基于动态轮廓模型的微分域网格变形

JournalofZhejiangUniversity(EngineeringScience)

浙󰀁江󰀁大󰀁学󰀁学󰀁报(工学版)

Vol.42No.12Dec.2008

DOI:10.3785/j.issn.1008󰀁973X.2008.12.009

基于动态轮廓模型的微分域网格变形

许秋儿,叶修梓,张三元,张󰀁引

(浙江大学计算机科学与技术学院,浙江杭州310027)

摘󰀁要:提出了一种在线性空间中近似保持几何特征、骨架和体积特征的微分域网格变形技术,即基于动态轮廓模型的微分域网格变形.动态轮廓模型概括了网格的能量形式,通过保持它的不变性,从而达到骨架和体积的近似不变.由于动态轮廓模型是通过线性计算获得的,跟网格微分域方法融合后是一个线性的能量最小问题,从而达到用户操作的实时性.通过例子证明,基于动态轮廓模型的微分域网格变形技术能够很好地保持网格的几何特征、骨架

和体积特征,且能做到实时交互.

关键词:网格变形;几何特征保持;骨架和体积保持;动态轮廓模型;线性计算

中图分类号:TP391󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁文献标识码:A󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁文章编号:1008󰀁973X(2008)12󰀁2086󰀁06

Activecontourmodelbasedgradientdomainmeshdeformation

XUQiu󰀁er,YEXiu󰀁zi,ZHANGSan󰀁yuan,ZHANGYin

(CikkegeofComputerScienceandTechnology,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

Abstract:Alinearalgorithmapproximatelypreservingthegeometricdetails,skeletonandvolumecharacteristicsonmeshdeformation,i.e.activecontourmodelbasedgradientdomainmeshdeformation,wasintroduced.Theactivecontourmodelmaintainskeycontoursofthemesh,sothattheskeletonandvolumecharacteristicsaretobeapproximatelypreservedbypreservingtheactivecontourmodelofthemesh.Theactivecontourmodelisalinearconstraint,sothemaincomputationinvolvedinthedeformationisasolutionofalinearenergyminimizationprob󰀁lem.Avarietyofexamplesdemonstratedthatthedeformationoperationbasedontheproposedalgorithmisgeo󰀁metricdetails,skeletonandvolumepreservedandreal󰀁timeinteractive.

Keywords:meshdeformation;geometricdetailspreservation;skeletonandvolumepreservation;activecontourmodel;linearcomputation

󰀁󰀁随着三维图形设备的不断发展,越来越多的三维数据从现实世界或虚拟世界中获得,而且数据量越来越大.交互式的网格变形技术正随着三维数据的海量增长,成为图形学中越来越重要的研究领域.

在20世纪80年代,网格变形的主要技术是自由变形技术(free󰀁formdeformation),这些技术在当前的一些商业软件中被广泛应用.自由变形技术可以分为3大类,分别是基于控制网格(lattice)的方[1󰀁3][4󰀁5]法、基于曲线(curve)的方法和基于控制点(point)的方法[6󰀁7].自由变形技术具有算法简单、变

收稿日期:2007󰀁07󰀁12.

形过程几何直观性强的优点.但是,由于是逐顶点的

操作,对于局部细节丰富的模型,需要大量的人工调整.Zorin等人[8󰀁10]提出了多分辨率的网格编辑技术,这种多分辨技术克服了自由变形技术在局部细节编辑上的弱点,支持整体控制和局部细节编辑.然而,其缺点是需要构造几何模型的累进表示,或者由于需要进行半规整重采样而受到限制.Alexa等人[11󰀁20]提出了利用微分域的网格编辑方法,在保持了局部细节特征的同时,无须对原网格进行分解,直接地操作原始网格进行变形.这类方法的核心思想

浙江大学学报(工学版)网址:www.journals.zju.edu.cn/eng

基金项目:国家󰀂863 高技术研究发展计划资助项目(2007AA012311,2007AA0421A5);教育部博士点基金资助项目(2006033514).作者简介:许秋儿(1972-),男,浙江宁波人,博士生,主要从事计算机图形学方面的研究.E󰀁mail:fallsonxu@gmail.com

