北师大版八年级(上)数学知识点归纳总结

第1节 探索勾股定理

一、勾股定理的内容

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2。 【说明】

①勾股定理在很多国家文献中被称为毕达哥拉斯定理，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以又称其为勾股定理。

②勾股定理揭示的是直角三角形三边长度的数量关系，因此它只适用于直角三角形。 ③勾股定理公式的推广 a2 ＝c2－b2 ＝（c＋b）（c－b） b2 ＝c2－a2 ＝（c＋a）（c－a）

二、勾股定理的证明

1、证法①

如图①所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形。 通过观察可知，正方形A的面积等于16，正方形B的面积等于9，正方形C的面积等于25，即S正方形A＋S正方形B＝S正方形C

由此面积关系，可以得出这个直角三角形三条边之间的关系是：a2＋b2＝c2 2、证法②

如图②所示，用硬纸板做成两个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个腰长为c的等腰直角三角形。用这三个直角三角形拼成了一个直角梯形ABCD。

111(ab)(ab)(ab)2(a22abb2) 222111212 又∵S梯形ABCDSVADESVBECSVCDEababc(2abc)

222212122 ∴(a2abb)(2abc)

22∵S梯形ABCD ∴a2＋b2＝c2 3、证法③

如图③所示，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个边长为c的小正方形。用这四个直角三角形和小正方形拼成了一个

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大的正方形。

∵S大正方形(ab)(ab)(ab)2a22abb2 又∵S大正方形4S直角三角形S小正方形4∴a2abb2abc ∴a2＋b2＝c2

2221abc22abc2 2第2节 一定是直角三角形吗

一、直角三角形的判别条件

1、利用角来判别（定义法）

有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 【说明】直角三角形的两个锐角互余。 2、利用边来判别（勾股定理的逆定理）

如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 【说明】

①若在△ABC中，a2＋b2≠c2，并不能判定△ABC一定不是直角三角形，例如a＝3，b＝5，c＝4，虽然a2＋b2≠c2，但是a2＋c2＝b2，所以△ABC依然是直角三角形，此时a、c是直角边，而b是斜边。因此，在一个三角形中，有任意两条边的平方和等于第三边的平方，这个三角形就是直角三角形。确切地说，(较短边)2＋(较长边)2＝(最长边)2时，此三角形是直角三角形。

②一个三角形的三边长分别为a，b，c，且c最大。若a2＋b2＜c2，则这个三角形为钝角三角形；若a2＋b2＝c2，则这个三角形为直角三角形；若a2＋b2＞c2，则这个三角形为锐角三角形。

二、勾股数

满足a2＋b2＝c2的三个正整数称为勾股数。 【说明】

①勾股数的定义包含两个条件：一是这三个数必须是正整数，二是这三个数必须满足关系式a2＋b2＝c2，二者缺一不可。例如0.3，0.4，0.5，尽管满足0.32＋0.42＝0.52，但它们都是小数，所以它们不是勾股数。

②若a，b，c是勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数。例如3，4，5是勾股数，所以6，8，10也是勾股数。

③以勾股数作为三边长的三角形一定是直角三角形，但直角三角形的三边长不一定是勾股数，因为直角三角形的三条边长不一定都是整数。

④常见的勾股数：3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25……

第3节 勾股定理的应用

一、利用勾股定理求高度、测距离

【例1】如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开离旗杆底端5米后，发现下端刚好与地面接触，求旗杆的高度。 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x＋1）米，根据勾股定理得 x2＋52＝(x＋1)2 解得 x＝12 答：旗杆的高度为12米。

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【例2】放学后小华和小夏从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小华和小夏走的速度都是40米/分，小华15分钟到家，小夏20分钟到家，求小华和小夏家的直线距离是多少。 解：因为小华家在学校的东南方向，小夏家在学校的西南方向，所以两条路的夹角为直角。如图所示，∠AOB＝90°。由题意知，OA＝40〓20＝800（米），OB＝40〓15＝600（米） 根据勾股定理得，AB2＝OA2＋OB2＝8002＋6002＝10002，所以AB＝1000（米） 答：小华和小夏家的直线距离是1000米。

二、利用勾股定理求面积

【例3】已知一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，求这个直角三角形的面积。

解：如图所示，在Rt△ACB中，c＝5，a＋b＋c＝12，所以a＋b＝7，所以 (a＋b)2＝49，即a2＋2ab＋b2＝49，又因为a2＋b2＝c2＝25，所以2ab＝24，所以ab＝12，所以这个三角形的面积S＝

1ab＝6 2【例4】如图，以Rt△ACB的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若AB＝3，求图中阴影部分的面积。

解：设AE＝BE＝x，由勾股定理得，x2＋x2＝32，即2x2＝9，所以x2＝所以S△AEB＝

9， 212911x＝；同理可得，S△ABC＝AC 2，S△CFB＝BC 2， 2444111所以S△ABC＋S△CFB＝AC 2＋BC 2＝( AC 2＋BC 2)，又因为AC 2＋BC 2＝AB 2＝9，

