安徽省安庆市石化一中八年级数学下册 第19章 四边形单元综合测验 (新版)沪科版

四边形

一、单选题（每小题4分，共40分）

1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是下方形的条件是( ) A. AC=BD，AD

CD

B. AD∥BC，∠A=∠C D. AO=CO，BO=DO，AB=BC

C. AO=BO=OC=DO，AB=BC

2、矩形的四个内角平分线围成的四边形( ) A. 一定是正方形 B. 是矩形 C. 菱形 D. 只能是平行四边形

2

3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm ，则原来的正方形铁片的面积是( )

22

A. 8cm B. cm C. 8cm D. cm

4、如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，∠APD等于( )

A. 42° B. 48° C. 52° D. 58°

5、如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范围是( )

A. 16、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于( )

A. B. C. D.

7、如下图，延长方形ABCD的一边BC至E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠AFC的度数是( )

A. 112.5°

C. 122.5°

8、如图，E是平行四边形内任一点，若S

B. 120°

D. 135°

□ABCD=8，则图中阴影部分的面积是( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9、如图，在□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为( )

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，设有以下论断：

<1>AB=BC：<2>∠DAB=90°：<3>BO=DO，AO=CO：<4>矩形ABCD；<5>菱形ABCD；<6>下方形ABCD，则下列推论中不正确的是( )

A. B. C. D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

11、如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为其各边的中点，则图中阴影部分的面积为( )。

12、如图是由5个边长为1的正方形组成了“十”字型对称图形，则图中∠BAC的度数是( )。

13、如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，以下结论：

①BE=DF；②AG=GH=HC；③ ：④S

△

ABE

=3S

△

AGE

其中正确的有( )

14、如图，是用4个相同的小矩形与一个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示表示小矩形的两边长(x>y)，请观察图案，写出用x，y表示的三个等式。

三、解答题

15、如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15°

(1)求证：△AOB为等边三角形： (2)求∠BOE度数。 16、已知：如图，在□ABCD中，BE．CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．求□ABCD的周长和面积。

17、(1)图中将两个等宽矩形重叠一起，则重叠四边形ABCD是什么特殊四边形?不需证明。 (2)若(1)中是两个全等的矩形，矩形的长为8cm，宽为4cm，重叠一起时不完全重合，试求重叠四边形ABCD的最小面积和最大面积，并请对面积最大时的情况画出示意图。

18、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，AB边上有一只小虫P，由A向B沿AB以1cm／秒的速度爬行，过P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，求：(1)矩形PECF的周长y(cm)与爬行时间t(秒)的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)小虫爬行多长时间，四边形PECF是正方形。

19、(1)如图，已知□ABCD，试用三种方法将它分成面积相等的两部分。(保留作图痕迹，不写作法)

由上述方法，你能得到什么一般性的结论？

(2)解决问题：有兄弟俩分家时，原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗?(保留作图痕迹，不写作法)

20、如图，在△ABC中，AB=BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E．求证：四边形ADBE是矩形．

21、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． (1)求证：EO=FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论。

22、已知：在△ABC中，BC>AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

(1)如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H．连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE(不需证明)． (2)当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系?请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

23、如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……，如此进行下去得到四边形A nB nC nD n。

(1)证明：四边形A1B1C1D1是矩形；

(2)仔细探索，解决以下问题：(填空)①四边形A1B1C1D1的面积为________A2B2C2D2的面积为________；②四边形AnBnCnDn的面积为________(用含n的代数式表示)；③四边形A5B5C5D5的周长为________。

参与试题解析 C

试题解析： 【分析】

本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【解答】

解：A.因为条件AD∥CD，且AD=CD不能成立，所以不能判定为正方形； B.不能，只能判定为平行四边形； C.能；

D.不能，只能判定为菱形． 故选C． A

试题解析： 【分析】

本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．由矩形的性质和角平分线证出四边形GMON为矩形，再证出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，得出OD=OC，证明△AMD≌△BNC，得出NC=DM，得出OM=ON，即可得出结论． 【解答】

解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90°， AD=BC， ∵AF，BE是矩形的内角平分线． ∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45°． ∴∠1=∠2=90°．

同理：∠MON=∠OMG=90°， ∴四边形GMON为矩形．

又∵AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD的角的平分线， ∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形， ∴OD=OC，

在△AMD和△BNC中，

∴△AMD≌△BNC（AAS）， ∴NC=DM，

∴NC-OC=DM-OD， 即OM=ON，

∴矩形GMON为正方形． 故选A． D

试题解析： 【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍．

2

可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x-2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解． 【解答】

解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x-2）=48， 解得x1=-6（舍去），x2=8，

2

那么原正方形铁片的面积是8×8=（cm）. 故选D． B

试题解析： 【分析】

本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE． 解：∵△PED是△CED翻折变换来的， ∴△PED≌△CED， ∴∠CDE=∠EDP=48°， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，

∴∠APD=∠CDE=48°， 故选B． A

试题解析： 【分析】

本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出OA-OB＜m＜OA+OB是解此题的关键.