通讯联系人:张三元,男,教授,博导.E󰀁mail:zhangsy@zju.edu.cn

第12期

许秋儿,等:基于动态轮廓模型的微分域网格变形

网格上的Laplacian坐标:

󰀁i=l(vi)=

j#N(i)

2087

是把变形的过程作为一个解决能量方程最小问题,但通常能量方程中会包括微分坐标的非线性变换.按照计算此非线性变换的复杂度来分类,可以分成以下两类:基于微分坐标线性网格重建的变形和基于微分坐标非线性网格重建的变形.前者的特点是网格重建是线性的,在保持网格局部几何特征的同时,又能够达到实时交互.Sorkine等人将非线性变换通过近似的线性变换来解决;Lipman等人[12]采用启发式的网格重建方法;Yu等人[15]采用了将局部坐标扩散到全局的方法,然而,因为骨架和体积特征是非线性的约束,这类方法对于骨架和体积特征不能进行有效保持,变形的结果中会出现骨架和体积的明显变化,比如收缩等,严重影响变形效果.后者的特点是既能够利用微分坐标保持网格的局部几何特征,又能够精确保持骨架或体积特征.Shef󰀁fer等人提出了一种金字塔坐标的方法,它是基于顶点拓扑关系中的角度和边长的一种坐标形式,能保持微分坐标的旋转不变.Huang等人[20]提出了一种基于子空间(subspace)梯度域算子的变形算法,将体积、骨架、屏幕投影众多约束条件加入到变形控制中去.利用子空间的技术简化迭代的次数及增加收敛的稳定.然而,此类方法都采用非线性的迭代计算,存在着变形速度慢、收敛条件差等缺点,不能满足实时交互的需求.

结合以上两类方法的优点,在本文中提出了一种既能最大限度保持网格特征又能达到线性计算要求的算法,利用线性的动态轮廓模型来进行近似保持骨架和体积特征的微分域网格变形.动态轮廓模型[21]自提出以来,在计算机视觉及图像领域得到广泛的应用,比如运动捕获和图像分割等.在视觉及图像等二维领域中,动态轮廓模型表现的是一种单一的形式.为了把动态轮廓模型应用到三维中,需要把这种单一的形式转化为更普适的形式.因此将二维的动态轮廓模型直接应用到三维的网格中,省去了网格参数化和映射回原网格的步骤,达到了实时计算的要求,并可以很好地跟微分坐标技术相结合.通过动态轮廓模型的约束,基于微分坐标的网格变形能够很好地达到网格局部几何特征、骨架和体积的保持,同时能达到线性计算的实时性优点.

[13]

[14]

∀

wij(vi-vj).(1)

定义l为Laplacian算子,其中N(i)={j|{i,j}#E}是顶点vi的邻接顶点集合,wij代表了顶点vi和vj之间的权重关系,满足

∀

j#N(i)

wij=1的数量关

系.在微分坐标表示上存在许多权重选择的方案,采取了简单而高效的统一方案:wij=1/N(i).

从全局坐标V={v1,!,vn}到Laplacian坐标󰀂={󰀁1,!,󰀁n}的计算,可以通过矩阵乘法获得:󰀂=L(V).通过转换成矩阵形式,利用矩阵运算的便捷性,简化了通过能量方程求解最小二乘法的计算过程.从微分几何的观点来看,公式中的Laplacian算子是Laplace󰀁Beltrami算子的离散形式,其连续形式如下:

lim| |∃0

1(vi-v)dl(v)=H(vi)ni.

| |v#

%

(2)

式中:H(vi)是曲面在点vi上的平均曲率,ni是该点上的单位法向量.图1(a)为离散的网格数据上Laplacian坐标的几何表示,图1(b)为连续的曲面数据上Laplacian坐标的几何表示.由于Laplacian坐标有着这种表达局部曲率和法向的能力,能够在变形操作中很好地保持住网格的局部几何特征.

