2010年高考数学上海(文)(word版含答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学（文科） 考生注意： 1．答题前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码． 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合A13，，m，B3，4，A2．不等式B1，2，3，4，则m ． 2x0的解集为 ． 4xππsin663．行列式ππsincos66cos的值为 ． 4．若复数z12i(i为虚数单位），则zzz ． 5．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取 个个体． 6．已知四棱椎PABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA8，则该四棱椎的体积是 ． 227．圆C：xy2x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d ． 0)的距离与它到直线x20的距离相等，则8．动点P到点F(2，点P的轨迹方程为 ． 9．函数f(x)log的反函数的图像与y轴的交点坐标x3)3(是 ． 10．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）． 11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ． 开始 T9，S0 输出T，S T≤19 否 是 TT1 输入a 结束 n123n2n1234n1n1n12中，记位于第i行第j列的数12．在n行n列矩阵345n12n3n2n1为aij(i，j1，2，，n)．当n9时，a11a22a33a99 ． 13．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5，e1(2，1)、0)，任取双曲线上的点P，若OPae1be2e2(2，1)分别是两条渐近线的方向向量．（a、bR），则a、b满足的一个等式是 ． 14．将直线l1:xy10、l2:nxyn0、l3:xnyn0（nN，n≥2）围成的三角形面积记为Sn，则limSn ． n*二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 2xy≤3，x2y≤3，15．满足线性约束条件的目标函数zxy的最大值是 x≥0，y≥03 （A）1 （B） （C）2 （D）3 2π16．“x2kπ(kZ)”是“tanx1”成立的 4 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 17．若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间 （A）（0，1） （B）（1，1.25） （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 18．若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC （A）一定是锐角三角形 （B）一定是直角三角形 （C）一定是钝角三角形 （D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 已知0xππ2x，化简：lg(cosxtanx12sin)lg[2cos(x)]lg(1sin2x)． 242 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． （1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； （2）若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需要考虑骨架等因素）． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN． * （1）证明：an1是等比数列； （2）求数列Sn的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m． 2 （1）若x1比3接近0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：abab比ab接近2abab； （3）已知函数f(x)的定义域Dxxkπ，kZ，xR．任取xD，f(x) 等于1sinx和1sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）． 2233 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． x2y2已知椭圆的方程为221(ab0)，A(0，b)，B(0，b)和Q(a，0)为的三ab个顶点． （1）若点M满足AM1(AQAB)，求点M的坐标； 2 （2）设直线l1:yk1xp交椭圆于C、D两点，交直线l2:yk2x于点E．若b2k1k22，证明：E为CD的中点； a （3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆a10，b5，1)．点P的坐标是(8，若的两个交点P1、P2满足PP1PP2PQ？令椭圆上的点P1、P2满足PP1、P2的坐标． 1PP2PQ，求点P 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科）参考答案 一、填空题 1．2 2．（4，2） 3．1 4．62i 25．20 6．96 7．3 8．y28x 9．(0，2) 10．111 11．SSa 12．45 13．ab 14． 1742二、选择题 15．C 16．A 17．D 18． C 三、解答题 19．解：原式lg(sinxcosx)lg(sinxcosx)lg(1sin2x) ·································· 6分 (sinxcosx)2lg ······························································································· 8分 1sin2xlg1sin2x0． ······························································································· 12分 1sin2x20．解：（1）设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r2h)9.6， 即2rh1.2． ···················································································································· 2分 S2πrhπr2 r3 ) πr(2.42(r0.4) 3π0r0.6． ·0.6，其中······························································ 5分 1∴当半径r0.4（米）时，Smax0.48π≈1.51（平方米）． ·········································· 7分 （2）由r0.3及2rh1.2，得圆柱的高h0.6（米） ····································· 8分 主视图 左视图 0.6米 0.6米 0.6米 0.6米 0.6米 俯视图 ························· 14分 21．（1）证明：当n1时，a1S115a185， 解得a114，则a1115． 当n≥2时，Sn1(n1)5an185， ∴anSnSn115an5an1， ······················································································ 4分 5(an11)， 65∴{an1····························································· 6分 }是首项为15，公比为的等比数列． ·6∴6an5an11，即an15（2）解：an1156n1， n1n155∴Snn511585n7590． ··························································· 9分 6655由Sn1Sn得n17590n7566nnn190， 15············································································ 12分 即151.解得nlog5≈14.85. ·1566∴使得Sn1Sn成立的最小正整数n15． ········································································· 14分 2222．（1）解：由题意得x13，即3x13，解得2x2． ∴x的取值范围是（2，2）． ······························································································· 3分 （2）证明：当a、b是不相等的正数时， ············································································ 6分 a3b3(a2bab2)(ab)2(ab)0， ·223322又abab2abab，则ababab2abab0， 于是|a2bab22abab||a3b32abab|， ∴a2bab2比a3b3接近2abab． ························································································· 8分 （3）解：若|1sinx||1sinx|，即1sinx1sinx， 即sinx0，则2kπx2kππ（kZ） 同理，若|1sinx||1sinx|，则2kππx2kπ2π（kZ）． 于是，函数f(x)的解析式是 2kπx2kππ(kZ)，1sinx， ····························································· 11分 f(x)2kππx2kπ2π(kZ).1sinx，函数f(x)的大致图像如下： 5π 2π 3π 22 y 1 π πO  2π 2π 3π 22π 5π 2x 函数f(x)的最小正周期Tπ． ························································································ 12分 函数f(x)是偶函数．··········································································································· 13分 当xkππ（kZ）时，函数f(x)取得最小值0． ··················································· 14分 2函数f(x)在区间kπ，kππ（kZ）上单调递减； 2在区间kππ·························································· 16分 ，kππ（kZ）上单调递增． ·223．解：（1）设点M的坐标为(x0，y0)，由题意可知， ∵AQ(a，b)，AB(0，2b)， ∴AM1a3bAQAB，(x0，y0b)， 222∴点M的坐标为，a2b······························································································· 4分 ． ·2yk1xp， （2）证明：由x2y2得(b2a2k12)x22a2k1pxa2p2a2b20， 221，baa2k1pb2p∴CD中点坐标为2． ···································································· 7分 ，22222bakbak11b2b2k22，∴k22． ∵k1·aak1 yk1xp，2ak1pb2p2由得l1与l2的交点E的坐标为2， ，2b2222bak1bak1ya2kx，1∴l1与l2的交点E为CD的中点． ······················································································· 10分 （3）解：设OF的斜率为k1，过F作斜率为k2v的直线交椭圆于P1、P2两点． 2k1a由（2）可知，F是PP12的中点，四边形PPQP12是平行四边形，所以PP1PP2PQ，直线PP··············································································································· 13分 12即为所求． ·1)得PQ中点为S1，由a10，b5及点P(8，11OSk，的斜率． OS221521过点S且斜率k2记l与的交点为PP2，的直线l的方程是y(x2)．1、210kOS2则PP·········································································································· 15分 1PP2PQ． ·x2y21，100256，4）由解得P，P． ······················································ 18分 1（8，3）2（y1(x2)，2