练习九二次函数中的线段最值问题

【例1】如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

【变式练习】

2

1. 如图，已知抛物线y＝ax ＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

y A O B C x

1

2. 如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

【能力提升】

1. 已知,如图11,二次函数yax22ax3a(a0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:y3x3对称.

3（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; （2）求二次函数解析式;

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值.

yy

ll

HH KK

BAOBxOAx 图11 备用图

2

2.如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(4．4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B． (1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2) 抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2d11； (3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。 25．（14分）（2017•福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值．

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【例2】如图，已知直线y11x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2bxc与直线22交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

【变式练习】

1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N． （1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE﹣QC|最大？并求出最大值．

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