高一数学 函数的基本性质

函数的基本性质

一、知识梳理

1.奇偶性

（1）定义：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且f(x)＝－f(x)，那么这个函数叫做奇函数.

设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且g(x)＝g(x)，那么这个函数叫做偶函数.

（2）如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则

f(x)既是奇函数，又是偶函数.

函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.

（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.

（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y轴对称.

（5）奇偶函数的运算性质：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：

若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则f(x)f(x2a)； 若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称，则f(x)f(x2a). 2.单调性

（1）定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间；

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间.

（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.

第 1 页 共 13 页

（3）设复合函数yf(g(x))，其中ug(x)，A是yf(g(x))定义域的某个区间，B是映射g :x→ug(x) 的象集.

①若ug(x)在 A上是增（或减）函数，yf(u)在B上也是增（或减）函数，则函数yf(g(x))在A上是增函数；

②若ug(x)在A上是增（或减）函数，而yf(u)在B上是减（或增）函数，则函数yf(g(x))在A上是减函数.

（4）奇偶函数的单调性

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内：

增函数f(x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)增函数g(x)是减函数. 3.最值

（1）定义：

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；②存在x0∈I，使得f(x0)＝m，那么，称m是函数y＝f(x)的最小值.

（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M（m）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥m）.

二、方法归纳

1.利用定义判断函数奇偶性的方法

（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定f(x)与f(x)的关系； （3）作出相应结论：

若f(x)＝f(x)或f(x)－f(x)＝ 0，则f(x)是偶函数； 若f(x)＝－f(x)或f(x)＋f(x)＝ 0，则f(x)是奇函数.

第 2 页 共 13 页

2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤

（1）任取x1，x2∈D，且x1＜x2； （2）作差yf(x1)f(x2)； （3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差yf(x1)f(x2)的正负）；

（5）下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）. 3.求函数最大（小）值的 一般方法

（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值. （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；

三、典型例题精讲

【例1】判断下列函数的奇偶性.

1xlg(1x2)（1）f(x)(x1)； （2）f(x).

1xx22错解分析：（1）∵f(x)(x1)1x1x(x1)(1x)x21. (x1)21x1x显然有f(x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.

lg(1x2)lg(1x2)（2）∵f(x)，于是f(x)≠f(x)且f(x)≠－f(x). x22x22∴f(x)为非奇非偶函数.

解析：（1）∵f(x)的定义域为

1x≥０，即－1≤x＜1. 1x定义域不是关于原点对称的数集，∴f(x)为非奇非偶函数. （2）∵f(x)的定义域为1x20且

x22≠０，即－1＜x＜1且x≠0，此时x20.

lg(1x2)lg(1x2)∴f(x)，∴f(x)为奇函数. x22x技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.

第 3 页 共 13 页

x2x(x0)1x2（1）f(x)； （2）f(x)； 2x55xx(x0)（3）f(x)3x2x23.

21x2解析：（1）∵ 1x≥0，即－1≤x≤1.此时x55x，∴f(x)，为奇函数.

x（2）当x＞0，－x＜0时，

22f(x)＝x2x，f(x)＝(x)(x)xx，f(x)＝－f(x)；

当x＜0，－x＞0时，

22f(x)＝x2x，f(x)＝(x)(x)xx，f(x)＝－f(x)；

∴ f(x)为奇函数. （3）∵f(x)3x2x23的定义域为x|x3.

此时函数化为f(x)＝0，x|x3. ∴ f(x)既是奇函数又是偶函数.

16x12x【例2】讨论函数f(x)的奇偶性. x2解析：函数定义域为R，

16x12x1x211又f(x)xx216

116x16x12x1f(x). ＝2xx42x∴f(x)为偶函数.

技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.

16x1如本题亦可先化简：f(x)14x4x1，显然f(x)为偶函数. x2从这可以看出，化简后再解决要容易得多.

又例：证明函数f(x)1og2(x21x)为奇函数.

解析：∵f(x)＋f(x)＝1og2(x21x)＋1og2(x21x)

第 4 页 共 13 页

＝1og2[(x21x)(x21x)]＝1og21＝0

∴f(x)为奇函数.

a2x2再例：讨论函数f(x) （a≠0）的奇偶性.

|xa|a解析：∵ x2≤a2，∴ 要分a＞0与a＜0两类讨论.

（i）当a＞0时，由axa，函数的定义域为 [a,0)(0,a]，

|xa|aa2x2∵xa≥0， ∴f(x)，f(x)为奇函数；

x（ii）当a＜0时，由axa，函数的定义域为a,0|xa|a0,a，

a2x2∵xa≤0， ∴f(x)，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

x2a【例3】求函数ylog0.7(x23x2)的单调区间.