根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OA-OB＜m＜OA+OB，代入求出即可． 【解答】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10， ∴OA=OC=6，OD=OB=5，

在△OAB中，OA-OB＜m＜OA+OB， ∴6-5＜m＜6+5， ∴1＜m＜11．

故选A． B

试题解析： 【分析】

本题考查了矩形的性质，比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．根据已知条件，可得出△AEP∽△ADC；△DFP∽△DAB，从而可得出PE，PF的关系式，然后整理即可解答本题． 【解答】

解：设AP=x，PB=3-x．

∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC； ∴△AEP∽△ABC，故

=

①；

=

②．

同理可得△BFP∽△DAB，故①+②得

=

，

∴PE+PF=. 故选B. A

试题解析： 【分析】

此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质．解题关键是熟练掌握三角形的外角的性质.

根据正方形的对角线的性质，可得∠ACD=∠ACB=45°，进而可得∠ACE的大小，再根据三角形外角定理，结合CE=AC，易得∠CEF=22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小． 【解答】

解：AC是正方形的对角线， ∴∠ACD=∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°， 又∵CE=AC，

∴∠CEF=22.5°，

∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°. 故选A． B

试题解析： 【分析】

本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系.根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影=S四边形ABCD. 【解答】 解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB

=AD•h1+CB•h2=AD（h1+h2） =S四边形ABCD

=4． 故选B. D

试题解析： 【分析】

本题考查了平行四边形的性质和三角形的面积，平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，本题解题关键是利用三角形的面积计算公式找出所求三角形与已知三角形的面积关系．

根据平行四边形的性质可知△ABC的面积是平行四边形面积的一半，再进一步确定△BEF和△ABC的面积关系即可． 【解答】

解：∵S▱ABCD=12， ∴S△ABC=∴S△ABC=得到：

S▱ABCD=6， ×AC×高=

×3EF×高=6，

×EF×高=2，

∵△BEF的面积=×EF×高=2． ∴△BEF的面积为2． 故选D． 10、C

试题解析： 【分析】

本题考查是矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形.根据矩形、菱形、正方形的判定定理对四个选项逐一分析． 【解答】

解：A.由 <1> <4>得，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确；

B.由 <3>得，四边形ABCD是平行四边形，再由 <1> ，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；

C.由 <1><2>不能判断四边形是正方形，故C错误；

D.由 <3>得，四边形是平行四边形，再由 <2>，一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确； 故选C. 11、 试题解析： 【分析】

本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．

根据正方形的性质及相似三角形的性质求得阴影部分的边长，从而即可求得阴影部分的面积． 【解答】 解：

正方形的边长为1，则CD=1，CF=，

由勾股定理得，DF=，

由同角的余角相等，易得△FCW∽△FDC，

∴CF：DF=CW：DC=WF：CF，得WF=，CW=，

同理，DS=，

∴SW=DF-DS-WF=，

∴阴影部分小正方形的面积()=.

2

故答案为.

12、45° 试题解析： 【分析】

本题考查了正方形的性质，通过作辅助线构造特殊三角形求解是解决角度问题的一般做法，要求熟练掌握.由题意知，各正方形的边长均为1，连接BC，利用角度关系可以得出△ABC为等腰直角三角形，进而得出∠BAC=45°． 【解答】

解：如图，根据题意可知，∠BAD=∠FBC、∠ABD=∠BCF， ∴∠ABD+∠FBC=90°， ∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°． 故答案为45°．

13、①②③④ 试题解析： 【分析】

本题考查了平行四边形的性质和平行线等分线段定理与全等三角形的判定，中等难度，解答此类题目的关键是熟记平行四边形的几个重要的性质．

根据三角形全等的判定，由已知条件可证①△ABE≌△CDF；继而证得②AG=GH=HC；又根据三

角形的中位线定理可证△ABG≌△DCH，得③EG=BG．而④S△ABE=3S△AGE正确，从而判断出了

答案． 【解答】

解：①在▱ABCD中，∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴ED∥BF，ED=BF， ∴四边形BFDE是▱， ∴BE=DF，

