第3章习题

3.1 微分中值定理

一、填空题

1. 在[1,3]上，函数 f(x)1x2满足拉格朗日中值定理中的_______;2. 若f(x)1x,则在(1,1)内，即f(x)在[1f(x)恒不为0，，1]不满足罗尔定理的一个条件是___________;

233*.函数f(x)ex及F(x)x2在[a,b](ba0)上满足柯西中值定条理件的，即存在点(a,b),有_________;

4.f(x)x(x1)(x2)(x3),则方程f(x)0有__________个实根，分别位于区间____________内。

二、证明3arccosxarccos(3x4x),(311x)。 22三、说明函数f(x)x3x2在区间[1，0]上满足罗尔定理的三个条件，并求出的值，使

f()0。

四、下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足就求出定理中的的值： 1.f(x)x22x3, [1,3] ； 2. f(x)x3x， [0,3]； 3 .f(x)ex251， [1,1] ； 4. f(x)lnsinx， [,]。

6632五、不求导数，判断函数f(x)x3x2x的导数有几个实根，并求他们实根的所在范围。

六、下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如果满足，找出使定理结论

成立的的值：

21. f(x)2xx1， [1,3] ； 2*. f(x)arctanx, [0,1]；

3. f(x)lnx, [1，2]。

3.2 函数的单调性与极值

一、填空题

ex1. 函数y的单调增区间是___________,单调减区间是_____________;

x2. y(x1)3x2在x1_________处有极_________值，在x2=_________

处有极__________值；

3. 方程xx10在实数范围内有___________个实根；

4. 若函数f(x)ax2bx在点x1处取极大值2，则a________,b=________;

515*.f(x)asinxsin3x,a2时，f()为极_________值;

33136. 函数f(x)x4x2(2x1)的最大值为___________,最小值为

3___________; 7. 函数f(x)8.

x1在区间0,4上的最大值为___________,最小值为___________; x1f(x)sin2xx(x处有最小值；

2)在x_________处有最大值，在x___________

9*.设f(x)ax26ax2b在区间[1,2]上的最大值为3，最小值为29，又知

a0,则a_________,b__________。二、选择题

1.下列函数中不具有极值点的是（ ）；

A、y=x B、y=x C、y=x D、y=x 2. 函数yf(x)在点x0处取极大值，则必有（ ）； A、f(x0)0 B、f(x)0

C、f(x0)0,f(x0)0 D、f(x)0或f(x0)不存在 3. 已知f(a)g(a),且当xa时，f(x)g(x),则当xa时必有（ ）。 Ａ、f(x)g(x) Ｃ、f(x)g(x)

Ｂ

2323f(x)g(x)

Ｄ、以上结论皆不成立

三、求下列函数的单调区间

１．y2x6x18x7； ２．y2xlnx； ３．y2x3228； 4*．yx2sinx(0x2)； x四．求下列函数的极值

１．yx42x2； ２．y(x1)； ３．yx48x22； 4*.yexcosx； 五、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值

231x2１．yx2x5,[2,2]； ２．y，[,1]；

21x423*．yx1x，[5,1]。

六*、要早一圆柱形油罐，体积为Ｖ，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最

小？这时底直径与高的比是多少？

3.3 曲线的凹凸与拐点

一、填空题

１.曲线yx3拐点是_____________;

2. 曲线ye1的水平渐近线的方程为_______________;

1x3x24x53. 曲线y的铅直渐近线的方程为________________; 2(x3)4. 已知f(x)二阶可导，f(x0)0是曲线yf(x)上点（x0,f(x0))为拐点的________________条件；

325*．_,b___________ 已知点(1,3)为曲线yaxbx的拐点，则a__________三、求下列函数图形的凹凸区间和拐点

324１．yx5x3x5； 2*．yx(12lnx7)；

３．ylnx； ４．y3x； ５．yx12x48x50； 6*.yex

43223.4 洛必达法则

用洛必达法则求下列函数的极限

sin3xx33x2lim１．lim3 ； ２．； x0tan5xx1xx2x11ln(1)x ； ４．lim(x1)； ３．limx1x1xarccotxlnx5*.limx(e1)； 6*.lim(lnx)；

xx1x1xsin3xx23x27*.lim； ８．lim； 3xtan3xx1x1９．limsinxsinalnx； 10.lim2；

xaxxxax21nxlnx(n0)； ； 12*.lim11.limxxlnxx013*.limxx111x(tanx)； 14*.limx0sinx；

第3章 复习题

一、填空题

1. 函数yln(x1)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的=_____________;

x2____________; 2. limxxex3*.lim(cosx)x_____________; x034. yxx3的单调递增区间为_______________,单调递减区间为_____________;

