量子物理习题解答

习题17—1 用频率为1的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为Ek1；用频率为2的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为Ek2。那么［ ］

(A) 1一定大于2。 (B) 1一定小于2。

(C) 1一定等于2。 (D) 1可能大于也可能小于2。 解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为 EkhA

由此式可以看出，Ek不仅与入射光的频率有关，而且与金属的逸出功A有关，因此我们无法判断题给的两种情况下光电子的最大初动能谁大谁小，从而也就无法判断两种情况下入射光的频率的大小关系，所以应该选择答案(D)。

习题17—2 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n=5的轨道上的角动量与在第一激发态的角动量之比为［ ］

(A) 5/2。 (B) 5/3。 (C) 5/4。 (D) 5。 解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的轨道上角动量满足

Ln n=1，2，3„„

所以L与量子数n成正比。又因为“第一激发态”相应的量子数为n=2，因此应该选择答案(A)。

习题17—3 根据玻尔的理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为［ ］

(A) 5/9。 (B) 4/9。 (C) 7/9。 (D) 2/9。 解：由巴耳末系的里德佰公式

11~1R H2n22 n=3，4，5，„„ 可知对应于最大波长max，n=3；对应于最小波长min，n=∞。因此有 max所以

11122RH2313611； min25RHRH214 RHminmax453659

最后我们选择答案(A)。

习题17—4 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n=4的轨道上运动的动能与在基

态的轨道上运动的动能之比为［ ］

(A) 1/4。 (B) 1/8。 (C) 1/16。 (D) 1/32。 解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的动能、角动量和轨道半径分别为

P2 Ek ；LrnPn ；rnn2r1

2m所以电子的动能

n2n21EkP242

rnnn2与量子数n2 成反比，因此，题给的两种情况下电子的动能之比12/42=1/16，所以

我们选择答案(C)。

习题17—5 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量与反冲电子动能Ek之比Ek为［ ］

(A) 2。 (B) 3。 (C) 4。 (D) 5。 解：由康普顿效应的能量守恒公式

h0m0c2hmc2

可得

Ekhhh 22Ekmcm0ch(0)00115 0011.21所以，应该选择答案(D)。

习题17—6 设氢原子的动能等于温度为T的热平衡状态时的平均动能，氢原子的质量为m，那么此氢原子的德布罗意波长为［ ］ (A) h3mkT。 (B) h5mkT。

(C) 3mkTh。 (D) 5mkTh。 解：依题意，氢原子的动能应为

3EkkT

2又因为氢原子的动量为

P2mEk3mkT

由德布罗意公式可得氢原子的德布罗意波长为

hh3mkT

P所以应该选择答案(A)。

习题17—7 以一定频率的单色光照射到某金属上，测出其光电流的曲线如图实线所示，然后在光强度不变的条件下增大照射光频率，测出其光电流的曲线如图虚线所示。满足题意的图是［ ］

I I I I O (A) U O (B) U O (C) U O (D) U

习题17―7图

解：根据爱因斯坦光量子假设，光强=Nh，在光强保持不变的情况下，↑ →N↓→Is(饱和光电流)↓；另一方面，↑→Ua↑，综上，应该选择答案(D)。

习题17—8 氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线用1表示，其次波长用2表示，则它们的比值12为［ ］

(A) 9/8。 (B) 16/9。 (C) 27/20。 (D) 20/27。 解：由氢原子光谱的里德伯公式，对巴耳末系有

111 2 n=3 ，4，5，„„

RH4n1对波长最大的谱线用1，n=3；对其次波长用2，n=4。因此有

1111136327 222444316520所以应该选择答案(C)。

习题17—9 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U的静电场加速后，其德布罗意波长是4×10－2nm，则U约为：［ ］