错解分析：设t(x)x3x2(x)23221， 432∴(,)为函数t(x)的单调递减区间；(,)为函数t(x)的单调递增区间. 又ylog0.7(x23x2)log0.7t为t的减函数， ∴(,)为函数ylog0.7(x23x2)的单调递增区间；

32323(,)为函数ylog0.7(x23x2)的单调递减区间. 2解析：设t(x)x3x2， 由x23x20得函数的定义域为(,1)(2,)，

区间(,1)和(2,)分别为函数t(x)x3x2的单调递减区间和单调递增区间. 又ylog0.7t，根据复合函数的单调性的规则，

得区间(,1)和(2,)分别为函数ylog0.7t的单调递增区间和单调递减区间.

22第 5 页 共 13 页

技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.

又例：设函数f(x)＝调性.

解析：在定义域内任取x1＜x2，

∴f(x1)f(x2)＝

xa（a＞b＞0），求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单xbx1ax2a(ba)(x1x2)， x1bx2b(x1b)(x2b)∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，

只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调. 当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f(x1)f(x2)＞0.

∴（－b，＋∞）和（－∞，－b）都是函数f(x)的单调减函数区间.

exa是R上的偶函数. 【例4】设a0，f(x)aex（1） 求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上为增函数.

1exax. 解析：（1）依题意，对一切xR，有f(x)f(x)，即xaeaeaex∴(a)(e1ax1)0 对一切xR成立， ex则a10，即a1.∵a0，∴a1. axx（2）设0x1x2，则f(x1)f(x2)e1e211 x1x2eex2x1(ee)(x2x11ex1x21)e(ex11ex2x11)x2x1，

e由x10,x20,x2x10，得x1x20,ex2x110，1ex2x10， ∴f(x1)f(x2)0，

即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0,)上为增函数.

第 6 页 共 13 页

技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.

又例：已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,)上为减函数，若f(a2a2)f(2a1)，求实数a的取值范围.

解析：f(x)是R上的偶函数且在[0,)上为减函数.

∴由f(a2a2)f(2a1)，有|a2a2||2a1|，

a2a20即2，解得a≤－1或a≥2. 2aa2(2a1)再例：二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x，恒有f(2x)＝f(2x)，若f(12x)＜f(12xx)，则x的取值范围是_________.

解析：由二次函数f(x)的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，

由f(2x)＝f(2x)，知x＝2为对称轴， 于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小. ∴12x2212xx22

22即2x1(x1),2x1(x1)

2222∴－2＜x＜0.

【例5】已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)＞0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋讨论F(x)的单调性，并证明你的结论.

解析：在R上任取x1 、x2，设x1＜x2，∴f(x1)＜f(x2)，

1，f(x)F(x2)F(x1)[f(x2)[f(x2)f(x1)][111][f(x1)]f(x2)f(x1)1],f(x1)f(x2)

∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，

∴当x＜5时0＜f(x)＜1，而当x＞5时f(x)＞1；

① 若x1＜x2＜5，则0＜f(x1)＜f(x2)＜1，∴0＜f(x1)f(x2)＜1，

第 7 页 共 13 页

∴11＜0，∴F(x2)＜F(x1) ；

f(x1)f(x2)② 若x2＞x1＞5，则f(x2)＞f(x1)＞1 ，∴f(x1)f(x2)＞1, ∴11＞0，∴F(x2)＞F(x1). f(x1)f(x2)综上，F(x)在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.

技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.

又例：已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足：

（1）f(x1x2)f(x1)f(x2)1；

f(x2)f(x1)（2）存在正常数a，使f(a)＝1.

求证：（Ⅰ）f(x)是奇函数；（Ⅱ）f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a. 解析：（Ⅰ）设tx1x2，则

f(t)f(x2x1)f(x2)f(x1)1f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)1f(x1x2)f(x2)f(x1)f(t)所以函数f(x)是奇函数.

（Ⅱ）令x12a，x2a，则f(a)f(2a)f(a)1f(a)f(2a)

即1f(2a)1，解得：f(2a)＝0.

1f(2a)f(x)f(2a)1f(x)[f(2a)]11.

f(2a)f(x)f(2a)f(x)f(x)于是有 f(x2a)第 8 页 共 13 页

所以f(x4a)1f(x2a)1f(x). 1f(x)因此，函数f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.

【例6】设函数f(x)＝x是 .

1.对任意x[1,)，有f(mx)mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围x解析：方法一 ：显然m≠0，由于函数f(x)＝x1在x[1,)上是增函数， x则当m＞0时，f(mx)mf(x)0不恒成立，因此m＜0.

当m＜0时，函数h(x)f(mx)mf(x)在x[1,)上是减函数， 因此，当x1时，h(x)取得最大值h(1)m1， m故h(x)f(mx)mf(x)0恒成立等价于h(x)在x[1,)上的最大值小于零，

11m00，解即h(1)m，得m＜－1. mmm0于是实数m的取值范围是(,1).

方法二 ：显然m≠0，由于函数f(x)＝x1在x[1,)上是增函数， x则当m＞0时，f(mx)mf(x)0不恒成立，因此m＜0.