25.f(x)3x24在区间[1，2]上的最大值为_____________;最小值为

(x2)2_____________;

6. 曲线yln1(x)的凹区间为_____________,凸区间为______________,拐点为______________;

27*.曲线ysin2x的铅直渐近线为______________;

x(2x1)8*.函数yax3bx2cxd以y(2)44为极大值，函数图形以(1,10)为拐点，

b__________,c__________,d__________则a_________,；

9*.在曲线y2x2x1上求一点，使过此点的切线平行于连接曲线上的点

A(1,4)、B(3,16)所成的弦。该点的坐标是_____________;

exex210*.lim____________;

x01cosx11.曲线y2lnxx21的拐点是_____________;

12. 函数yx2cosx在区间[0，]上的最大值为______________;

21有极小值13*.设yf(x)是x的三次函数，其图形关于原点对称，且x时，2。 1，则f(x)__________二、选择题

1.f(x)x3x在[0，； 3]上满足罗尔定理的是（ ） A、0 B、3 C、

3 D、2 22*.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）；

1x2sinx B、lim1x A、limx11sinxx0sinxxsinx C、lim D、limx(arctanx)

xxsinxx2； 3*.函数yxln(1x2)在定义域内（ ） A、无极值 B、极大值为1ln2 C、极小值为1ln2 D、f(x)为非单调函数

4. 设函数yf(x)在区间[a,b]上有二阶导数，则当（ ）成立时，曲线

yf(x)在（a,b)内是凹的；

A、f(a)0 B、f(b)0 C、在(a,b)内f(x)0

D、f(a)0且f(x)在（a,b)内单调增加

5*. 若f(x)在点xa的邻域内有定义，且除点xa外恒有 则以下结论正确的是（ ）；

A、f(x)在点a的邻域内单调增加 B、f(x)在点a的邻域内单调减少

f(x)f(a)0， 2(xa) C、f(a)为f(x)的极大值 D、f(a)为f(x)的极小值

6*. 设函数f(x)在[1，2]上可导，且f(x)0,f(1)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)内（ ）；

A、至少有两个零点 B、有且只有一个零点 C、没有零点 D、零点个数不能确定 7. 设f(x)x42x25,则f(0)为f(x)在区间； [2，2]上的（ ） A、极小值 B、最小值 C、极大值 D、最大值

8*. 已知f(x)在[0，）可导，且f(0)0,f(x)0,则方程f(x)0在[0，）上（ ）；

A、有唯一根 B、至少存在一个根 C、没有根 D、不能确定有根

9. 若f(x)在(a,b)内二阶可导，且f(x)0,f(x)0,则yf(x)在(a,b)内（ ）；

A、单调增加且凸 B、单调增加且凹 C、单调减少且凸 D、单调减少且凹 10. 曲线y4x1； ( ）2(x2) A、只有水平渐进线 B、只有铅直渐进线

C、没有渐进线 D既有水平渐进线又有铅直渐进线 11*. 曲线y(x1)(x2)的拐点个数为（ ）。 A、0 B、1 C、2 D、3 三、求下列极限

22tanxxln(13x2)1. lim ； 2. lim；

x0xsinxxln(3x4)3*.limx0sinxex111xx12 ； 4. limxcot2x；

x05*.lim(lnx)x1x； 6. lim(sincos2x)x；

x0212x3xexsinx7. lim ； 8. limx。

x0sinxxecosx四、求下列函数的单调区间

1.y(x1)(x1)； 2. yxe(n0,x0)。

3nx五、求下列函数的极值

1.f(x)x2lnx； 2*.f(x)六、求下列函数的最大值与最小值

1. yx2ex(1x3) ； 2*.yx七、求函数y212x1x2。

54(x0)。 xx的单调区间、凹凸区间、极值及拐点、渐进线。

1x253八、证明方程x3xx30只有一个正根。