4449999所以S△ABC＋S△CFB＝，所以S阴影＝S△AEB＋S△ABC＋S△CFB＝＋＝

4442三、确定几何体上的最短路线

在立体图形上，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路线不能仅是两点间的线段长，应该将其展开为平面图形，再利用“两点之间线段最短”这个性质和勾股定理来求解。 立体图形 圆柱 棱柱 圆锥 转化 具体方法 圆柱转化成矩形 沿圆柱任意一条母线剪开圆柱，展开侧面，得到一个矩形 棱柱转化成矩形 沿棱柱任意一条侧棱剪开棱柱，展开侧面，得到一个矩形 圆锥转化成扇形 沿圆锥任意一条母线剪开圆锥，展开侧面，得到一个扇形 【例5】有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图①所示，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm，杯子底面半径为4cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)

解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱侧面展开图如图②所示，其中AC为圆柱的底面周长，则AC＝2πr ＝2〓3〓4＝24cm，所以E′D′ ＝AC＝24cm，由题意知B为E′D′的中点，所以E′B＝

1E′D′ ＝12cm，又因为EA＝8cm，EE′ ＝3cm，所以E′A＝EA－EE′ ＝5cm，所以2AB2＝E′A2＋E′B2＝52＋122＝169，所以AB＝13cm，即A、B之间最短的距离为13cm。

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【例6】有一个长方体纸盒，如图③所示，小明所在的数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短的距离。若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组求出由A点到B点的最短距离。(21.592≈466，18.442≈340)

解：将四边形ACDF与四边形CEBD展开在同一个平面上，如图④所示，在Rt△AEB中，根据勾股定理得AB2＝AE2＋BE2＝212＋52＝466

将四边形ACDF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图⑤所示，在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋142＝340

将四边形AHGF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图⑥所示，在Rt△AHB中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝172＋92＝370

因为340＜370＜466，所以A到B的最短距离是如图⑤所示的情况，此时AB≈18.44，所以A点到B点的最短距离约为18.44。

第二章 实数

第1节 认识无理数

一、无理数

1、概念：无限不循环小数叫做无理数。 2、类型

（1）有规律但不循环的无限小数。如0.9898898889„（相邻两个9之间8的个数逐次加1） （2）特殊字符，如圆周率π＝3.14159265„

（3）含根号且开不尽方的数，如a2＝5，则a ＝5，5为无理数。

二、无理数的估算

（1）方法：逐次逼近法 ．．．．．

（2）步骤：先从较大的范围开始，再逐步缩小范围，逐渐逼近。（以a2＝2为例）

①估算整数部分：因为12＝1，22＝4，所以12＜a2＜22，所以1＜a＜2，即a的整数部分是1。

②估算十分位部分：因为1.12＝1.21，1.22＝1.44，1.32＝1.69，1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以1.42＜a2＜1.52，所以1.4＜a＜1.5，即a的十分位是4。

③估算百分位部分：因为1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，所以1.41＜a＜1.42，即a的百分位是1。

同理，依次计算，可以将a无休止地探索下去，求出精确的任何位的a的值。

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第2节 平方根

一、算术平方根

1、概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，因为0的平方等于0，即02＝0，所以我们规定：0的算术平方根是0。 2、表示方法：a的算术平方根记作“a”，读作“根号a”。 3、算术平方根的性质

（1）正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 （2）算术平方根具有双重非负性：①a中的a≥0； ②a≥0

二、平方根

1、概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。例如，3和－3的平方都等于9，那么3和－3叫做9的平方根，或者说9的平方根是±3。 2、表示方法

正数a的有两个平方根，一个是a的算术平方根a，另一个是a，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作“±a”，读作“正、负根号a”。 3、平方根的性质

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

（2）±a中的a≥0。

【说明】平方根与算术平方根的联系与区别 ①联系

A、包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。

B、都是只有非负数才有平方根和算术平方根，而负数没有平方根和算术平方根。 C、0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 ②区别

A、个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根． B、表示法不同：平方根表示为±a，而算术平方根表示为a。

三、开平方

求一个a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。 【说明】（1）被开方数a一定是非负数，即a≥0。 （2）开平方与平方运算互为逆运算。

（3）互为倒数的两个正数的平方根互为倒数。

第3节 立方根

一、立方根

1、概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。例如2的立方等于8，那么2叫做8的立方根，或者说8的立方根是2；又如－4的立方等于－64，那么－4叫做－64的立方根，或者说－64的立方根是－4。 2、表示方法：a的立方根记作“3a”，读作“三次根号a”。 3、立方根的性质

（1）普遍性：任何数都有立方根。

（2）唯一性：任何数都有且只有一个立方根。

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（3）同号性：一个数与其立方根同号。

正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

【说明】平方根与立方根的联系与区别

①联系：0的立方根和平方根都只有一个，那就是0本身。

②区别：A、正数有两个平方根，它们互为相反数，而正数却只有一个立方根。 B、负数没有平方根，但负数却有立方根。

C、对于平方根，被开方数必须为非负数，而对于立方根，被开方数没有限制。

D、平方根根号前有“〒”，根指数2可以省略；立方根根号前没有“〒”符号，但根指数3不能省略。

二、开立方

求一个a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 【说明】（1）被开方数a为任意实数。

（2）开立方与立方运算互为逆运算。

（3）互为倒数的两个数的立方根互为倒数。 （4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。

3333（5）3a3a；3a3(3a)3a；3(a)(3a)aa

第4节 估算

一、用估算法确定无理数的大小

对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算，采用“夹逼法”（即逐次逼近法），首先确定其整数部分的范围，再确定其十分位、百分位、千分位„„（详见本章第1节） 【说明】“精确到0.1”指四舍五入到十分位，答案唯一；“误差小于0.1”指结果在其值左右0.1范围内均可，答案不唯一。例如，把4.7654精确到0.1，结果为4.8；而误差小于0.1，结果可以为4.7到4.8之间的任意一个值。

