浅谈理解算理的三种方法

浅谈理解算理的三种方法

作者：陈彩昭

来源：《广东教学·教育综合》2018年第27期

算理教学是计算教学的难点之一。让学生理解算理，有助于算法的真正掌握，从而提高计算能力以及计算正确率。在实际教学中，笔者关注下列三种方法，使学生尽快理解算理。 一、结合情境理解算理

小学数学中的计算教学，教材一般会先呈现情境，然后提出问题，列出需要学习的计算算式。不少教师在指导学生具体计算时，比较重视如何计算出结果，表现为每一步怎么算，较少关注算理的理解。一旦算出结果，接下来就开始机械地做大量的练习题。这种教学情境与计算剥离，没有充分利用教材中的情境，理解算理的做法，急功近利，效果不佳。

例如，有一位教师在执教《长颈鹿和小鸟》（北师大版二年级上册）时，只是提出了两个问题：你是怎样列式的？如何求出除法算式的商？学生回答说“42÷6=7，用乘法口诀六七四十二，求得商是7。”接下来就让学生做大量的除法练习题。大部分学生也能算出正确的计算结果，但实际教学上并不那么简单，需要根据相关的情境与计算过程结合起来进行理解，才能真正从意义上掌握用乘法口诀来计算除法的道理，这才是本课计算教学的目的。换句说，这位教师没有读懂教材，没有读懂长颈鹿分房的这个情境出现在这里的编写意图。其实在这个情境中，既有长颈鹿为小鸟分房子这样浓郁的童话般的故事气息，又蕴涵着深刻的除法算式的意义和算理：42只小鸟，每6只住一间房，需要几间房？实际上要我们算42里面有几个6，所以用42除以6。怎样求这个商呢？因为 7个6是42，所以它的商就是7，就是每间房子住的小鸟只数×房间数=小鸟的总数，所以可以用乘法口诀求商。

后来又有一位同年级教师执教《长颈鹿和小鸟》，为了让学生理解除法算式的意义以及用乘法口诀求商的道理，这位教师根据课本提供的情境：有一群小鸟，每6只住一间房。引出问题：“要为它们准备几间房子呢？”小鸟的总数从42只、48只、只……最后引出16只，教师结合情境讲清“42只”的列式方法与计算道理之后，学生就比较快地将“42只”的情境中蕴含的算理迁移到“48只”“只”…… “16只”的问题解决中来，从而真正理解了此类问题要列除法算式，并用乘法口诀来计算的实际道理。这位教师的做法，充分利用教材的情境，引导学生理解算理，掌握算法的做法，值得借鉴。 二、借助算法理解算理

小学数学教材主编陶文中老师说：“计算课要关注过程，讲清计算过程的意义和算理。算理是由数学概念、性质、运算律等内容构成的数学基础知识，它为算法提供了理论依据。明了算理是正确掌握计算方法的关键。然而，算理在计算过程中是不显现的，它蕴含在算法之中。

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学生在计算过程中只有明了算理，才有可能正确地进行计算。只讲算法不讲算理的计算教学是不可取的。”由此可见，好的计算教学，应该在显性的算法教学中，挖掘支撑算法背后的隐性的算理，实现计算教学的整体目标。

例如，《节约》（原北师大版三年级上册）这节课的教学目的是探索并掌握三位数除以一位数时，因不够商1而在商中间或末尾商0的除法的计算方法。为了让学生理解算理，理解为什么要商0，商0的作用是什么。一位教师的教学过程是这样的：

