2017-2018学年广东省佛山市顺德区八年级(下)期末数学试卷

2017-2018学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D． 2．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 3．（3分）分式A．x≠2 B．x≠﹣2 C．﹣3x＞﹣3y D．＞ 有意义，x的取值范围是（ ） C．x＝2 D．x＝﹣2 4．（3分）下列因式分解正确的是（ ） A．2x+4x＝2（x+2x） C．x﹣2x+1＝（x﹣2） 2

22

2B．x﹣y＝（x+y）（x﹣y） D．x+y＝（x+y） 222225．（3分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ） A．5

B．4 6．（3分）不等式组C．6 D．4或6 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．

B． C．

D．

7．（3分）分式方程

＝0的解是（ ）

D．9

A．3 B．﹣3 C．±3

8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，

则∠ABD的度数是（ ）

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A．18°

B．36°

C．72°

D．108°

9．（3分）下列命题是真命题的是（ ）

A．平行四边形的对角线相等

B．经过旋转，对应线段平行且相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两边相等的两个直角三角形全等

10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长

为（ ） A．4

B．3 C． D．2 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）因式分解：a﹣6a+9＝ ． 12．（4分）若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是 ． 13．（4分）计算：＝ ． 214．（4分）如图，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件： ，使得△ABC≌△DCB．

15．（4分）已知x+y＝0.2，2x+3y＝2.2，则x+4xy+4y＝ ． 16．（4分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此

时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为 ． 三、解答题（每小题6分，共18分） 17．（6分）解不等式组18．（6分）先化简后求值：（﹣）÷22 ，其中x＝． 19．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．

求证：AE＝2CE． 四、解答题（每小题7分，共21分）

20．（7分）如图，A，B两点的坐标分别为（3，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1，且A1（5，b）、B1（a，3）． （1）将线段A1B1绕点A1顺时针旋转60°得线段A1B2，连接B1B2得△A1B1B2，判断△A1B1B2的形状，并说

明理由；

（2）求线段AB平移到A1B1的距离是多少？

21．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是BC上的一点，且BD＝

CD．

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（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交AB于点F； （2）连接AD，求证：AD是△ABC的角平分线．

22．（7分）甲、乙两人加工一种零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用的时间与乙加工

120个零件所用的时间相等． （1）求甲每小时加工多少个零件？

（2）由于厂家在12小时内急需一批这种零件不少于1000件，决定由甲、乙两人共同完成．乙临时有事耽搁

了一段时间，先让甲单独完成一部分零件后两人合作完成剩下的零件．求乙最多可以耽搁多长时间？

五、解答题（每小题9分，共27分） 23．（9分）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．

（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是 ； （2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1． ①求点B的坐标； ②求a的值． 24．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，

F是AD上的一点，连接BO和FO． （1）当点E为AB中点时，求EO的长度； （2）求线段AO的取值范围； （3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF． 25．（9分）如图，等边三角形ABC的边长是6，点D、F分别是BC、AC上的动点，且BD＝CF，以AD为边作

等边三角形ADE，连接BF、EF． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）连接DF，当BD的长为何值时，△CDF为直角三角形？ （3）设BD＝x，请用含x的式子表示等边三角形ADE的面积． 2017-2018学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A．

B．

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C．

D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞ 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确； C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确； 故选：C． 【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一

个负数，不等号的方向改变．

3．（3分）分式

A．x≠2

B．x≠﹣2

有意义，x的取值范围是（ ） C．x＝2

D．x＝﹣2

【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．

【解答】解：根据题意得：x+2≠0，

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解得：x≠﹣2． 故选：B．

【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．

4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）

A．2x+4x＝2（x+2x） C．x﹣2x+1＝（x﹣2）

2

2

2

2

B．x﹣y＝（x+y）（x﹣y） D．x+y＝（x+y）

【分析】各项分解得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝2x（x+2），不符合题意； B、原式＝（x+y）（x﹣y），符合题意； C、原式＝（x﹣1），不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意， 故选：B． 22