二、用估算法比较数的大小

1、含根号的数比较大小

（1）对于开方次数相同且符号相同的两个无理数，将两数n次方后去掉根号，再比较大小。例如15和17，可以把它们同时平方，因为15＜17，所以15＜17。 （2）对于开方次数不同的两个无理数，利用“夹逼法”估算近似值，再比较大小。 2、无理数与有理数比较大小

（1）利用“夹逼法”估算出无理数的近似值，再与有理数比较大小。

（2）将有理数移入根号内，比较被开方数的大小。例如比较7与5的大小，可以将7写成72，再与5比较大小，因为7＞5，所以7＞5。

2第5节 用计算器开方

一、使用计算器求平方根和立方根

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【说明】①若被开方数是分数或一个式子时，整个被开方数一定要加括号。

二、利用计算器比较数的大小

用计算器求出各数的近似值，再比较大小。

第6节 实数

一、实数的定义

有理数和无理数统称为实数。

二、实数的分类

1、按定义分 2、按符号分

三、实数的性质

1、在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样。

（1）相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。

【说明】①若a表示一个正实数，则－a表示一个负实数，a与－a互为相反数。

②在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。

③如果a与b互为相反数，则有a＋b＝0或a＝－b，反之亦成立。 （2）绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 【说明】①绝对值的实质是距离，所以任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 ②从数轴上看，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 ③正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。 ④互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|－a|。

⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数。

⑥利用绝对值比较两个负实数的大小：两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。 （3）倒数：如果两个数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。

【说明】①若a≠0，则a的倒数是

1ba；若a≠0，b≠0，则的倒数是。 aab②如果a与b互为倒数，则有ab＝1，反之亦成立。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。 ④互为相反数的两个数的倒数也互为相反数。 ⑤倒数等于本身的数是1和－1。 ⑥乘积为－1的两个数互为负倒数。

2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

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（1）运算法则 ①加法法则

A、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 a、两个正数相加和为正，并把它们的绝对值相加。 b、两个负数相加和为负，并把它们的绝对值相加。 B、异号两数相加

a、绝对值相等时和为0，即互为相反数的两个数相加和为0

b、绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 C、一个数同0相加，仍得这个数。

②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)。 ③乘法法则

A、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 a、两个正数相乘积为正，并把绝对值相乘。

b、两个负数相乘积为正，并把绝对值相乘。 c、正数与负数相乘积为负，并把绝对值相乘。 B、任何数与0相乘，积仍为0。

【说明】ⅰ几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇

数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

ⅱ几个数相乘，只要有一个因数是0，则积为0。 ④除法法则

A、两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 B、0除以任何非0的数都得0。

C、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。 ⑤乘方法则

A、正数的任何次幂都是正数。

B、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 C、0的正数次幂都是0。

【说明】①1的任何次幂都是1。

②任何一个不为0的数的0次幂都等于1，即a0＝1（a≠0）。 ③a

－b

＝

1（a≠0，b≠0） ba（2）运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

【说明】①加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算，乘方和开方叫做第三级运算。

一个式子中如果含有多级运算，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算。同一级运算按照从左往右的顺序进行运算。

②有括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。

③混合运算时可以以加减号为界，把式子分成几部分，每一部分单独运算。

（3）运算律

①加法交换律：a＋b＝b＋a

②加法结合律：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） ③乘法交换律：a·b＝b·a

④乘法结合律：a·b·c ＝（a·b）c ＝ a（b·c） ⑤乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac

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3、实数与数轴上的点是一一对应的。

（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每一个点都表示一个实数。

【说明】在数轴上画出表示无理数的点的方法（步骤）

①依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段。 ②以原点为圆心，以上述线段为半径作弧（正无理数向数轴正方向作弧，负无理数向数轴负方向作弧），弧与数轴的交点便是表示无理数的点。

四、实数大小的比较 比较方法 数轴比较法 法则比较法 作差比较法 详细说明 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 ①正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数； ②两个负实数比较，绝对值大的反而小。 若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b 作商比较法 倒数比较法 aaaa＞0且b＞0 若＞1，则a＞b；若1，则a＝b；若＜1，则a＜b bbbaaaa＜0且b＜0 若＞1，则a＜b；若1，则a＝b；若＜1，则a＞b bbb111111＞，则a＜b；若＝，则a＝b；若＜，则a＞b a≠0且b≠0 若 ababab2222a＞0且b＞0 若a2＞b2，则a＞b；若a＝b，则a＝b；若a＜b，则a＜b 平方比较法 2222a＜0且b＜0 若a2＞b2，则a＜b；若a＝b，则a＝b；若a＜b，则a＞b 中间量比较法 若a＞b，b＞c，则a＞c

