【数学】广东省惠州市2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)

广东省惠州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A．{﹣2，0，1，2} C．{0，1，2} 2．函数f（x）＝A．（，1]

B．{﹣2，0，1} D．{0，1}

+lg（3x﹣1）的定义域为（ ） B．（0，1]

C．（﹣∞，）

D．（0，）

3．“a＜0”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（0，+∞）内单调递增”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要

个单位，得到函数f（x）的图象，则（ ）

B．D．

4．将函数y＝sin2x的图象向左平移A．C．

5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆相交于点A．

，则cos2α＝（ ）

B．

C．

D．

6．若a＞1，则A．最小值为3

有（ ） B．最大值为3

C．最小值为﹣1

D．最大值为﹣1

7．函数f（x）＝（x2﹣2）ln|x|的图象为（ ）

A． B． C． D．

8．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100mL的驾驶行为．一般的，成年人喝一瓶啤酒后、酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为：

（fx）＝，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）

小时才可以驾车，则n的值为（ ） （参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40．）

A．5

B．6

C．7

D．8

二、多选题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．已知θ∈（0，π），A．θ的终边在第二象限 C．

，则下列结论正确的是（ ）

B．D．

10．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（ ） A．f（x）＝x3

B．f（x）＝x2

C．

D．f（x）＝|x|

11．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c C．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d＞0，则

12．若10a＝4，10b＝25，则（ ） A．a+b＝2 C．ab＞8lg22

B．b﹣a＝1 D．b﹣a＜lg6

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分.

13．已知5lnx＝25，则x＝ ．

14．写出一个周期为π且值域为[0，2]的函数解析式： ．

15．已知函数f（x）＝，则函数y＝f（x）零点的个数为 ．

16．某房屋开发公司用14400万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高0元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成 层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为 元．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+px+12＝0}，集合B＝{x|x2﹣5x+q＝0}． （1）若集合A中只有一个元素，求p的值； （2）若A∩B＝{3}，求A∪B．

18．（12分）已知α与β都是锐角，且（1）求sin2α的值；

（2）求证：sinαcosβ＝5cosαsinβ．

，

．

19．（12分）已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）求常数a的值；

（2）若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求m的取值范围．

20．（12分）已知函数下图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）讨论函数f（x）在[π，2π]上的单调性．

的部分图象如

21．（12分）设函数f（x）＝a•2x﹣2x（a∈R）． （1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数

﹣

﹣

的零点x0；

（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．

22．（12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数

．

（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；

（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）； （2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．

【参】

一、单选题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1．D

【解析】集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1}．故选：D． 2．A

【解析】函数f（x）＝令3．A

【解析】由函数f（x）＝（x﹣a）2在（0，+∞）内单调递增， 结合二次函数图象可得a的取值范围是：a≤0，

∴“a＜0”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（0，+∞）内单调递增”的充分不必要条件． 故选：A． 4．C

【解析】若函数y＝sin2x的图象向左平移选：C． 5．C

【解析】由题意，|OP|＝则cos6．A

【解析】因为a＞1，所以a﹣1＞0， 所以

＝a﹣1+

+1≥2

+1＝3，

，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×

，

＝

．故选：C．

个单位得到y＝sin2（x+

）＝sin（2x+

）．故

+lg（3x﹣1）中，

，解得＜x≤1；所以f（x）的定义域为（，1]．故选：A．

当且仅当a﹣1＝所以7．B

，即a＝2时，等号成立，

有最小值3．故选：A．

【解析】f（﹣x）＝（x2﹣2）ln|﹣x|＝（x2﹣2）ln|x|＝f（x）， 则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D， 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B． 8．B

【解析】根据题意，f（x）＝，

则有，变形可得：n≥2ln15，

而n∈N*，则n≥6；故选：B．

二、多选题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．ACD 【解析】∵∴sinθcosθ＝−

，∴两边平方得：1+2sinθcosθ＝

，故D正确，∴sinθ与cosθ异号，

，π），故A正确，

，∴sinθ−cosθ＝，

，

又∵θ∈（0，π），∴θ∈（

∴sinθ＞cosθ，∴（sinθ−cosθ）2＝1−2sinθcosθ＝又∵sinθ+cosθ＝﹣，

∴sinθ＝，cosθ＝−，tanθ＝−，故B错误，C正确．故选：ACD． 10．BD

【解析】对于A，f（x）＝x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；

对于B，f（x）＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于C，y＝

＝

为非奇非偶函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

对于D，f（x）＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：BD． 11．AC

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A，若a＞b，c＞d，则﹣d＞﹣c，则有a﹣d＞b﹣c，A正确；

对于B，当a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2时，ac＝bd，B错误； 对于C，若ab＞0，bc﹣ad＞0，则