2

2

22

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

5．（3分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ） A．5

B．4 C．6 D．4或6 【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解． 【解答】解：4是底边时，腰长为（14﹣4）＝5， 此时，三角形的三边分别为4、5、5， 能组成三角形， 4是腰长时，底边为14﹣4×2＝6， 此时，三角形的三边分别为4、4、6， 能组成三角形， 综上所述，底边为4或6． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三

角形．

6．（3分）不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A．

B．

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C．

D．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．

【解答】解：解不等式1﹣x＞1，得：x＜0，

解不等式2x﹣6≤0，得：x≤3， 所以不等式组的解集为x＜0， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：

故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（3分）分式方程A．3

B．﹣3 C．±3 ＝0的解是（ ） D．9 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，代入检验即可．

【解答】解：两边都乘以x+3，得：x﹣9＝0， 解得：x＝3或x＝﹣3， 检验：当x＝3时，x+3＝6≠0， 当x＝﹣3时，x+3＝0， 所以分式方程的解为x＝3， 故选：A． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，

则∠ABD的度数是（ ） A．18° B．36° C．72° D．108° 2【分析】在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝72°，在△BCD中可求得∠DBC＝36°，可求出∠ABD．

【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

又∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝72°，

∴∠DBC＝36°，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，

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故选：B．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．

9．（3分）下列命题是真命题的是（ ）

A．平行四边形的对角线相等

B．经过旋转，对应线段平行且相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两边相等的两个直角三角形全等

【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据旋转后对应线段可能共线可对B进行判断；根据平行四边形的判定方法对C进行判断；根据直角三角形全等的判定方法对D进行判断． 【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项错误； B、经过旋转，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，所以B选项错误； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以C选项正确； D、两边对应相等的两个直角三角形全等，所以D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长

为（ ） A．4

B．3 C． D．2 【分析】根据平行四边形性质得出AB＝DC，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出

DE＝DC＝AB，得出AD＝2DE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝AB， ∵AD＝2AB＝2CD，CD＝DE，

∴AD＝2DE，

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∴AE＝DE＝3， ∴DC＝AB＝DE＝3，

故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键

是求出DE＝AE＝DC．

二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）因式分解：a﹣6a+9＝ （a﹣3） ．

【分析】本题是一个二次三项式，且a和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解． 【解答】解：a﹣6a+9＝（a﹣3）． 【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12．（4分）若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是 6 ． 【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．

【解答】解：解法一：设所求正n边形边数为n， 则120°n＝（n﹣2）?180°， 解得n＝6； 解法二：设所求正n边形边数为n， ∵正n边形的每个内角都等于120°， ∴正n边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°． 又因为多边形的外角和为360°， 即60°?n＝360°， ∴n＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形

和数据处理．

13．（4分）计算：

＝ x﹣2 ．

2222

2

【分析】根据同分母分式相加减，分子相加减，可得答案．

【解答】解：原式＝

＝x﹣2，

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故答案为：x﹣2．

【点评】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分子相加减是解题关键．

14．（4分）如图，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件： ∠ABC＝∠DCB ，使得△ABC≌△DCB． 【分析】添加∠ABC＝∠DCB再加上已知条件∠A＝∠D＝90°，公共边BC＝BC，可利用AAS判定△ABC≌

△DCB．

【解答】解：添加∠ABC＝∠DCB， ∵在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌△DCB（AAS）， 故答案为：∠ABC＝∠DCB． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

15．（4分）已知x+y＝0.2，2x+3y＝2.2，则x+4xy+4y＝ 4 ． 【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x+y＝0.2，2x+3y＝2.2， ∴x+2y＝2， 则原式＝（x+2y）＝4． 故答案为：4 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

16．（4分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此

时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为 ． 222，

【分析】先根据等边三角形的性质可得DF＝DC＝EC，∠D＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACE＝S△ACD，进而可得答案． 【解答】解：∵△CDE为等边三角形，

∴DE＝DC＝EC，∠D＝60°， 根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝6，AB＝CD＝3，