第7节 二次根式

一、二次根式的概念

一般地，形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数。

【说明】（1）二次根式必须同时满足两个条件：

①含有二次根号“”；②被开方数必须是非负数，即a≥0

（2）特别地，虽然42，且2不是二次根式，但4却是二次根式。

（3）被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是a≥0。如a2，b21等，对于一些式子，只有在一定的条件下才是二次根式，如m1只有在m≥－1时才是二次根式。

二、二次根式有意义的条件

二次根式a有意义的条件是a≥0。 【说明】（1）二次根式a无意义的条件是a＜0。

（2）当一个式子中含有多个二次根式时，这个式子有意义的条件是各个二次根式的

被开方数都是非负数，如若使ab1有意义，须使a≥0且b＋1≥0。

（3）11有意义的条件是a＞0；a有意义的条件是a＞0。

aa- 59 -

三、二次根式的性质 1、双重非负性：（1）a中的a≥0； （2）a≥0 2、(a)2a（a≥0），反过来，a(a)2（a≥0）。

a (a＞0) 3、a2＝|a|＝ 0 (a＝0) -a (a＜0)

4、abab（a≥0，b≥0），

aa（a≥0，b＞0） bb四、二次根式的化简

1、依据：二次根式的性质

， abab（a≥0，b≥0）

aa（a≥0，b＞0） bb积的算术平方根，等于积中各因式算术平方根的积。

商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

2、最简二次根式

一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

3、要求：化简结果中分母不含有根号，且各个二次根式必须是最简二次根式。

③如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

五、二次根式的运算

1、二次根式的乘法法则

（1）文字表述：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。 （2）公式：abab（a≥0，b≥0）

【说明】①当二次根式前面有系数时，将系数之积作为积的系数，被开方数之积作为积的被

开方数。如3327(32)37621。

②两个二次根式相乘，积的被开方数中有开得尽方的一定要开方。如：

2422424816342343 abcabc（a≥0，b≥0，c≥0）

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③三个或三个以上的二次根式相乘，二次根式的乘法法则依然适用。如：

2、二次根式的除法法则

（1）文字表述：两个二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变。 （2）公式：aa（a≥0，b＞0） bb3、二次根式的加减法法则

（1）文字表述：两个被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）相加减，将系数与系数相加减，结果仍作为和或差的系数，根指数与被开方数保持不变。

（2）公式：abcb(ac)b（b≥0）

4、二次根式的混合运算

（1）有理数的运用法则和运算律对于二次根式仍然适用。

（2）二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。

第三章 位置与坐标

第1节 确定位置

1、行列定位法：把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上的点。例如小明的座位在第3排第7列。

2、方位角定位法：利用“方位角”和“距离”来确定位置。例如某船位于A岛北偏西45°，距离为28海里处。

3、经纬度定位法：利用“经度”和“纬度”可以确定地球上任意一处的位置。例如某地位于东经133°，北纬26°。

4、区域定位法：用英文大写字母和阿拉伯数字分别表示纵向区域和横向区域来确定位置。例如下图所示是某城市地图简图的一部分，“学校”在“A1区”，“电影院”在“B3区”。

第2节 平面直角坐标系

一、平面直角坐标系的相关概念（表格见下页）

【说明】（1）横轴和纵轴都是数轴，都有原点、正方向和单位长度。

（2）有序实数对（a，b）中的“有序”指横坐标和纵坐标的顺序不能颠倒，先是横

坐标后是纵坐标。当a≠b时，（a，b）和（b，a）表示的是不同的两个点。 （3）坐标轴上的点不属于任何一个象限。 （4）平面直角坐标系中四个象限内点的坐标的符号特征分别是：第一象限（＋，＋），

第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－）。

（5）在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点

的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。即坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。

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（6）有序实数对（a，b）中的a、b可正可负，点（a，b）到x轴的距离为|b|，到y

轴的距离为|a|，到原点的距离为a2＋b2。 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。 水平的数轴叫做x轴或横轴；铅直的数轴叫做y轴或纵轴；x轴与y轴统称坐标轴。 x轴与y轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点。 如图3-2-4所示，对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴和y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标和纵坐标。有序实数对（a，b）叫做点P的坐标。 如图3-2-5所示，两条坐标轴把平面分成四个部分：右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 定义 坐标轴 原点 坐标 象限 二、特殊位置上的点的坐标的特征 1、坐标轴上的点的坐标的特征

（1）x轴上的点的纵坐标为0 （2）y轴上的点的横坐标为0

（3）原点既在x轴上也在y轴上，所以原点的横坐标与纵坐标都是0 2、与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征

（1）与x轴平行（与y轴垂直）的直线上的点的纵坐标相同； （2）与y轴平行（与x轴垂直）的直线上的点的横坐标相同。 3、对称点的坐标的特点

（1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。 （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

（3）关于原点对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。 4、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征

（1）第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同。

（2）第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

三、建立平面直角坐标系

1、分析条件，选择适当的点作为坐标原点。

2、过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴和y轴。 3、确定x轴和y轴的正方向、单位长度。

第3节 轴对称与坐标变化

1、横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴成轴对称。（关于x轴成轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数）

2、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关于y轴成轴对称。（关于y轴成轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数）

3、横坐标与纵坐标都互为相反数的两个点关于原点对称。（关于原点对称的两个点，横坐标与纵坐标都互为相反数）

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第四章 一次函数

第1节 函数

一、函数的概念

一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 说明：①函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。