(A) 150V。 (B) 330V。 (C) 630V。 (D) 942V。 解：由动能定理得

P2eUEk

2m把此式代入德布罗意公式有

所以

hPh2meU

h2(6.631034)2U942V 231191122me29.11101.610(410)因此，应该选择答案(D)。

习题17—10 氩(Z=18)原子基态的电子组态是：［ ］

(A) 1S22S83P8 (B) 1S22S22P63d8

(C) 1S22S22P63S23P6 (D) 1S22S22P63S23P43d2

解：对(A)示组态，既违反泡利不相容原理，也违反能量最小原理，是一个不可能的组态；对(B)示组态和(D)示组态均违反能量最小原理，也都是不可能组态。因此，只有(C)示组态是正确组态。所以应该选择答案(C)。

习题17—11 在气体放电中，用能量为12.1eV的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是：［ ］

(A) 12.1eV，10.2eV和3.4eV。 (B) 12.1eV。 (C) 12.1eV，10.2eV和1.9eV。 (D) 10.2eV。

1解：∵ EEnE121E112.1eV且E1=13.6eV

n可以解得

n=3

从能级跃迁示意图可知，应该有种频率不同的光子发出，它们的能量分别为 1h1E3E112.1eV

n=3 n=2 n=1 能级跃迁图

2h2E2E1131E13.610.2eV 1242115E13.61.9eV 13632223h3E3E2所以，应该选择答案(C)。

习题17—12 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图?

(A) (C) X X

(D) (B) X X

习题17―12图

解：题给的波函数图线可以反映出粒子的“波性”，显然图(A)所反映出的“波性”是最强的，其相应的粒子位置的不确定量x是最大的。根据海森堡不确定关系xPx，这时粒子动量的不确定量Px应该是最小的，即确定粒子动量的精确度是最高的，所以应该选择答案(A)。

习题17—13 下列四组量子数：

(1) n=3，l=2，ml=0，ms=1/2 (2) n=3，l=3，ml=1，ms=1/2 (3) n=3，l=1，ml=－1，ms=－1/2 (4) n=3，l=0，ml=0，ms=－1/2 其中可以描述原子中电子状态的：

(A) 只有(1)和(3) (B) 只有(2)和(4)

(C) 只有(1)、(3)和(4) (D) 只有(2)、(3)和(4) 解：因为当主量子数n确定之后，副量子数l和磁量子数ml的取值是有限制的：l=0，1，2，„，n－1；ml=0，±1，±2，„，±l，而自旋磁量子数ms的取值则只能是1/2或－1/2。用上述限制条件检查题给的四组量子数可以发现，只有(2)违反了l取值的限制，是不可能组态外，其余三组量子数均为允许组态。因此，应该选择答案(C)。

习题17—14 在氢原子发射的巴耳末线系中有一频率为6.15×1014Hz的谱线，它是氢原子从能级En= eV跃迁到能级Ek= eV而发出的。

解：根据频率选择定则有

11hEnE222E1

2n把E1=－13.6eV=－2.176×10﹣18J，h=6.63×10﹣34 J•s，=6.15×1014Hz代入上式

可以解得n=4。 E4E113.6E113.60.85E3.4eV eV， 21644222

习题17—15 设大量氢原子处于n=4的激发态，它们跃迁时发出一簇光谱线，

n=4 n=3 这簇光谱线最多可能有 条，n=2 其中最短波长的是 m。

解：画出能级跃迁示意图，容易知n=1 道这簇光谱线最多可能有6条。其中最短波长满足

hchE4E1

题解17―15图

hc6.63103431088∴ m 9.751019E4E1[0.85(13.6)]1.610

习题17—16 分别以频率为1和2的单色光照射某一光电管。若12(均大于红限频率0)，则当两种频率的入射光的光强相同时，所产生的光电子的最大初动能E1 E2；为阻止光电子到达阳极，所加的遏止电压Ua1 Ua2；所产生的饱和光电流IS1 IS2(用>或=或<填入)。

解：根据爱因斯坦光电效应方程，光电子的最大初动能为

EkhA

因为12，所以Ek1Ek2；又因为EkeUa，有UaheAe，所以Ua1Ua2；由于光强=Nh，光强相同，大，则打到光电阴级上的光子数N就少，饱和光电流IS1就小，所以IS1IS2。

