一次函数应用题中的“数形结合”

金山初级中学 庄士忠 201508

一次函数是反映数量关系和变化规律的数学模型；是初中数学最基本和简单的一种函数，课本是按照概念（表达式）——图象——性质——应用来展开的。学习一次函数就要学会运用待定系数法、数形结合法思想（由数到形，将条件直观化；由形到数，寻求等量关系；数形结合最终获得问题的解决方法）。而且数形结合思想在一次函数中的应用是中考的一个热点，解一次函数应用问题时，如果能“数”与“形”结合，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化。

一、由“数”到“形”，将条件直观化

例1、 速度为100千米/小时汽车由上海匀速驶往南京，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )

分析： 根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=100t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例关系，因路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．

例2、一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y(cm)与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）

y 40 O 5 A．

y 40 O 5 B．

y 40 O 5 C．

y 40 x O 5 D． x

x x 分析：本题可直接根据题意找出符合条件的图象.由这根蜡烛原长20cm，点燃后每小

时燃烧5cm，故4小时燃完.再由燃烧时剩下的长度为y(cm)，故y应是从20开始逐渐减少至0.故应选（B）.

评注：解从“数”到“形”问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函

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数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征。（必须考虑实际情况和意义）

二、从“形”到“数”，寻求等量关系

例3、小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．

（1）根据图像，写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强劳动的？ （2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；

（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？

分析：（1）这是最简单的读题，根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时， 那么20小时每小时按2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；

（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；

（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1。因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．

评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征（包括分段函数），充分挖掘图象中的已知条件，从而确定函数的解析式，再利用函数的图象性质来解．

三、“数形结合”，反复利用

例4、 学校的住校生放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．

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请结合图象，回答下列问题：

（1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）前15位同学接水结束共需要几分钟？

（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．

分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等。这是由形读数。

（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象， 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b. 因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b上, 所以函数关系式为y=-8x+96； 当x>2时，它也是一个一次函数图象， 设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k1x+b1上,

所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66， 当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．

（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；

②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t分钟开始接水，当0所以(2-t)+ 3(2t)=3(分钟).符合;

当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,

所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟。 评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题。

利用数形结合，实现数字与图形之间的相互转化，实现代数与几何之间的相互转化，也棵达到提高速度的目的；图形直观、形象，有利于分析，能够较快地找到解决问题的办法。其实，其他函数的学习也可以运用数形结合的方法，它是数学学习的很重要的手段和思想，希望大家注重运用。

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尝试练习题：

有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘。如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： y(米) 甲 60

50 乙

30

（1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时， 甲队比乙队多挖了______米； x(时) 6 2 O （2）请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式； ②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？

（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？ 参：（1）2；10；

（2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x，

由图可知，函数图象过点（6，60），∴y =10x. ②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y =k2x+b， 由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），∴y =5x＋20． ③由题意，得10x＞5x＋20，解得x＞4. 所以，4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队. （3）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时）．

设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z米，依题意，得

z60z50.1012

解得 z=110．

答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．

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