)结合(1)根据矩形的性质可以证明四边形𝐴𝐵𝑀𝐸是矩形，可得𝐸𝑀=𝐴𝐵=8，设半径为𝑅，则𝑂𝐵=𝑂𝐸=𝑅，𝑂𝑀=8−𝑅，根据勾股定理可得𝑅的长．
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本题考查了作图−复杂作图，矩形的性质，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
23.【答案】(1)证明：连接𝑂𝐸，𝑂𝐹，过点𝑂作𝑂𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，
∵𝐵𝐶与⊙𝑂相切于点𝐹， ∴𝑂𝐹⊥𝐵𝐶，
∵𝐵𝑂是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，
∴𝑂𝐷=𝑂𝐹，𝑂𝐷是圆的一条半径， ∴𝐴𝐵是⊙𝑂的切线；
(2)∵𝐵𝐶、𝐴𝐶与圆分别相切于点𝐹、点𝐸， ∴𝑂𝐹⊥𝐵𝐶，𝑂𝐸⊥𝐴𝐶， ∴四边形𝑂𝐸𝐶𝐹是正方形，
∴𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝐸𝐶=𝐹𝐶=𝑂𝐷=2，∠𝐸𝑂𝐹=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=5， ∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√122+52=13， ∵⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的内切圆，
∴∠𝐸𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐴，∠𝐹𝑂𝐵=∠𝐷𝑂𝐵， ∴∠𝐴𝑂𝐵=(360°−90°)=135°，
21
∴𝑆阴影=𝑆△𝐴𝑂𝐵−𝑆扇形 =×13×2−
21
135𝜋×22
360
=13−
3𝜋2
．
3𝜋2
故图中阴影部分的面积是：13−．
【解析】(1)连接𝑂𝐸，𝑂𝐹，过点𝑂作𝑂𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，证明𝑂𝐷=𝑂𝐹，即可得结论； (2)将不规则图形转化为规则图形间的换算．
本题考查了圆切线的判定以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转
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化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系．解决本题的关键是有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径．
24.【答案】解：设长方形镜子的宽为𝑥 𝑚，则长为2𝑥 𝑚，
依题意：120×2𝑥2+30×2(𝑥+2𝑥)+0=210 整理得：8𝑥2+6𝑥−5=0 解得：𝑥1=−1.25(舍去)，𝑥2=0.5， 所以，2𝑥=1．
答：这面镜子的长1米，宽0.5米．
【解析】按照长、宽比设未知数，用：镜面玻璃费用+边框费用+加工费=共花费210元，建立方程，再解方程即可．
考查了一元二次方程的应用，列方程时，应考虑有三个方面的花费．要根据未知数的实际意义进行取舍．
25.【答案】30 5
【解析】(1)证明：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷，𝐶𝐸是两条高， ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=90°，
设点𝑂为𝐵𝐶的中点，连接𝑂𝐷、𝑂𝐸，
∴𝑂𝐸=𝐵𝐶，𝑂𝐷=𝐵𝐶，𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝐵𝐶，
2
2
2
1
1
1
∴𝑂𝐸=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐷，
∴𝐵，𝐶，𝐷，𝐸四个点在以点𝑂为圆心的同一个圆上． (2)解：∵∠𝐵𝐷𝐸=45°，∠𝐷𝐸𝐶=15°，
∴∠𝐵𝑂𝐸=2∠𝐵𝐷𝐸=90°∠𝐷𝑂𝐶=2∠𝐷𝐸𝐶=30°， ∴∠𝐷𝑂𝐸=90°−30°=60°， ∴∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐷𝑂𝐸=30°；
∵∠𝐵𝑂𝐸=90°，𝑂𝐵=𝑂𝐸，𝐵𝐸=5√2， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐸=5，
∵𝑂𝐸=𝑂𝐷，∠𝐸𝑂𝐷=60°， ∴△𝐸𝑂𝐷是等边三角形，
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1
∴𝐷𝐸=𝑂𝐸=5， 故答案为：30，5．
(1)求出∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出𝑂𝐸=𝑂𝐷=𝑂𝐵=𝑂𝐶，即可得出答案．
(2)根据圆周角定理得出∠𝐵𝑂𝐸=2∠𝐵𝐷𝐸=90°∠𝐷𝑂𝐶=2∠𝐷𝐸𝐶=30°，即可得出∠𝐷𝑂𝐸=90°−30°=60°，进一步得出∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐷𝑂𝐸=30°，△𝐷𝑂𝐸是等边三角形，根据勾股定理求得𝑂𝐵=𝑂𝐸=5，即可得出𝐷𝐸=5．
本题考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，等边三角形的判断和性质，勾股定理的等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
1
26.【答案】解：(1)如图，连接𝑂𝐷，