教师出示例题：实验小学三年级3个班上学期卖废纸和矿泉水瓶一共收入612元，平均每个班收入多少元？

师：从题目中你知道了哪些数学信息？ 生：3个班的总收入是612元。 师：你会列式子吗？ 生：612÷3=。

师：请你估计一下平均每班收入多少元？说说你是怎么估的？

生：把612看作600，把600平均分成三份，每份是200，所以估计每个班收入大约是200元。

师：计算一下，每个班的平均收入到底是多少？

生尝试计算，然后汇报交流，展示算法。（学生把算式寫在黑板上）

生1：把612分成600与12，先算600除以3得200，再算12除以3得4，最后算200加4得204。

写成横式 600÷3=200 12÷3=4 200+4=204

师：刚才这位同用口算的方法，又快又准算出了结果。 师：下面这位同学有不同的算法，你能说说你是怎么算的吗？

生2：我是把被除数的每一位分别和除数相除算出来的。先算百位，再算十位，最后算个位。师：这位同学是用竖式来计算的，你们有没有什么不理解的地方想问问他吗？ 生：中间的0是怎么来的？为什么要商0？

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生：从被除数的高位除起，最高位是百位，百位上是6，表示6个百，6个百除以3，商是2个百，因此百位上商2；十位上是1，表示1个十，1个十除以3，得不到1个10，商为0个十，因此十位上商0；把1和个位的2合起来除以3，除以3得4个一，因此，个位上商4。 师：你们觉得横式与竖式有什么相同的地方？

生：方法是一样的，都是先算6个百除以3，再把十位上的1和个位的2合起来除以3。 教师最后强调（指着竖式说）：十位上是1，表示1个十，1个十除以3，得不到1个10，商为0个十，因此，十位上商0；把1和个位的2合起来除以3，除以3得4个1，因此，个位上商4。也就是说十位上的1比3小，不够商1，所以商为0。 师：什么时候商为0呢？

生：当被除数的某一位比除数小，不够商1的时候。

师（小结）：没错，在计算三位数除以一位数时，哪一位上不够商1，我们就在那一位上商0。这个0起到什么作用？不写行不行？ 生：不行，它起占位的作用。

教师先让学生自主探索算法，然后比较横式、竖式两种算法，用横式中的算法结果帮助学生理解竖式计算中“哪位上的数不够商1，就商0”的算理，不失为一种好方法。 三、应用操作理解算理

由于算理抽象，小学生的数学思维活动过程有赖于直观形象的操作活动做支撑。应用操作活动，对算理的理解是行之有效的方法。

例如，一位教师在执教《十几减9或8的退位减法》（北师大版一年级上册），首先引出“小兔买铅笔”的情境图。教师让学生仔细观察，说说发现了什么数学信息，并提出数学问题。学生回答：“文具店有15枝铅笔，小白兔要买9枝铅笔。还剩下多少枝铅笔？”接下来是教学“15-9=14”计算方法的多样性。学生介绍说，我是这样想的：把15分成10和5，用10-9=1，再用1+5=6。教师把这位学生的口述进行了板书，并和大家一起分析为什么把15分成10和5之后就可以用10-9=1，再用1+5=6的道理。我们发现孩子其实还是不明白其中的道理。但教师本人没有意识到孩子由于认知水平的因而思维受阻这一实际困难，依然用语言反复强调“把15分成10和5，用10-9=1，再用1+5=6。”这一过程。其实，此时教师只要摆一摆小棒，加上语言的描述：把15根棒分成10根和5根，从10根里拿走9根，还剩1根，写成算式就是10-9=1；减完了，我们发现还剩1根和5根，所以最后结果写成算式就是1+5=6。由此处引领，学生对“10-9=1，再用1+5=6”算理的理解就会豁然开朗；另一种方法是学生“把9看成4和

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5，用15-5=10，还有一个4没减，再用10减4得6”同样也是不明算理的。如果教师能利用小棒操作连减的过程：把9根小棒分两次拿。先从15根里拿走5根，再从10根里拿走4根，最后只剩下6根了，然后再概括、再抽象，让学生在操作中体验和理解算理，教学难点也就突破了。

理解算理的方法有很多，教师要根据计算教学的内容和方法特点，以及儿童学习的规律，寻找适当的方法，实现理解算理的教学目的。