考点46椭圆的概念、标准方程、几何性质

从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.

一、椭圆的定义及标准方程； 二、椭圆的几何性质；

三、高考中求椭圆的离心率问题。 【易错警示】

1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．

2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．

x2y2

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1 (m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨

mn论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便． 3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： c

(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝a求得；

(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解． 4. 辨析正误

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )

(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )

x2y2y2x2

(4)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ ) abab

椭圆的定义及标准方程

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔2＋2<1.

abx2y200

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔2＋2＝1.

abx2y200

(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔2＋2>1.

ab

(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．

(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． 【典例】

例1 (1) (教材改编)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________________．

(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．

思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义； (2)要分焦点在x轴和y轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解．

答案 (1)解 如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.

则由圆相切的性质知，|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，∴|CO1|＋|CO2|＝10， 而|O1O2|＝6，

∴点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.

∴动圆圆心的轨迹方程为x2y2

25＋16

＝1.

(2)x29＋y2

3

＝1 解析 (1)点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|＝|PN|， 又AM是圆的半径，

∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．

x2若焦点在x轴上，设方程为y2

(2)a2＋b2＝1(a>b>0)，

3202

∵椭圆过P(3,0)，∴a2＋b2＝1，即a＝3，

＝3×2b，∴b＝1，方程为x2又2a9＋y2

＝1.

若焦点在y轴上，设方程为y2x2

a2＋b2＝1(a>b>0)．

0232

∵椭圆过点P(3,0)．∴a2＋b2＝1，即b＝3.

又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为y2x2

81＋9＝1.

x29y2＝1或y2x2

∴所求椭圆的方程为＋81＋9＝1.

(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． ∵椭圆经过点P1、P2，∴点P1、P2的坐标适合椭圆方程．

则6m＋n＝1， ①



3m＋2n＝1， ②

m＝19，①、②两式联立，解得n＝1

3.

x2y2

∴所求椭圆方程为＋＝1.

93

椭圆的几何性质

标准 方程 x2＋＝1 (a>b>0) a2b2y2y2a2＋2＝1 (a>b>0) bx2

图形 范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率 a，b，c的关系 【易错警示】

1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．

c2＝a2－b2 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a

对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝a∈(0,1) x2y2

2．注意椭圆的范围，在设椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有

ab关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因. 【典例】

→→

例2 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小值是( )

A．0 B．1 C．2 D．22

x2y2

(2)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，

ab4

BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.

55

答案 (1)C (2)

7

→

解析 (1)设P(x0，y0)，则PF1＝(－1－x0，－y0)， →→→

PF2＝(1－x0，－y0)，∴PF1＋PF2＝(－2x0，－2y0)， →→2222∴|PF1＋PF2|＝4x20＋4y0＝22－2y0＋y0＝2－y0＋2. ∵点P在椭圆上，∴0≤y20≤1，

→→2＝1时，|PF∴当y01＋PF2|取最小值2.故选C.

4(2)如图，在△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，且cos∠ABF＝，

5设|BF|＝m， 由余弦定理，得 4

62＝102＋m2－20m·，

5∴m2－16m＋64＝0，∴m＝8.

1

因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝|AB|＝5.

2设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′， 由对称性，得|BF′|＝|AF|＝6， ∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14.

x2y21于A,B两点， F1为椭圆的左焦点，当 ABF1周长最大5．过点M0,1的直线l交椭圆C：43时，直线l的方程为 ． 【答案】xy10

【解析】设右焦点为F2(1,0)，则AF14AF2，BF14BF2，所以AF1BF1AB

8AB(AF2BF2)，显然AF2BF2AB，当且仅当A,B,F2共线时等号成立．所以当直线l过点F2时，ABF1的周长取最大值8，此时直线方程为yx1，即xy10．

高考中求椭圆的离心率问题

【知识拓展】

离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法. 【典例】

x2y21

例3 (1)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB

2ab的中点，则椭圆C的离心率等于________．

x2y2a

(2)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝absin∠PF1F2c

，则椭圆的离心率的取值范围为______．

sin∠PF2F1

思维点拨 (1)利用点差法得出关于a，b的方程． (2)由正弦定理将已知等式转化为|PF1|、|PF2|的等量关系．

解析



(1)设A(x，y)，B(x，y)，则xy

a＋b＝1，

1

1

2

2

222

222

x2y211

＋2＝1，2

ab

∴

x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2

＋＝0，

a2b2

y1－y2b2x1＋x2

∴＝－2·. ay1＋y2x1－x2∵

y1－y21＝－，

2x1－x2

x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， b21

∴－2＝－，

a2

∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，

c2∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴a＝.

2(2)依题意及正弦定理， 得即∴

|PF2|a

＝(注意到P不与F1F2共线)， |PF1|c|PF2|a

＝c，

2a－|PF2|

2ac2ac2a

－1＝a，∴＝a＋1>， |PF2||PF2|a＋c

2

即e＋1>，∴(e＋1)2>2.

1＋e又02

(2)(2－1,1) 2

3．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当F1PF230时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（ ） A．743 B．23 C．31 D．423 【答案】B

x2y2x2y2212122ab1b【解析】由题意设椭圆方程为a，双曲线方程为1，且cc1.

cc1()aa1224c4a(23)PFFPF301PF212，由，由余弦定理得：椭圆中，

22b(743)b1，可得，代入（），

由题意

双曲线中：

4c24a12(23)PF1PF2c4a12a2(c2b12)a2(843)c2a2(743)a4，

422e(843)e(743)0e即，得743，即e23，故选B.