②对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的一个值与它对应，y才是x的函数。例如在圆的周长公式C＝2πr中，给定一个r值就唯一确定了一个C的值，所以C是r的函数；又如y2＝x中，当x＝2时，y就有两个值〒2与之对应，所以y不是x的函数。

③当多个自变量的值对应唯一一个因变量的值时，这种对应关系也属于函数关系。如在y＝x中，当x＝1和x＝－1时，都有唯一的y＝1与之对应，所以y是x的函数。

2二、函数的表示方法 表示方法 列表法 含义 用表格列出自变量与因变量的对应值，表示两个变量之间的关系 优点 对应关系 明确清楚 简明扼要， 规范准确 直观形象， 规律明显 缺点 数据有限， 规律不明显 抽象，并非适用 于所有函数 不精确 关系式法 用关系式表示两个变量之间的关系 图象法 用图象表示两个变量之间的关系 第2节 一次函数与正比例函数

一、一次函数与正比例函数的概念

若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b （k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b＝0时，即y＝kx（k为常数，k≠0），称y是x的正比例函数。 【说明】（1）一次函数的表达式y＝kx＋b是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自

变量x的整式。例如y＝

2不是一次函数。 x－122（2）一次函数的自变量x与因变量y的次数都是1，如y＝2x＋1和y＝2x＋1都不是一次函数。

（3）一次函数与正比例函数的自变量x的系数不能为0，即k≠0。例如y＝3不是一次函数，属于常函数。

（4）y－＝1x－(x－1)(x－2)经过化简可变形为y＝3x－1，所以y是x的一次函数。故判断一个函数是否为一次函数，只有通过恒等变形后与一次函数y＝kx＋b的形式作比较，才能确定。

（5）正比例函数是特殊的一次函数，特殊之处在于b＝0。因此正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 （6）正比例函数中的两个变量一定满足正比例关系，但成正比例关系的两个变量不一定是正比例函数。例如y与x－1成正比例，即y＝k（x－1），但y不是x的正比例函数。

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2二、根据条件列函数表达式

1、认真分析，理解题意。

2、和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系。 3、注意自变量x的取值范围，要符合实际。

第3节 一次函数的图象

一、函数的图象

1、定义

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 2、画法——描点法

（1）列表：列表给出自变量与因变量的各组对应值。

（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 （3）连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描各点用线连接起来。

【说明】①列表时，通常把自变量x的值放在表的第一行，与其相对的因变量y的值放在

第二行，且x的值按照从小到大的顺序排列。

②函数的图象与函数表达式是一一对应的。即函数图象上的任意点P（x，y）中的x，y满足其函数式；反过来，满足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在该函数的图象上。

二、正比例函数的图象及性质

1、图象

正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是一条直线，经过（1，k）和原点。 2、性质

当k＞0时，直线y＝kx经过一、三象限，y的值随x的值的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过二、四象限，y的值随x的值的增大而减小。|k|越大，直线y＝kx的图象越靠近y轴，即与y轴所成的锐角越小，相应的函数值y也增加或减小的越快。

三、一次函数的图象及性质

1、图象

一次函数y＝kx＋b （k、b为常数，k≠0）的图象是一条直线，经过（0，b）和（—0）两点。 2、性质 函数 k、b符号 b＞0 y＝kx＋b （k、b为常数，k≠0） k＞0 b＝0 b＜0 b＞0 k＜0 b＝0 b＜0 性质 经过象限 一、二、三象限 原点及一、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 原点及二、四象限 二、三、四象限 y的值随x的值的增大而减小 y的值随x的值的增大而增大 增减性 b，k【说明】（1）在一次函数y＝kx＋b （k、b为常数，k≠0）中，k的符号决定函数的增减性；b的符号决定直线与y轴交点的位置：①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＝0时，直线经过原点；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴。b的值即一次函数y＝kx＋b （k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标。

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（2）|k|越大，直线y＝kx＋b（k≠0）的图象越靠近y轴，即与y轴所成的锐角越

小，相应的函数值y也增加或减小的越快。

四、两条直线的位置关系

1、当k1＝k2，且b1＝b2时，直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2重合。 2、当k1＝k2，且b1≠b2时，直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2平行。

3、当k1≠k2，且b1＝b2时，直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交于y轴上一点。 4、当k1≠k2，且b1≠b2时，直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交。 【说明】（1）在同一平面直角坐标系内，k不同的直线一定相交。 （2）在同一平面直角坐标系内，k相同的直线平行或重合。

（3）相互平行的两条直线可能通过平移得到：

（上加下减在b上，左加右减在x上）

第4节 一次函数的应用

一、确定正比例函数的表达式

1、条件

确定正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的表达式，只需求出k的值即可。它需要一个条件，通常是一个点的坐标或一对x，y的值。 2、方法

将一个已知点的坐标或一对x，y的值代入y＝kx（k为常数，k≠0）中，通过解一元一次方程，求出k的值，从而确定它的表达式。

二、确定一次函数的表达式

1、条件

确定一次函数y＝kx＋b （k、b为常数，k≠0）的表达式，只需求出k和b的值即可。它需要两个独立的条件，通常是两个点的坐标或两对x，y的值。 2、方法

先设定一次函数的表达式为y＝kx＋b （k≠0），再将两个已知点的坐标或两对x，y的值分别代入y＝kx＋b （k≠0）中，建立关于k，b的一个二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组求解k和b的值，从而确定其表达式。这种方法叫做待定系数法。 三、一次函数与一元一次方程的联系