∴①是正确的；

②∵BE∥DF，在△ADH中，E是AD边的中点， ∴G是AH边的中点， ∴AG=GH，

同理可证CH=GH， 即AG=GH=HC， ∴②是正确的；

③由②的结论可判断EG=DH，

再根据已知条件及结论得AD=BC，AH=CG，∠DAC=∠BCG， ∴△ADH≌△CBG， ∴BG=DH， 故EG=BG，

∴③是正确的；

④在△ABE与△AGE中，分别以BE、GE为底边时， ∴它们的高相等，面积之比即为底边BE与GE之比， 根据③的结论，BE：GE=1：3， ∴S△ABE=3S△AGE， ∴④是正确的． 故答案为①②③④．

22

14、x+y=7，x=y+2，（x+y）=（2y+2）（答案不唯一）

试题解析： 【分析】

本题考查了列代数式.根据正方形的边长和面积列式即可． 【解答】

解：∵图案的面积为49，小正方形的面积为4， ∴图案的边长为7，小正方形的边长为2，

2222

∴可列等式可以为：x+y=7，x=y+2，（x+y） =49，（x+y） =（2y+2） ，（x+y） =4xy+4（任选三个即可）．

22

故答案为x+y=7，x=y+2，（x+y） =（2y+2） ．（答案不唯一） 15、正确答案：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO=AC=BD， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAE=45°， ∵∠CAE=15°， ∴∠BAC=60°，

∴△AOB是等边三角形；

（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°， ∴AB=BE，

∵△ABO是等边三角形， ∴AB=BO， ∴OB=BE，

∵∠OBE=30°，OB=BE，

∴∠BOE=（180°-30°）=75°． 试题解析：

本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.熟记各性质并准确识图是解题的关键．

（1）因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB，则只需求得∠BAC=60°，即可证明三角形是等边三角形；

（2）因为∠B=90°，∠BAE=45°，所以AB=BE，又因为△ABO是等边三角形，则∠OBE=30°，故∠BOE度数可求． 16、正确答案：

解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，

∴∠1=∠3=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠BCD， ∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°， ∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，

在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=13， 根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC， ∴平行四边形的周长等于：13+13+13=39．

作EF⊥BC于F．根据直角三角形的面积公式得：EF=所以平行四边形的面积==60．

即平行四边形的周长为39cm，面积为60cm2.

=，

试题解析：

本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13．根据等腰三角形的性质得到AB=CD=AD=BC=6.5，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高. 17、正确答案： 解：（1）重叠四边形ABCD是菱形．

22

（2）当菱形ABCD为正方形时，s最小=4=16(cm)；

当菱形ABCD如图时，面积最大．

222

设CD=x，根据勾股定理得x=(8-x)+4， 解得x=5．

2

∴s最大=BC×DE=5×4=20(cm)． 试题解析：

此题考查了菱形的判定方法、矩形的性质及面积的计算问题．应明白在什么情况下重叠面积最小或最大，这是此题的难点．

（1）易证ABCD为平行四边形；根据矩形等宽，说明平行四边形的各边上的高相等，利用等积表示法证明邻边相等．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证； 证明：根据矩形对边平行，可得ABCD是平行四边形； 因为矩形等宽，即ABCD各边上的高相等． 根据平行四边形的面积公式可得邻边相等， 所以ABCD是菱形；

（2）当ABCD为正方形时面积最小；当对角线重合时的菱形面积最大．分别计算求解． 18、正确答案：

解：∵小虫P由A向B沿AB以1cm／秒的速度爬行， ∴AP=tcm，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，

∴PF=AP=tcm，AC=BC÷tan30°=3÷=3cm，AF=AP=tcm，

∴PE=FC=（3-t）cm，

∴矩形PECF的周长y=2（PF+PE）=2（t+3-t）=（1-）t+6，

∴ 矩形PECF的周长y（cm）与爬行时间t（秒）的函数关系式为y=（1-）t+6； （2）当小虫爬行（9-3）秒时，四边形PECF是正方形，理由如下： 由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形， 则有PE=PF，

∵根据题意可知AP=tcm，由（1）知PF=AP=tcm，PE=FC=（3-t）cm

∴t=3-t时，四边形PECF是正方形，

解得t=9-3，

∴当小虫爬行（9-3）秒时，四边形PECF是正方形.

