2021年高三学业水平考试数学理试题 含答案

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2021年高三学业水平考试数学理试题 含答案

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：棱锥的体积公式：．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数对应的点位于

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则下列结论正确的是

A. B. C. D. 3.“”是“函数为奇函数的”

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 向量则

A. B. C. D.

5. 若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为--- A. B. C. D.

6. 已知约束条件表示面积为的直角三角形区域，则实数的值为

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A.1 B. C.0 D. 7. 图（1）中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画 出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A. B. C. D. 8. 已知是定义在集合

上的两个函数．对任意的,存在常数，使得，，且．则函数在集合上的最大值为 A. B.4 C. 6 D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）

9. 的展开式中的系数是 ．（用数字作答） 10. 若命题：“对”是真命题，则的取值范围是 ． 11. 设函数，若，则实数 ．

12. 图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个 数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．

13．由恒等式：．可得 ；进而还可以算出、的值，并可归纳猜想得到1n1(n1)1(n2)1(n3)1 ．（）

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，，则的最小值为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图（3），已知AB是圆O的直径，

C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，CD=4，AB=3BC， 则圆O的半径长是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

设数列是公比为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式；--- （2）若数列满足：，求数列的前n项和． 17．（本小题满分12分）

根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

（数值） 空气质量级别 空气质量类别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中

天数度污染的概率；

10（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气 86实用文档

420空气质量级别一级二级三级四级五级六级图（4）精品文档

质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列. 18. （本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 （1）若 求A的值；---

（2）若且△ABC的面积，求的值. 19．（本小题满分14分）

如图（5），已知为不在同一直线上的三点，且， .

(1)求证:平面//平面； (2)若平面，且,, 求证：A1C丄平面AB1C1

(3)在（2）的条件下，求二面角C1-AB1 -C的余弦值.

20.（本小题满分14分）

如图（6），已知是椭圆的右焦点； 与轴交于两点，其中是椭圆的左焦点. (1)求椭圆的离心率；

(2)设与y轴的正半轴的交点为，点是点关于y轴的对称点， 试判断直线与的位置关系；

(3)设直线与椭圆交于另一点，若的面积为，求椭圆的标准方程. 21．（本小题满分14分）

已知，函数 （1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：．

图（6）EOyBxFD揭阳市xx学年度高中三年级学业水平考试 数学（理科）参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难

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度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分

的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题CDAA BACC

解析：8.依题意知，两个函数的图象有共同的最低点，由，当且仅当“=”成立，故两函数

图象的最低点为（2,4），由此得，所以，在集合上的最大值为，选C.

二．填空题：9.45；10. ；11. 12. ；13.4、；14. ;15. 3. 解析：12.设被污损的数字为x（），则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得，

88899291908383879990x，解得，即当x取0,1，……，7时符合题意，故所求的概率.

13. 设x，则依题意可得解得，

类似地可得=5，……，由此可猜测1n1(n1)1(n2)1(n3)1三.解答题：

16.解：（1）设数列的公比为，由，，

得，即．-------------------------------------------------------------3分

解得或，--------------------------------------------------------------------------------------5分 ∵∴不合舍去，∴；---------------------------------------------------------6分 （2）由得

，----------------------------------------------------------8分

∴数列是首项公差的等差数列，-----------------------------------------------------9分 ∴

．-----------------------------------------------------------12分

.

17.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, ---------------------------1分

所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 .------------------------------------4分 （2）随机变量的可能取值为,----------------------------------------------------------------------5分

则,--------------------------------------------------------------------------------7分

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,--------------------------------------------------------------------------------9分

-----------------------------------------------------------------------------------11分 所以的分布列为:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）由

得-------------------------------------------------------------------2分 ,-----------------------------------------------4分

∴---------------------------------------------------------------------------------------------------6分 ∵ ∴；-----------------------------------------------------------------------------------7分

（2）解法1： ∴

∴-----------------------------------------------------------------------------8分 由得，------------------------------------------------------10分

由余弦定理得：abc2bccosA9cc2c8c，∴-----------12分 由正弦定理得：，即

.----------------------------------------------------------------------------------14分 【解法2： ∴