（1）从“数”的角度看，当一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值为0时，相应的自变量x的值就是方程kx＋b＝0（k≠0）的解；从“形”的角度看，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0（k≠0）的解。

（2）一次函数y1＝k1x＋b1（k1≠0）与y2＝k2x＋b2（k2≠0）交点的横坐标就是方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解。

四、求一次函数图象与坐标轴的交点坐标

（1）求一次函数图象与y轴的交点坐标，可令自变量x＝0，则y＝b，所以图象与y轴的交点的坐标为（0，b）。

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第五章 二元一次方程组

第1节 认识二元一次方程组

一、二元一次方程

1、二元一次方程的概念

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 【说明】（1）方程中的“元”指未知数，“二元”就是有两个未知数。 （2）“一次”是指含有未知数的项的次数都是1，不能理解成两个未知数的次数都

是1。例如方程3xy＋5＝0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但含有未知数的项“3xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程。 （3）二元一次方程含有未知数的项必须是整式，如3x＋

1＝0不是二元一次方程。 y2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 【说明】（1）由于二元一次方程中含有两个未知数，所以二元一次方程的一个解包含两个值，

例如，x＝5不是方程x＋y＝8的解，y＝3也不是方程x＋y＝8的解，只有把它们合起来才是二元一次方程x＋y＝8的解。

（2）在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解。

二、二元一次方程组

1、二元一次方程组的概念

像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

2、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【说明】①方程组的解一定是方程组中每个方程的解。

③二元一次方程组如果有解，只能有唯一的一个解。

第2节 求解二元一次方程组

一、用代入消元法解二元一次方程组

1、基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元” 2、主要步骤：

（1）从方程组中选定一个系数较简单的方程进行变形，将此方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，变成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式（其中a表示未知数的系数）

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（2）将y＝ax＋b或x＝ay＋b代入另一个未变形的方程中，消去一个未知数y或x，得到一个关于x或y的一元一次方程。

（3）解这个关于x或y的一元一次方程，求出x或y的值。

（4）把求得的x或y的值代入y＝ax＋b或x＝ay＋b中，求出另一个未知数y或x的值。 （5）用“{”把两个未知数的值联立起来，就是二元一次方程组的解。

二、用加减消元法解二元一次方程组

1、基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元” 2、主要步骤：

（1）在方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则直接将两个方程相减（或相加），便能消去该未知数，得到一个一元一次方程；若同一个未知数的系数既不相同也不互为相反数，则选取系数的公倍数较小的一个未知数，利用“等式的两边都乘以同一个不为零的数等式仍然成立”的性质，将其系数变为相同（或互为相反数），再将变形后的两个方程相减（或相加），从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 （2）解这个一元一次方程，求出未知数的值。 （3）把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值。 （4）用“{”把两个未知数的值联立起来，就是二元一次方程组的解。

第3—5节 应用二元一次方程组

一、具体类型

1、鸡兔同笼

2、增收节支 （1）销售问题

①利润＝售价－进价（成本价）

②利润率＝

利润售价售价进价×100%＝×100%＝－1 进价进价进价③售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）

④售价＝标价×折数×0.1

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（2）增长率问题

①增长率＝

第二年产量第一年产量第二年产量×100%＝－1

第一年产量第一年产量现有量原有量现有量×100%＝－1

原有量原有量②增长率＝

③增长后的量＝原有量×（1＋增长率）＝原有量＋原有量×增长率

④下降后的量＝原有量×（1－增长率）＝原有量－原有量×增长率 （3）储蓄问题

①本息和＝本金＋利息

②利息＝本金×利率×存期＝本息和－本金 3、里程碑上的数 （1）行程问题

①相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝二者开始时相距的路程

②追击问题：速度快的走的路程－速度慢的走的路程＝二者开始时相距的路程 ③环形跑道问题

A、甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，再一次相遇时，两人所走路程之和正好是环形跑道一圈儿的长度，即甲走的路程＋乙走的路程＝环形跑道的周长。 B、甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，再一次相遇时，速度快的比速度慢的正好多走了环形跑道一圈儿的长度，即速度快的走的路程－速度慢的走的路程＝环形跑道的周长。

④航行问题：顺水速度＝静水速度＋水速 逆水速度＝静水速度－水速 【说明】a、对于顺风和逆风，上述公式同样适用。

b、公式推导：顺水速度－逆水速度＝2水速

顺水速度＋逆水速度＝2静水速度

推导过程如下：

（2）数字问题

①一个两位数，若十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数可表示为10x＋y。 ②一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为100a＋10b＋c。

③一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，若在这个两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可以表示为100a＋b；若在这个两位数后面加一个0，得到一个三位数，则这个三位数可以表示为100a＋10b。

④m是一个两位数，n是一个三位数，如果把m放在n的左边得到一个五位数，则这个五位数可以表示为1000m＋n；如果把n放在m的左边得到一个五位数，则这个五位数可以表示为100n＋m。