图1󰀁Laplacian坐标的几何表示

Fig.1󰀁GeometriccharacteristicsofLaplaciancoordinates

2󰀁动态轮廓模型

2.1󰀁基本概念

基于三角网格的动态轮廓模型是定义在三角网格上的空间多边形,其中多边形的顶点,又称为模型元素的s(snaxel)满足下面的条件:

s=(1-d)vfrom+dvto;d#[0,1).(3)式中:vfrom和vto分别代表模型元素所在原三角网格

边上的两个顶点,d为移动因子.从式(3)中可以看到,动态轮廓模型是嵌入在三角网格之中的空间多边形,相邻两个模型元素组成的线段必定落在三角网格的一个三角形上,而且每个模型元素都有一定的方向性.除此之外,为了避免自交情况,规定了原三角网格中的每个三角形只能包括一条相邻模型元

1󰀁微分域上的Laplacian坐标

三角网格模型通常由一个二元组决定(V,E),在欧式空间中,V由一组全局坐标向量表示{v1,!,vn}(vi={xi,yi,zi}),而E则表达了V的拓扑关系.通过结合全局坐标及各个顶点的拓扑关系定义了在

2088

浙󰀁江󰀁大󰀁学󰀁学󰀁报(工学版)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁第42卷󰀁

素组成的线段.如果出现每个三角形中存在大于一条的相邻线段,称之为动态轮廓模型的连续性违背.动态轮廓模型能表达网格的特征是因为它本身具有能量,整个动态轮廓模型的能量是所有模型元素能量之和:

E=

设定的阈值,则循环收敛结束.

算法中的关键操作是模型元素的移动速度计算和移动,以及分裂和清理操作:

移动速度可从󰀂v=min(1-ds)计算获得,其中ds为模型元素s的移动因子,见式(3).计算获得移动速度后,移动各个模型元素ds=ds+󰀂v.当模型元素移动到三角网格的顶点上时,就需要进行分裂操作,如果,顶点的度数是n,那么将有n-1个新的模型元素产生,它们有着相同的vfrom和不同的vto,这就意味着它们拥有同样的空间坐标和不同的空间方向;移动及分裂操作过后可能就会产生动态轮廓模型的连续性违背,这时就需要进行清理操作,在图3(a)中,圆圈内的模型元素违背了动态轮廓模型的连续性,图3(b)通过清理操作,移除违背动态轮廓模型连续性的模型元素.

∀E(s),

并且随着动态轮廓模型的收敛运动不断变化,其中模型元素的能量构成为

E(s)=Eint(s)+Eext(s).(4)

式中:Eint为模型元素的内部能量,主要作用是控制轮廓,避免变形及中断,采用Eint=!(s),!(s)为模型元素相邻边在其切平面上投影的夹角.图2(a)模型元素位于三角网格顶点时(式(3)中d=0的情况)内部能量的计算;图2(b)模型元素位于三角网格边上时(式(3)中d&0的情况)内部能量的计算;Eext为动态轮廓模型的外部能量,主要作用是保持轮廓的尖锐特征,本文采用

Eext=|(1-d)H(vfrom)+dH(vto)|,

其中H(v)来自公式(2).

图3󰀁模型元素连续违背的清理操作Fig.3󰀁Snaxelconsistencyviolationremoval

在实验中,根据轮廓的密度和时间复杂性动态地选择阈值,默认阈值设为0.1;然而自动计算的动态轮廓还可能存在着不理想的模型元素或不需要的轮廓等,见图4(a)放大部分,因此提供了许多辅助工具来进行修正,包括直接修改模型元素工具和直接修改轮廓模型工具,见图4(b)及放大部分,可以看到,左图中突兀的模型元素得到了很好的修正,同时在兔子耳朵的左侧,通过辅助工具又添加了一个反应特征的轮廓.

图2󰀁动态轮廓模型内部能量的计算Fig.2󰀁Internalenergyofactivecontourmodel

2.2󰀁收敛运动

用户首先利用选取工具选取了变形的兴趣区域(ROI),得到了最初的边界轮廓,动态轮廓模型根据如下算法进行收敛运动:

1)用户选取变形区域(ROI),获得初始轮廓模型.2)根据式(4)计算动态轮廓模型的能量,并保存入队列中.

3)计算各个模型元素移动速度并移动.

4)对移动后违反式(3)的模型元素进行分裂和清理操作.