∴∠EAC＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠ECA，

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∴EA＝EC， ∴∠DAC＝30°， ∴∠ACD＝90°，

∵CD＝3，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，

∴AC＝3

，

．

∴S△ACE＝S△ACD＝×AC×CD×＝

故答案为：

．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握：平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半． 三、解答题（每小题6分，共18分） 17．（6分）解不等式组 【分析】先求出每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【解答】解：由①，得x＞﹣2， 由②，得x≤1， 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 18．（6分）先化简后求值：（﹣）÷，其中x＝． ， 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：当x＝∴原式＝

＝ ＝

?

时，

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

19．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．

求证：AE＝2CE．

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【分析】首先连接BE，由在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，继而可求得∠CBE的度数，

然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE＝2CE．

【解答】解：连接BE，

∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30° ∴BE＝2CE， ∴AE＝2CE． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 四、解答题（每小题7分，共21分） 20．（7分）如图，A，B两点的坐标分别为（3，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1，且A1（5，b）、B1（a，3）． （1）将线段A1B1绕点A1顺时针旋转60°得线段A1B2，连接B1B2得△A1B1B2，判断△A1B1B2的形状，并说明理由； （2）求线段AB平移到A1B1的距离是多少？ 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断； （2）首先证明AB⊥OB1，利用方程组求出解得E坐标，再利用两点间距离公式计算即可；

【解答】解：（1）∵B1A1＝A1B2，∠B1A1B2＝60°， ∴△A1B1B2是等边三角形． （2）由题意A1（5，1），B1（2，3）， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+2， 直线OB1的解析式为y＝x，

∵﹣×＝﹣1， ∴AB⊥OB1，设AB交OB1于E．

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由

解得

，

∴B1E＝

＝

．

【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平

移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

21．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是BC上的一点，且BD＝

（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交AB于点F； （2）连接AD，求证：AD是△ABC的角平分线． 【分析】（1）根据题意可以画出相应的图形； （2）要证明AD是△ABC的角平分线，只要证明DC＝DF即可，然后根据题意和图形，利用等积法可以求得DF的长，从而可以得到DF和DC的关系，本题得以解决． 【解答】解：（1）如右图所示； （2）证明：设CD＝a，则BD＝， CD．

∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°， ∴AC＝a+a＝（1+）a， ∴AB＝（∵）a， ， 解得，DF＝a， ∴DC＝DF＝a， ∵DC⊥AC，DF⊥AB， ∴AD是△ABC的角平分线． 【点评】本题考查基本作、角平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 22．（7分）甲、乙两人加工一种零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用的时间与乙加工

120个零件所用的时间相等． （1）求甲每小时加工多少个零件？

（2）由于厂家在12小时内急需一批这种零件不少于1000件，决定由甲、乙两人共同完成．乙临时有事耽搁

了一段时间，先让甲单独完成一部分零件后两人合作完成剩下的零件．求乙最多可以耽搁多长时间？

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【分析】（1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x﹣10）个零件，根据“甲加工150个零件所用的

时间＝乙加工120个零件所用的时间”列出分式方程，解之可得；

（2）设乙耽搁的时间为x小时，根据“甲单独做的数量+甲、乙合作的数量≥1000”列不等式求解可得．

【解答】解：（1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x﹣10）个零件，

根据题意，得：

＝

，

解得：x＝50，

经检验x＝50是分式方程的解，

答：甲每小时加工50个零件，则乙每小时加工40个零件； （2）设乙耽搁的时间为x小时， 根据题意，得：50x+（50+40）（12﹣x）≥1000， 解得：x≤2， 答：乙最多可以耽搁2小时． 【点评】本题主要考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出分式方程与一元一次不等式． 五、解答题（每小题9分，共27分） 23．（9分）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．

（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是 x＞﹣2 ； （2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1． ①求点B的坐标； ②求a的值． 【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集； （2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x＝1代入y1＝kx+b即可求得点B的坐标；