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二、列方程组解应用题的一般步骤

1、审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系。 2、设：设未知数（一般情况下，求什么设什么）

3、找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系。 4、列：根据这两个相等关系列出两个方程，组成方程组。 5、解：解所列方程组，得到未知数的值。

6、验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际。 7、答：写出答案，包括单位名称

第6节 二元一次方程组与一次函数

一、二元一次方程和一次函数的关系

1、每个二元一次方程都可以转化成一个一次函数，反之，每个一次函数都可以转化成一个二元一次方程。

2、以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上；一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程。

3、以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。

二、二元一次方程组与一次函数

一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组，相当于确定相应两条直线的交点的坐标。 【说明】（1）两条直线的k、b都相等，两条直线重合，方程组有无数个解；

（2）两条直线的k相等，b不相等，两条直线平行，方程组无解；

（3）两条直线的k不相等，b相等，两条直线交于y轴上一点，方程组有唯一解； （4）两条直线的k、b都不相等，两条直线交于y轴以外的一点，方程组有唯一解； （5）两条直线的k、b对应成比例，两条直线平行，方程组无解。

三、用图象法解二元一次方程组

1、先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式。 2、建立平面直角坐标系，分别画出这两个一次函数的图象。

3、确定这两条直线交点的横、纵坐标，则这两个数值就是该二元一次方程组的解。

第7节 用二元一次方程组确定一次函数表达式

先设所求的一次函数的表达式为y＝kx＋b，再将两个已知点的坐标或两对x、y的值分别代入y＝kx＋b中，建立一个关于k、b的二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组求解k、b的值，从而确定一次函数表达式。这种方法叫做待定系数法。利用待定系数法确定一次函数表达式的步骤是：

1、设一次函数表达式为y＝kx＋b；

2、把已知条件代入y＝kx＋b中，得到一个关于k、b的二元一次方程组； 3、解这个二元一次方程组，求出k、b的值；

4、写出一次函数的表达式并标明自变量的取值范围。

﹡第8节 三元一次方程组

一、三元一次方程

在一个方程中含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。

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【说明】（1）方程中的“元”指未知数，“三元”就是有三个未知数。 （2）“一次”是指含有未知数的项的次数都是1，不能理解成三个未知数的次数都

是1。例如方程3xyz＋5＝0中含有三个未知数，且三个未知数的次数都是1，但含有未知数的项“3xyz”的次数是3，所以它不是三元一次方程。 （3）三元一次方程含有未知数的项必须是整式，3x＋

1＋2z＝0不是三元一次方程。 y二、三元一次方程组

1、三元一次方程组的概念

共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 【说明】组成三元一次方程组中的每一个方程不一定都是三元一次方程，也可以是二元一次方程、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。 2、三元一次方程组的解

三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解。 3、求解三元一次方程组

解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”，即把“三元”化为“二元”，再把“二元”化为“一元”。

第六章 数据的分析

第1节 平均数

一、算术平均数

1、概念：

一般地，对于n个数x1，x2，„，xn，我们把术平均数。

2、表示方法：记为x，读作“x拔”

3、意义：在日常生活中，我们常用平均数反映一组数据的集中趋势。 4、计算方法

（1）定义法：x＝(x1＋x2＋＋xn)

（2）新数据法：一般地，当一组数据x1，x2，„，xn的各个数值较大时，可将各个数据同时减去一个适当的常数a，得到一组新数据x1′，x2′，…，xn′，计算这组新数据的算术平均

1（x1＋x2＋„＋xn）叫做这n个数的算n1n二、加权平均数

如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，„，xk出现fk次（f1＋f2＋„＋fk＝n），那么这n个数的平均数可以表示为：

这样求得的平均数叫做加权平均数。其中f1，f2，„，fk分别叫做x1，x2，„，xk的权。 【说明】①权是各数据出现次数或所占比例，权越大的数据对加权平均数的影响越大。

②当数据的“权”均为1时，加权平均数即为算术平均数。

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第2节 中位数与众数

一、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

【说明】①众数在一组数据中不是唯一的，可能是一个，也可能是多个。例如数据1，2，3，

4，1的众数是1，而在数据1，2，1，1，2，3，4，3，4，3中，1和3都是这组数据的众数。但众数一定是该组数据中的数据。

②众数指一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数。

二、中位数

一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

【说明】①中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组

数据中的数据。

②求一组数据的中位数时，一定要先按大小顺序排列。当数据个数n为奇数时，

1（n＋1）个数为中位数；当数据个数n为偶数时，取2nn中间那两个数据的平均数，即第和（＋1）个数据的平均数为中位数。

22三、数据的集中趋势

取最中间那个数据，即第

第3节 用统计图分析数据的集中趋势

一、折线图中估计数据的代表

【例1】某次射击比赛，某队员的成绩如图6-3-1所示。 （1）确定10次射击成绩的众数、中位数，说说你的做法；

（2）先估计这10次射击成绩的平均数，再具体算一算，看看你的估计水平如何。

三、扇形图中估计数据的代表

【例2】小明调查了班级里20位同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图6-3-2所示的扇形统计图。

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（1）在这20位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数是多少？