﹣

＞0，即﹣＞0，则有＞，C正确；

对于D，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝2，d＝1时，＝＝﹣1，D错误；故选：AC． 12．AC

【解析】∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg4，b＝lg25， ∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，b﹣a＝lg25﹣lg4＝lgab＝2lg2×2lg5＝4lg2•lg5＞8lg22＝4lg2•lg4． 故选：AC．

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分. 13．e2

【解析】∵5lnx＝25，∴lnx＝2，∴x＝e2，故答案为：e2． 14．y＝sin2x+1

【解析】函数y＝sin2x的周期为π，值域为[﹣1，1]， 则y＝sin2x+1的值域为[0，2]，故答案为：y＝sin2x+1． 15．2

【解析】函数 f（x）＝

，

＞lg6，

当x≤1时，f（x）＝0⇒x2﹣4＝0，解得x＝﹣2 （2舍去）， 当x＞1时，f（x）＝0⇒log2（x﹣1）＝0，解得x＝2， 所以函数有2个零点﹣2和2，故答案为：2． 16．15，24000

【解析】设公司应把楼层建成x层， 由题意可得，每平方米的购地费用为

每平米的建筑费用为8000+0（x﹣5）（元）， 故每平方米的平均综合费用为y＝＝

＝19200+4800＝24000，

（元），

当且仅当，即x＝15时等号成立，

故公司应把楼层建成 15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元． 故答案为：15，24000．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）全集U＝R，集合A＝{x|x2+px+12＝0}， 若集合A中只有一个元素，则Δ＝p2﹣4×1×12＝0， 解得p＝

；

（2）∵集合A＝{x|x2+px+12＝0}，集合B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，A∩B＝{3}， ∴

，解得p＝﹣7，q＝6，

∴集合A＝{x|x2﹣7x+12＝0}＝{3，4}，集合B＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}， ∴A∪B＝{2，3，4}．

18．（1）解：因为α与β都是锐角， 所以α﹣β∈（﹣又

所以α﹣β∈（0，所以cos（α﹣β）＝

，＞0，

），α+β∈（0，

），α+β∈（0，π），

＞0， ）， ＝

，sin（α+β）＝

＝，

所以sin2α＝sin[（α﹣β）+（α+β）]＝sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β） ＝×

+

×＝

．

，所以sinαcosβ﹣cosαsinβ＝①，

（2）证明：因为

因为sin（α+β）＝，所以sinαcosβ+cosαsinβ＝②， ①+②得，sinαcosβ＝①﹣②得，cosαsinβ＝故sinαcosβ＝5cosαsinβ．

19．解：（1）因为不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}， 所以﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的解， 把x＝1代入方程得（1﹣a）﹣4+6＝0，解得a＝3．

， ，

（2）若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，即3x2+mx+3≥0的解集为R， 所以Δ＝m2﹣36≤0，解得﹣6≤m≤6， 所以m的取值范围是[﹣6，6]．

20．解：（1）由图知，A＝1，最小正周期T＝（因为T＝将点（所以φ+因为|φ|≤

，所以ω＝2，

，1）代入函数的解析式中，得1＝1×sin（2•＝

+2kπ，k∈Z，即φ＝

，

）． ，

]，

+2kπ，k∈Z，

+φ），

﹣

）×4＝π，

，所以φ＝

故函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+（2）因为x∈[π，2π]，所以2x+令t＝2x+

，则t∈[

，，，

∈[]，

因为函数y＝sint在[所以f（x）在[

]上单调递减，在[]上单调递减，在[π，

，]和[]和[

，]上单调递增，

，2π]上单调递增．

21．解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称， ∴f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0， ∴a•2x﹣2x+a•2x﹣2x＝0，

即∴（a﹣1）（2x+2x）＝0，∴a＝1． •令

，则2•（2x）2+3•（2x）﹣2＝0，

﹣

﹣

﹣

∴（2x+2）（2•2x﹣1）＝0，又2x＞0，∴2•2x﹣1即x＝﹣1， •所以函数g（x）的零点为x0＝﹣1．

（2）h（x）＝a•2x﹣2x+4x+2x，x∈[0，1]， 令2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]， 对称轴当②当

，

，即a≥﹣3时，hmax（t）＝h（2）＝4+2a＝﹣2，∴a＝﹣3； ，即a＜﹣3时，hmax（t）＝h（1）＝1+a＝﹣2，∴a＝﹣3（舍）；

﹣

﹣

综上：实数a的值为﹣3．

22．解：（1）（i）f（0）＝1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）＝，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的．

（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减． （2）设清洗前衣服上的污渍为1，

用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则

，

用单位的水清洗1次，残留的污渍为，

，

∵W1﹣W2＝＝，

∴W1﹣W2 的符号由a2﹣16 决定，

当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少， 当a＝4时，W1＝W2，则两种清洗方法效果相同，

当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．