②根据点B也在函数y2＝﹣4x+a的图象上，从而可以求得a的值． 【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上， ∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，

故答案为：x＞﹣2；

（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，

∴

，得

，

∴一次函数y1＝2x+4，

∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，

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∴点B的横坐标是x＝1， 当x＝1时，y1＝2×1+4＝6， ∴点B的坐标为（1，6）； ②∵点B（1，6）， ∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，

即a的值是10．

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，

F是AD上的一点，连接BO和FO． （1）当点E为AB中点时，求EO的长度； （2）求线段AO的取值范围； （3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得BC＝AD＝3，OA＝OC，然后证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE的长； （2）利用三角形三边的关系得到AB﹣BC＜AC＜AB+BC，然后利用OA＝OC得到1＜AO＜4； （3）延长FO交BC于G点，连接EG，如图，利用平行四边形的性质得OB＝OD，BC∥AD，则可证明△OBG≌△ODF，所以BG＝DF，OG＝OF，从而得到EO垂直平分FG，则EG＝EF，然后在△BEG中利用三

角形三边的关系得到BE+BG＞EG，最后利用等线段代换得到结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝3，OA＝OC， ∵点E为AB中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∴OE＝BC＝； （2）解：在△ABC中，∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC，

而OA＝OC， ∴5﹣3＜2AO＜5+3， ∴1＜AO＜4；

（3）证明：延长FO交BC于G点，连接EG，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，

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∴OB＝OD，BC∥AD， ∴∠OBG＝∠ODF， 在△OBG和△ODF中

，

∴△OBG≌△ODF， ∴BG＝DF，OG＝OF，

∵EO⊥OF， ∴EG＝EF， 在△BEG中，BE+BG＞EG， ∴BE+FD＞EF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了三角形三边的关系． 25．（9分）如图，等边三角形ABC的边长是6，点D、F分别是BC、AC上的动点，且BD＝CF，以AD为边作

等边三角形ADE，连接BF、EF． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）连接DF，当BD的长为何值时，△CDF为直角三角形？ （3）设BD＝x，请用含x的式子表示等边三角形ADE的面积． 【分析】（1）先判断出△ABD≌△BCF得出BD＝CF，再判断出△CEF是等边三角形，进而判断出EF∥BD，

即可得出结论； （2）分两种情况，利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论； （3）先求出△ABC的面积，再判断出△CEF是等边三角形，最后用面积的差即可得出结论．

【解答】解：（1） ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，

∵BD＝CF， ∴△ABD≌△BCF（SAS），

∴BD＝CF，

如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

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∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，

∴CF＝CE， ∴△CEF是等边三角形，

∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，

∴EF∥BC， ∵BD＝EF， ∴四边形BDEF是平行四边形； （2）∵△CDF为直角三角形， ∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°， 当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°， ∴∠CDF＝30°， ∴CD＝2CF， 由（1）知，CF＝BD， ∴CD＝2BD， 即：BC＝3BD＝6， ∴BD＝2， ∴x＝2， 当∠CDF＝90°时，∵∠ACB＝60°， ∴∠CFD＝30°， ∴CF＝2CD， ∵CF＝BD， ∴BD＝2CD， ∴BC＝3CD＝6， ∴CD＝2， ∴x＝BD＝4，

即：BD＝2或4时，△CDF为直角三角形；

（3）如图，

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连接CE，由（1）△ABD≌△ACE， ∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，

∵BD＝CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EM＝

CE＝

x， x＝

x（6﹣x）

∴S△CDE＝CD×EM＝（6﹣x）×

∴BH＝CH＝BC＝3， ∴AH＝3， ∴S△ABC＝BC?AH＝9 ∴S△ADE＝S四边形ADCE﹣S△CDE ＝S△ACD+S△ACE﹣S△CDE ＝S△ACD+S△ABD﹣S△CDE ＝S△ABC﹣S△CDE ＝9＝﹣2x（6﹣x） （0≤x≤6） （x﹣3）+【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，判断出BD＝CF是解本题的关键．

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