5)计算新的动态轮廓模型的能量,并保存入队列中.

6)比较前后两次的能量差,如果比值大于某个设定的阈值,则保存此时动态轮廓模型的所有模型元素的状态,然后重新开始步骤3),如果小于某个

图4󰀁动态轮廓模型的编辑Fig.4󰀁Edittoolofactivecontourmodel

2.3󰀁变形约束

利用上述计算得到的动态轮廓模型作为约束加入到第3章提到的能量方程中去,得到一种新的变

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2089

形方法.通过加入动态轮廓模型的约束,从图5中可以看到,计算每个关键轮廓的重心坐标,每个动态轮廓的模型元素都可以表示为相应的重心坐标加上一个向量.从连续的微分学角度看,曲线长度的计算可由dr得到,因此可将骨架每一段dr的保持近似地看作整段骨架特征的保持.在变形操作中,如保持重心坐标的相对距离不变,变形后的骨架就可得到近似的保持(见图5(b)).

在对体积的近似保持中,根据体积在连续空间中的表达

V=

Sdr,%

3󰀁能量方程

通过1、2章介绍的Laplacian坐标和动态轮廓模型约束,利用它们来进行三维网格上的变形操作.整个变形的过程可以归结为一个解能量方程最小的问题.E=

i=1

%

∀

n

∋l(v(i)-Ti(V()∀i∋+#∀∋v(i-2

i=12

k

2

i=1

m

󰀁ui∋+∃∀wi∋D(V()-si∋.

(5)

式中:l(v(i)为在变形操作后顶点v(i上的Laplacian坐标;T(V()为在原始网格顶点vi的Laplacian坐标

[14]

∀i上进行的局部变换,采用Sorkine等人提出的算法,ui是用户选择的控制区域的顶点,通过它进行交互的变形操作,见图7;D(V()是动态轮廓模型算子,通过它能在线性时间内得到嵌入在三维网格中动态轮廓模型的全局坐标;si表示原始网格应用算子后的动态轮廓,作为软约束来控制网格的骨架和体积特征;wi根据轮廓的内部能量和外部能量而得到的权重,采用了线性权重的方法:wi=ei/emax,其中,ei为每个轮廓的内部能量和外部能量之和,emax为所有轮廓能量的最大值.从能量方程可以看到,控制网格变形的因素可以分成3部分:Lapla󰀁cian坐标部分控制网格表面几何特征的保持、用户选择的控制区域部分反应用户操作的意图、动态轮廓模型约束部分控制着网格骨架及体积特征的保持.因此,加入了#和∃两个影响因子来平衡后两者在变形操作中的影响作用,用户可以在变形操作中通过参数调整两者的影响.

实际上,根据Laplacian坐标的特征,式(5)的能量方程可以转化为矩阵的形式:

LT∀v=.(6)

#Im/(∃wkIk)#um/(∃wksk)式中:L是式(1)的矩阵形式,通过矩阵的表示,达到了计算最小二乘法的通用形式,即让M表示公式左边的矩阵,b表示右边的向量,则结果是

(见图6)通过保持关键轮廓的模型元素相对于其重心坐标的向量长度,达到近似保持由关键轮廓组成的面积Si,再加上前述相邻关键轮廓之间重心坐标的距离dri的近似保持,因此相邻关键轮廓之间的体积

Vi=

Sdr%

i

i

相应得到了近似保持,其中,Si为轮廓的近似面积,dri为整段骨架上的其中一段.最后,整个网格模型的体积

V=

∀V

i

=

󰀁Sdr

i

i

图7󰀁用户控制顶点的约束作用Fig.7󰀁Userspecifiedconstraint

在变形前后也得到了近似保持.

2090

T

-1

T

浙󰀁江󰀁大󰀁学󰀁学󰀁报(工学版)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁第42卷󰀁

v=(MM)Mb.

由于计算的矩阵中存在着许多零元素,采用稀疏矩阵包TAUCS来解式.解线性方程的过程分为分解矩阵和回代解两个步骤.其中分解矩阵需要花费整个计算过程的绝大部分时间,但是在变形中采用了预计算的方法,用户选择了兴趣区域后,只需要进行一次分解矩阵操作,后续的所有变形过程只要回代解可以得到,在速度上对于顶点少于5000的模型都能达到实时的操作效果,见4章所述.