试题解析：

本题考查了矩形的性质，正方形的判定及解直角三角形，一元一次方程的应用.

（1）根据题意可得出PF=tcm，PE=FC=（3-t）cm，然后利用周长y=2（PF+PE）求出即可；

（2）由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，则有PE=PF，即t=3-解出方程即可. 19、正确答案：

t，

解：（1）

结论：过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成相等的两部分； （2）解：连接AC、BD相交于点O，过O、P作直线分别交AD、BC于E、F，

则一人分四边形ABFE，另一人分四边形CDEF．

试题解析：

此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形是中心对称图形．本题需仔细分析题意，结合图形，利用平行四边形的中心对称性即可解决问题． （1）1、利用平行四边形的对角线；2、连接一组对边的中点

3、过平行四边形的对称中心作一条直线即可．根据中心对称图形的性质得结论； （2）先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可 . 20、正确答案：

证明：∵D是AC的中点， ∴AD=CD，

∵AE∥BD，DE∥BC，

∴∠EAD=∠BDC，∠ADE=∠DCB， ∴△ADE≌△DCB， ∴AE=DB，

∴四边形ADBE是平行四边形， ∵AB=CB，

∴BD⊥AC即∠ADB=90°， ∴平行四边形ADBE是矩形. 试题解析：

本题考查了矩形的判定定理，即有一个角是直角的平行四边形是矩形.根据矩形的判定定理，欲证四边形ADBE是矩形，先证明四边形ADBE是平行四边形，再根据等腰三角形底边的中线垂直底边得出四边形ADBE的一个角是90°，得出四边形ADBE是矩形. 21、正确答案： （1）证明：如图，

∵CE平分∠ACB， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO， 同理，FO=CO， ∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

理由： ∵EO=FO，点O是AC的中点． ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF平分∠BCA的外角， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4=×180°=90°． 即∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形． 试题解析：

本题考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．

（1）根据平行线性质和角平分线的定义，以及等角对等边可得结论； （2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证． 22、正确答案： 解：（1）图1：∠AMF=∠ENB； 图2：∠AMF=∠ENB；

图3：∠AMF+∠ENB=180°．

（2）证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF=AD， ∴∠AMF=∠HFE，

同理，HE∥CB，HE=CB， ∴∠ENB=∠HEF. ∵AD=BC， ∴HF=HE，

∴∠HEF=∠HFE， ∴∠ENB=∠AMF.

如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF=AD， ∴∠AMF+∠HFE=180°，

同理，HE∥CB，HE=CB， ∴∠ENB=∠HEF． ∵AD=BC， ∴HF=HE，

∴∠HEF=∠HFE，

∴∠AMF+∠ENB=180°． 试题解析：

此题考查了中位线定理，平行线的性质等概念，解答此题的关键是需要作出两条辅助线．（1）（2）思路基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答即可． 23、正确答案：

（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点， ∴A1D1是△ABD的中位线，

∴A1D1∥BD，A1D1=BD，

同理：B1C1∥BD，B1C1=BD，

∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形． ∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1， ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°， ∴四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）12；6；24×；.

试题解析： 【分析】

本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解．

（1）由A 1D 1分别是△ABD的中位线，B 1C 1是△CBD的中位线知，A 1D 1∥B 1C 1，

A 1D 1=B 1C 1= BD，故四边形A 1B 1C1D 1是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A 1B 1，

BD∥A 1D 1知，四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；

（2）由三角形的中位线的性质知，B 1C 1= BD=4，B 1A 1= AC=3，故矩形

A 1B 1C 1D 1的面积为12，可以得到故四边形A 2B 2C 2D 2的面积是A 1B 1C 1D 1

的面积的一半，为6；由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变

为原来的一半，故四边形A nB nC nD n的面积为24× ；由相似图形的面积比等于相

似比的平方可得到矩形A 5B 5C 5D 5的边长，再求得它的周长． 【解答】

（1）证明见答案；

（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，

得：四边形A1B1C1D1的面积为24×=12；

四边形A2B2C2D2的面积为24×

=6；

四边形AnBnCnDn的面积为24×；

四边形A5B5C5D5的面积为24×=，

由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．边长为14， ∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1

2

∴矩形A5B5C5D5的面积：矩形A1B1C1D1的面积=（矩形A5B5C5D5的周长）：（矩形A1B1C1D1的周长）2

即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）：14，

22

∴矩形A5B5C5D5的周长=＝.

故答案为12；6；24×；.