∴-----------------------------------------------------------8分 由得，------------------------------------------------------10分

由余弦定理得：abc2bccosA9cc2c8c，∴-----------12分 ∵，∴△ABC是Rt△，角B为直角，------------------------------13分

．--------------------------------------------------------------------------------------------14分】 【:解法3： ∴

22222222222222实用文档

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∴------------------------------------------------------------------------------8分

由得，----------------------------------------------------------10分

由余弦定理得：abc2bccosA9cc2c8c，∴----------------12分 又，得，∴.-----------------------14分】 【解法4： ∴

∴-----------------------------------------------------------------------------8分 由得，------------------------------------------------------10分 由正弦定理得：，则，--11分

22222223sinCsin(AC)sinAcosCcosAsinC,,

整理得,代入,得，-------------------------13分 由知,

．------------------------------------------------------------------------------------------------14分】 19.解：（1）证明：∵且

∴四边形是平行四边形，-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴,∵面，面

∴平面，--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分 同理可得平面,又,

∴平面//平面----------------------------------------------------------------------------------------------------4分

(2)证法1：

∵平面，平面∴平面平面，---------------------5分 平面平面=，

∵,, ∴ ∴ --------------------------6分

∴平面,---------------------------------------------------------------------------------------7分 ∴，∵∴

又,得为正方形，∴-----------------------------------8分 又,

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∴A1C丄平面AB1C1--------------------------------------------------------------------------------------------9分 【证法2：∵,, ∴ ∴，---------------5分 ∵平面， ∴平面----------------------------------------------6分 zC1A1yCAxBB1以点C为原点，分别以AC、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间 直角坐标系如图示，由已知可, , 则,------------------7分 ∵ ∴ ---------8分 又∴平面.----------------------------------------------------------9分】 (3)由（2）得,------------------------------------------------------------10分 设平面的法向量，则由得， 令得------------------------------------------------------------------------------------12分 由（2）知是平面的法向量，∴cosn,AC1nAC12321, |n||AC|102021即二面角C1-AB1 -C的余弦值为.---------------------------------------------------------------------14分 （其它解法请参照给分） 20.解：(1)∵圆过椭圆的左焦点，把代入圆的方程，得

，故椭圆的离心率；--------------------------------------------------------------3分 (2) 在方程中令得，可知点为椭圆的上顶点， 由(1)知，，故，故，--------------------------4分

在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为，则点A为，--------------------------5分 于是可得直线AB的斜率，----------------------------------------------------------6分 而直线FB的斜率，------------------------------------------------------------------7分 ∵,

∴直线AB与相切。---------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）椭圆的方程可化为

由（2）知切线的方程为------------------------------------------------------------9分

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解方程组，得点的坐标为----------------------------------11分

而点到直线的距离，-------------------------------------------------12分

由SBGD112453|BG|d(c)2(c3c)23c 221313解得，--------------------------------------------------------------------------------------------------13分 ∴椭圆的标准方程为.------------------------------------------------------------------------14分 21．解：（1）∵，------------------------------------------2分 ，考虑分子

当，即时，在上，恒成立，此时在上单调递增；

--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分 当，即时，方程有两个解不相等的实数根：，，显然，---------------4分 ∵当或时，；当时，；

∴函数在上单调递减，-------------------------------5分

在和上单调递增. -------------------------------6分 （2）∵是的两个极值点，故满足方程，

即是的两个解，∴，----------------------------------------------7分 ∵f(x1)f(x2)lnx1ax1ax2lnx2 x11x21 -------------------------------------------------9分 而在中，-----------------------------------------------10分 因此，要证明， 等价于证明 注意到，只需证明

即证------------------------------------------------------------------------------------------------12分 令，则，

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当时，，函数在上单调递增；--- 当时，，函数在上单调递减；

因此，从而，即，原不等式得证．---14分 21163 52AB 劫28391 6EE7 滧37599 92DF 鋟\\n ][z31432 7AC8 竈27414 6B16 欖27498 6B6A 歪F30177

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