1m2m2x21m2mx＝若f(mx)mf(x)mx＜0恒成立， mxxmx因为x[1,)，m＜0，则需2m2x21m2＞0恒成立， 设函数g(x)2mx1m，则g(x)在x[1,)时为增函数，

2于是x1时，g(x)取得最小值g(1)m1.

222m210解 ，得m＜－1.

m0于是实数m的取值范围是(,1).

第 9 页 共 13 页

方法三 ：显然m≠0，由于函数f(x)＝x1在x[1,)上是增函数， x则当m＞0时，f(mx)mf(x)0不恒成立，因此m＜0. 因为对任意x[1,)，f(mx)mf(x)0恒成立， 所以对x1，不等式f(mx)mf(x)0也成立，

于是f(m)mf(1)0，即m10， m1m0解 ，得m＜－1. mm0于是实数m的取值范围是(,1).

技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数f(x)＝x1在(,0)和(0,)上都是增函数.在(,1)和(0,1)上小于零；在x(1,0)和(1,)上大于零.

又例：已知函数f(x)＝x2a(x0,aR)， x（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在区间[2,)是增函数，求实数a的取值范围。

2解析：（1）当a0时，f(x)x为偶函数；

当a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数. （2）设x2x12，f(x1)f(x2)x12xxaa212[x1x2(x1x2)a] x2x1x2x1x2由x2x12，得x1x2(x1x2)16， 又x1x20，x1x20，

要使f(x)在区间[2,)上是增函数，只需f(x1)f(x2)0. 即x1x2(x1x2)a0恒成立， ∴解得a16.

第 10 页 共 13 页

四、课后训练

1.若函数f(x)x为奇函数，则a＝（ ）

(2x1)(xa)B.

A.

1 22 3C.

3 4D.1

2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A.f(x)＋|g(x)|是偶函数 B.f(x)－|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|＋g(x)是偶函数 D.|f(x)|－g(x)是奇函数 3.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)aaxx2(a0，且a1)，若

g(2)a，则f2（ ）

A. 2 B.

1517 C. D.a2 444.函数f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)得图象如图所示，那么不等式f(x)0的解集是（ ）

A.(1,3)∪(1,0) B.(1,0)∪(0,1) C.(1,3)∪(3,1) D.(3,1)∪(0,1)

y o 1 3 x

25.已知f(x)在R上是奇函数，且f(x4)f(x),当x(0,2)时，f(x)2x，则f(7)（ ） A.－2 B.2 C.－98 D.98

6.已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则（ ） A.f(6)＞f(7) B.f(6)＞f(9) C.f(7)＞f(9) D.f(7)＞f(10)

a(2x1)27.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于 . x218.已知f(x)xaxbx8且f(2)10，那么f(2)______. 9.函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是__________

第 11 页 共 13 页

53

10.判断函数g(x)

xx的奇偶性. x21211.函数f(x)的定义域为D：{x|x0}，且满足对于任意x1,x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2). （Ⅰ）求f(1)的值；

（Ⅱ）判断f(x)的奇偶性并证明；

（Ⅲ）如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0,)上是增函数，求x的取值范围.

五、参考答案

1.答案：A 2.答案：A 3.答案：B

解析：由条件f2g2aa222，f2g2a2a22，

即f2g2a2a22，由此解得g22，f2a2a2，

22所以a2，f2224.答案： D 5.答案：A 6.答案：D

15，所以选B. 4解析：由函数yf(x8)为偶函数知yf(x)的图像关于直线x8对称，又函数f(x)在(8,)上为减函数知yf(x)在(,8)上是增函数，由而可以比较大小. 7.答案：1

第 12 页 共 13 页

解析：∵f(x)＝a2为奇函数，∴f(0)＝0，故a＝1. x128.答案：－26

9.答案：(1,) 210.解析：由x0，知x0，

xxxx(2x1)x因为 g(x)g(x)xxxxx0， x22212121所以g(x)是偶函数.

11.解析：（Ⅰ）令x1x21,有f(11)f(1)f(1)，f(1)0.

（Ⅱ）令x1x21,有f[(1)(1)]f(1)f(1),解得f(1)0

令x11,x2x有f(x)f(1)f(x),f(x)f(x).∴f(x)为偶函数. （Ⅲ）f(44)f(4)f(4)2,f(164)f(16)f(4)3.

∴ f(3x1)f(2x6)3即f[(3x1)(2x6)]f(64) （1） ∵f(x)在(0,)上是增函数，

∴（1）等价于不等式组：(3x1)(2x6)0,(3x1)(2x6)0, 或(3x1)(2x6)64,(3x1)(2x6)64.1x3或x,13x3,解得 或37x5,xR3∴3x5或711x或x3. 333711x或x3或3x5}. 333∴x的取值范围为{x|第 13 页 共 13 页