∵𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐷𝐴=∠𝑂𝐴𝐷， ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶， ∴∠𝑂𝐷𝐴=∠𝐷𝐴𝐶， ∴𝑂𝐷//𝐴𝐶， ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐷=90°，
∴∠𝑂𝐷𝐸=180°−∠𝐴𝐸𝐷=90°， ∵𝐷𝐸经过半径𝑂𝐷的端点𝐷，且𝐷𝐸⊥𝑂𝐷， ∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线． (2)如图，连接𝐶𝐷、𝐵𝐷，
∵∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐷=180°，∠𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=180°， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐵， ∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐵， ∴△𝐷𝐸𝐶∽△𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸， ∵∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐷𝐸𝐴， ∴△𝐶𝐷𝐸∽△𝐷𝐴𝐸，
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∴𝐷𝐸=𝐴𝐸，
∵𝐴𝐶=6，𝐷𝐸=4， ∴
𝐶𝐸4
𝐶𝐸𝐷𝐸
=
46+𝐶𝐸
，
解得𝐶𝐸=2或𝐶𝐸=−8(不符合题意，舍去)， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐶+𝐶𝐸=6+2=8，
∴𝐴𝐷=√82+42=4√5，𝐷𝐶=√22+42=2√5， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷， ∴
2√5𝐴𝐵𝐷𝐶
𝐷𝐸
=
44√5，
解得𝐴𝐵=10， ∴𝑂𝐴=2𝐴𝐵=5， ∴⊙𝑂的半径为5．
1
【解析】(1)连接𝑂𝐷，证明𝑂𝐷//𝐴𝐶，则∠𝑂𝐷𝐸=180°−∠𝐴𝐸𝐷=90°，根据切线的判定定理可证明𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；
(2)连接𝐶𝐷、𝐵𝐷，证明△𝐷𝐸𝐶∽△𝐴𝐷𝐵，△𝐶𝐷𝐸∽△𝐷𝐴𝐸，根据相似三角形的对应边成比例和勾股定理可求出𝐴𝐵的长，进而求出⊙𝑂的半径长．
此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
27.【答案】解：(1)连接𝑂𝐷，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，如图，
∵𝐵𝐶为直径，𝐵𝐶=6， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷=3． ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐷=90°， ∴∠𝐶=90°． ∵⊙𝑂与𝐴𝐷边相切，
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∴𝑂𝐸⊥𝐴𝐷．
∴四边形𝑂𝐶𝐷𝐸为矩形． ∴𝐶𝐷=𝑂𝐸=3． ∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐶，
∴四边形𝐴𝐹𝐶𝐷为矩形． ∴𝐴𝐹=𝐶𝐷=3． 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中， ∵𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐴𝐵， ∴𝐴𝐵=𝑠𝑖𝑛60∘=2√3． ∴𝑚=2√3．
(2)当点𝐴在⊙𝑂上时，连接𝑂𝐴，如图，
3𝐴𝐹
∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，∠𝐵=60°， ∴△𝑂𝐴𝐵为等边三角形． ∴𝑚=𝐴𝐵=𝑂𝐵=𝐵𝐶=3．
2
∴当𝑚≥3时，𝐴𝐵边与圆有一个公共点(点𝐵除外)．
当0<𝑚<3时，𝐴𝐵边与圆没有公共点(除𝐵外)，𝐴𝐷边与圆有一个公共点． 由(1)知：当𝑚=2√3时，𝐴𝐷边与圆相切， ∴当𝑚=2√3时，𝐴𝐷边与圆有一个公共点(除𝐵外)．
当𝑚>2√3时，𝐴𝐷边与圆没有公共点，𝐴𝐵边与与圆有一个公共点(处𝐵外) ∴当3<𝑚<2√3时，𝐴𝐵，𝐴𝐷边与圆有三个公共点(除𝐵外)．
综上，当0<𝑚<3或𝑚>2√3𝑠时，⊙𝑂与边𝐴𝐵、𝐴𝐷除点𝐵外的公共点总个数为1个； 当𝑚=3或𝑚=2√3时，⊙𝑂与边𝐴𝐵、𝐴𝐷除点𝐵外的公共点总个数为2个； 当3<𝑚<2√3时，⊙𝑂与边𝐴𝐵、𝐴𝐷除点𝐵外的公共点总个数为3个．
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【解析】(1)连接𝑂𝐷，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，通过说明四边形𝑂𝐶𝐷𝐸，𝐴𝐹𝐶𝐷是矩形得到𝐴𝐹=3，解直角三角形即可求得结论；
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(2)当点𝐴在⊙𝑂上时，连接𝑂𝐴，求得此时𝑚的值，利用(1)中结论可知𝐴𝐷与圆相切时的𝑚的值，依次讨论当𝐴𝐷，𝐴𝐵与圆相交，相切，相离时公共点的个数，从而得出结论． 本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，直角梯形，矩形的判定与性质，连接𝑂𝐷，𝑂𝐴是解题的关键．
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