习题17—17 设描述微观粒子运动的波函数为(r,t)，则表示 。(r,t)须满足的条件是 ；其归一化条件是 。

解：表示：t时刻、在位置r附近、单位体积内发现粒子的几率；(r,t)须满足的条件是：单值、连续、有限；其归一化条件是

dxdydz1

V

习题17—18 根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外磁场方向上的投影为Lzml，当角量子数l=2时，Lz的可能取值为 。

解：因为这时磁量子数ml=0，±1，±2五种可能的取值，所以Lz的可能取值亦为五种：0，，2。

习题17—19 锂(Z=3)原子中含有三个电子，电子的量子态可用(n，l，ml，ms)四个量子数来描述，若已知其中一个电子的量子态为(1，0，0，1/2)，则其余两个电子的量子态分别为 和 。

解：在1s态还可以有一个电子，其量子态为(1，0，0，－1/2)。剩下的一个电子只能处于2s 态，其量子态应为(2，0，0，1/2)或(2，0，0，－1/2)。

习题17—20 原子内电子的量子态由n、l、ml和ms四个量子数表征。当n、l、ml一定时，不同的量子态的数目为 ；当n、l一定时，不同的量子态的数目为 ；当n一定时，不同的量子态的数目为 。

解：当n、l、ml一定时，只有自旋磁量子数ms的两种可能的取值，这时不同的量子态的数目为2；当n、l一定时，应该有磁量子数ml的0，±1，±2，„，±l的2l+1种可能取值，再加上自旋磁量子数ms的两种可能的取值，这时不同

的量子态的数目应该为2(2l+1)；当n一定时，不同的量子态的数目即为该壳层最多所能容纳的电子数，即为2n2。

习题17—21 试证：如果确定一个低速运动的粒子的位置时，其不确定量等于这粒子的德布罗意波长，则同时确定这粒子的速度时，其不确定量等于这粒子的速度(不确定关系式xPh)。

解：∵ xhP

∴ Pm0vhxPm0v ∴ vv

习题17—22 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：

n(x)2xsin (0解：粒子出现的几率密度为

n(x)把上式对x求导数并令其导数等于零得

21xsi2n aadn(x)dxsin21xx2sincos0 aaaa2x2x0， n aa1∴ xna n=1，2

2这里n≠3，4，5，„，是由于这时x>a，已超出题给范围。若取得最大值而不是最小值还须满足下式

d2n(x)dx2即要求

2da2sin2xa222x3cos0

dxaacos2x0 a这个要求限制了n的取值，使得n不能取2，因为若n=2 ，则x=a，这时上式将得不到满足。所以，n只能等于1。最后我们看到：在x=a/2处（附近）发现粒子的几率最大。

习题17—23 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为n2nx。求： sinaa(1) 粒子处于基态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的几率；

(2) 粒子处于n=2的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的几率。

解：(1) 粒子处于基态时，n=1，这时发现粒子的几率密度为1，在x─x+dx

2隔内发现粒子的几率为1dx，因此，在x=0到x=a/3之间找到粒子的几率为

2a301dx2a3022x2x12xsindxsin aa2a4a0a3213130.195 64234(2) 同理，粒子处于n=2的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的几率为

a302dx2a30222x1x14xsindxsin aaa4a0a3 113130.40 34238

习题17—24 设康普顿效应中入射的X射线的波长0.0700nm，散射的X射线与入射的X射线垂直。求：

(1) 反冲电子的动能Ek；

(2) 反冲电子运动的方向与入射的X射线之间的夹角。

解：(1) 设散射的X射线的波长为，由康普顿散射的波长差公式有

222csin2csinc0.724A 24反冲电子的动能为

11 Ekmc2m0c2hhhc

9.42107J (2) 由康普顿散射动量守恒公式

PPmv

hc P

 据此，可画出动量守恒三个矢量关系 mv 图，由此图可得如下关系 动量守恒三矢量图

mvcosP

式中角为反冲电子运动的方向与入射的X射线之间的夹角。因此，我们有

 P

cosPhmv22P2P2

h1hh0.7198 21所以 cos10.719844