4󰀁变形操作及结果

变形操作的步骤如下:首先,用户通过矩形选择工具(rectangleselectiontool)或草图选择工具(sketchselectiontool)在原始网格上选择变形的兴趣区域(ROI).在用户选择的同时,动态轮廓模型的收敛计算在底层进行.然后,用户再使用上述选择工具选择控制区域.用户还可以选择隔离兴趣区域与固定区域的过渡区域,通过过渡区域的网格优化来达到更好的视觉效果,此区域并不是必需的.自此,整个原网格模型被分解为变形的兴趣区域、用户控制区域及过渡区域,见图8.当这些区域选择完成后,用户根据变形的需要,即更注重用户外部操作的保持还是更注重网格骨架及体积特征的保持,来调整式(5)中#和∃的影响因子.不同的影响因子产生不同的变形结果,见图9.图9(a)为原始模型的局部;图9(b)为#=1.0,∃=0.0时变形的结果,此时参数设定是没有动态轮廓模型约束,可以看到体积及骨架的收缩;图9(c)为#=0.5,∃=0.5时变形的结果,此时参数设定两者影响因素相当,可以看到体积及骨架、表面特征都很好地得到了保持;图9(d)为#=0.0,∃=1.0时变形的结果,此时参数设定动态轮廓模型占主导因素,可以看到部分区域产生了不符合用户操作的变形结果.最后,在完成分解矩阵的预计算后,用户可以反复通过操纵控制区域中的顶点进行变形,直至达到自己满意的变形结果.需要注意的是,如果用户修改了其中某个区域范围或影响因子,那么需要进行重新预计算来分解矩阵.

图10、11展示了采用本文算法变形的结果.图10(b)为没有加入动态轮廓模型的微分域网格变形的结果,图10(c)为基于动态轮廓模型的微分域网格变形的结果.从图10(b)、(c)的对比中可以看到在马模型的头部、颈部和腿部在没有动态轮廓模型的微分域网格变形算法中虽然表面细节特征保持住了,但有骨架及体积的伸缩,影响了视觉的效果.而本文基于动态轮廓模型的微分域网格变形的结果

中,不但保持了表面细节特征,而且骨架和体积也有着很好的保持效果,符合客观世界的视觉表现.同时从表1可以看到,变形使用的时间完全能够保证用

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(下转第2120页)NewYork:

ACM,

New

York:

ACM,

1992:

Dallas:

ACM,

户的实时操作.

表1󰀁网格模型数据及变形时间

Tab.1󰀁Modelcomplexityanddeformationtime网格模型马模型兔子模型

顶点数843115599

平均矩阵分解

时间/s

0.520.85

平均回代时间/s0.0320.140

5󰀁结󰀁语

本文提出的一种新的线性的基于动态轮廓模型的微分域网格变形技术,已在自有的开发平台上实现,而且理论上完全能够移植到其他商业平台(如Maya)的二次开发产品中.此算法使得用户能够简单地通过选择工具选择变形的区域,然后拖动鼠标进行变形操作,而不需要专业的图形学技巧,即使初学者都能很快上手.

整个算法的关键是将骨架和体积的特征约束通过动态轮廓模型的形式来进行近似的模拟,从而与微分域上的变形技术结合在一起,通过解线性的最小二乘法得到变形后的结果.算法的目的是通过骨架和体积的近似保持将原本非线性的问题转换成线性求解来换取变形的速度,从而平衡了最大限度保持原有网格特征的要求和变形时间复杂度之间的矛盾.与通过线性计算的体积保持域

[20]

[19]

和子空间微分

的技术相比较,不仅仅增加了骨架这种必要的

特征保持,而且使结果不再通过迭代计算获得,避免了收敛性问题,加快了求解的速度.

在下一阶段工作中,为了提高计算性,原本在CPU上解线性方程的过程可以放在GPU上进行,同时对于顶点数巨大的模型采用多分辨率的方法进行简化

[10]

.

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