（2）计算这20位同学计划购买课外书的平均花费是多少？你是怎么计算的？ （3）在上面的问题，如果不知道调查的总人数，你还能求平均数吗？

三、条形图中估计数据的代表

【例3】甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如图6-3-2所示。 （1）观察三幅图，你能从图中分别看出三支球队队员年龄的众数吗？中位数呢？

（2）根据图表你能估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、哪个小吗？你是怎么估计的？ （3）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你上面的估计是否准确？

第4节 数据的离散程度

实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。

数学上，数据的离散程度可以用极差、方差和标准差来刻画。

一、极差

1、概念：一组数据中最大数据与最小数据的差称为极差。 2、计算：极差＝最大值－最小值

3、作用：极差是刻画数据离散程度的一个统计量，极差越大，数据的波动越大，越不稳定。 【说明】①极差易受极端值的影响。②极差的单位与原数据的单位一致。

二、方差

1、概念：各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做这组数据的方差。 2、计算

3、作用：方差是刻画数据离散程度一个统计量，方差越大，数据的波动越大，越不稳定。 【说明】①方差易受极端值的影响。

②方差的单位是原数据单位的平方，使用时可以不标单位。

③一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个数后，其方差不变。也就是说，若一组数据x1，x2，…，xn的方差是S2，则数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差是S2，数据x1－a，x2－a，…，xn－a的方差也是S2。

④一组数据中的每一个数据都乘以一个相同的数后，其方差变为这个数的平方倍。

也就是说，若一组数据x1，x2，…，xn的方差是S2，则数据mx1，mx2，…，mxn的方差是m2S2，数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的方差还是m2S2。

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三、标准差

1、概念：方差的算术平方根叫做标准差。

2、计算：S＝S2 3、作用：标准差是刻画数据离散程度的一个统计量，标准差越大，数据的波动越大，越不稳定。

【说明】①标准差易受极端值的影响。

②标准差的单位与原数据的单位相同。

③一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个数后，其标准差不变。也就是说，若一组数据x1，x2，…，xn的标准差是S，则数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的标准差是S，数据x1－a，x2－a，…，xn－a的标准差也是S。

④一组数据中的每一个数据都乘以一个相同的数m后，其标准差变为原来的m倍。

也就是说，若一组数据x1，x2，…，xn的标准差是S，则数据mx1，mx2，…，mxn的标准差是mS，数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的标准差还是mS。

第七章 平行线的证明

第1节 为什么要证明

一、检验数学结论是否正确的方法

1、实验验证——直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法。 2、举出反例——常用于说明某一结论不成立。

3、推理论证——最可靠、最科学的方法，也是我们今后要掌握的重点。

二、推理证明的必要性

以前我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！ （1）如图7-1-1所示的两条线段a、b的长度相等吗？如图7-1-2所示的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。

（2）如图7-1-3所示，把地球看成球形，假如用一根比赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。

第2节 为什么要证明

一、定义

生活中，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

二、命题

1、概念：判断一件事情的句子叫做命题。

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2、组成：一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成。 （1）条件是已知的事项。

（2）结论是由已知事项推断出的事项。 3、形式：“如果„„那么„„” 4、类型：命题分为真命题和假命题 （1）真命题：正确的命题称为真命题。 （2）假命题：不正确的命题称为假命题。

【说明】①命题的定义包含两层含义：A、命题必须是一个完整的句子。B、这个句子必须

对某件事情作出肯定或否定的判断。二者缺一不可。

②只要是对某件事情作出判断，不管判断的结果是否正确，都是命题。 ③定义不仅是命题，而且是真命题。 ④要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件而不具备命题的结论，这种例子称为反例。

三、公理、证明、定理、推论

1、公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把这些公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，这些公认的真命题称为公理。 【说明】（1）公理是不需要证明的真命题。

（2）本教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，即本教材的公理有九个：

①两点确定一条直线。 ②两点之间线段最短。

③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （简述为：同位角相等，两直线平行。）

⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 ⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（简写成“边角边”或“SAS”） ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”） ⑧三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”） ⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （这一条我们将在九年级学习）

（3）此外，数与式的运算律和运算法则，等式的有关性质，不等式的有关性质都可以做为证明的出发点和依据。例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这一性质也可以做为证明的依据，称为“等量代换”。又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样可以做为证明的依据。

2、证明：除了公理外，其他真命题的正确性都要通过演绎推理的方法证实，演绎推理的过程称为证明。

3、定理：经过证明的真命题称为定理。

【说明】①定理都是真命题，而真命题不一定是定理，只有经过证明之后，才能称为定理。

②公理和定理都可以作为判定其他命题真假的依据。

（4）推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。

第3节 平行线的判定

一、判定定理

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述为：同位角相等，两直线平行。

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2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。

二、其他方法

1、平行于同一条直线的两条直线平行。

2、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 3、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（定义法）

第4节 平行线的性质

一、性质定理

1、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。

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2、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简述为：两直线平行，内错角相等。

3、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为：两直线平行，同旁内角互补。

二、其他性质

1、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（存在性和唯一性） 2、平行于同一条直线的两条直线平行。（传递性）

第5节 三角形内角和定理

一、三角形内角和定理

三角形的内角和等于180°。

二、三角形内角和定理的推论

1、直角三角形的两个锐角互余。 2、等边三角形的三个内角都是60°。

3、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 4、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 5、三角形的外角和等于360°。

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