清华大学数学系硕士生入学考试试题

准考证号 系别 考试日期 2003.01 专业 考试科目 数学分析 试题内容：

一、（15分）设（20分）设f(x,y)在R2\\{(x0,y0)}上定义，limf(x,y)=A ,且xx0yy0>0使得

当0＜｜y-y0｜＜ 时，limf(x,y) Ф(y)存在。

xx0求证：lim[limf(x,y)]A

yy0,xx0二、（20分）设半径为r的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x+y+z=a(a>0) 上，问当r取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？ 三、（20分）设

2222

f0(x)C[﹣a,a](a>0), fn(x)=f0xn-1(t)dt,(n=1,2,…).

求证：{fn(x) }在[﹣a,a]上一致收敛于0.

四、（20分）设f(x,y）在R上二阶连续可微，f(x,2x）=x, f'x(x,2x）=x, 且f''xx(x,y)=

2

2

f''yy(x,y),(x,y)R2.

求：f'y(x,2x）, f''yy(x,2x) 及f''xy(x,2x). 五、（25分）设f'(0）存在，f(0)=0,xn=

f(k/nk1n2).

求证：limxn存在，且limxn＝f(0)/2.

nn六、（25分）设f(x)C[0,1]且在(0,1)上可导，且

f(1)=21/20xf(x)dx.

求证：存在（0,1)， 使得f'（）= -f()/

七、（25分）设f，g在R上连续， fοɡ(x)= ɡοf(x);xR, 并且f(x)≠ɡ(x) ,xR.

求证：fοf(x)≠ ɡοɡ(x) xR

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准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2003.01 专业 考试科目 高等代数 试题内容：

一、（20分）设f（X）=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan标准型J有几种可能？（不计Jordan块的次序） 二、（20分）设方阵

4

3

1－13A＝－6－23

－2－10A在实数域R上是否相似域对角形（即有实方阵P使P-1AP为对角形）？在复数域C上呢？给出证明。 三、（20分）判断以下论断是否成立，证明自己的判断：对任意n阶可逆方阵A，存在方阵P,L,T使得

PA=LT,其中P为对换方阵（即对换单位方阵I的某两行所得方阵）之积，L为下三角形方阵且对角线元素均为1， T为上三角形方阵。 四、（20分）任给互异复数a,b和a0，a1，a2，b0，b1，b2是否存在多项式f(x)使得

f(i)(a)ai,f(i)(i)(b)bi (i=0,1,2)？证明之。

（其中f(a)表示f(X)的次微商在a的取值）

五、（20分）设方阵

c00c11， C＝01cn1试求：（1）C的特征多项式f(X)； （2）C的极小多项式m(X); (3)与方阵C（乘法）可交换的方阵全体C。

﹡

六、（30分）1、设V是域F上n维线性空间，以V表示定义域V上的线性函数全体，试证

﹡﹡

明V对适当定义的运算是F上线性空间（称为对偶空间），求其维数dim V

﹡*

2设V1,V2为F上m,n维线性空间，:V1V2为线性映射，则有线性映射:V1V2，

﹡﹡

。若对于V1,V2的某基的方阵表示为A，试在V1,V2的ff。（称为的伴随映射）

适当基下求的方阵表示A.

3、当V1＝V2＝V为欧几里得空间时，上述化为何种形式？当V1＝V2＝V为酉空间时又如何？ 七、（20分）设ｇ,ｈ是n维欧几里得空间V上两个对称双线性型，h非退化，由下式定义V

﹡

﹡

的线性变换

:g(,)h(,())（对任意,V)。如果由n个线性无关的特

征向量，能否断定ｇ,ｈ可同时对角化（即存在V的基使ｇ,ｈ的方阵均为对角形）？反之呢？均证明之。

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准考证号 系别 考试日期 2001.1 专业 考试科目 微分方程 试题内容： 一、（共40分）求下列方程的通解 1．y'yx1

yx52222.(1x)y'xyxy 3.(1xy\"(y')10

2)2311dx201X 4.

dt112二、（20分）

1证明方程

x22ux2u2(1)a(1) ht2xhx（h>0,a>0为常数）的通解可以表示成

u(x,t)F(xat)G(xat)

hx其中F,G为任意的二次连续可微函数。 2．求方程（1）满足定解条件

ut0(x),ut0(x),tux00,0x0x t0三、（20分）证明边值问题

(p(x)y')'q(x)y(x)y0,(0xl) y(0)y(l)0,的对应于不同特征值的特征函数带权(x)彼此正交。 四、（20分）设u(x)是定解问题

－uc(x)uf(x),x u0的一个解。

(1) 如果c(x)≥C0>0其中C0为常数），则有估计

maxu(x)C01supf(x)

(2) 如果c(x) ≥0且有界，则maxu(x)Msupf(x),

其中M依赖于c(x)的界与的直径。

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准考证号 系别 考试日期 2001.1 专业 考试科目数学分析 试题内容：

一、（10分）设limana,limbnb，其中b0，

nn用ε－N

二、（20分）作

an语言证明nnblim_1xab

f(x)x2e图。

三、（15分）计算

(yL2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz，其中L是曲面

x2y2z24x与x2y22x的交线z0的部分，曲线的方向规定为从原点进入第

一挂限的方向。 四、（15分）计算lim22ij，这里x为不超过x的最大整数。 2nnnj1i12nn五、（20分）设R种数列满足an，bn满足an1bnqan，n=1,2....., 其中0（1） 若bn有界，则an有界 （2） 若bn收敛，则an收敛。

2f12

XfC(,R)：supf(x)(x)六、（20分）设其中是R中的开i1xi2(fg)(x) 集。对X中的f,g,定义d(f,g)sup(fg)(x)xixi1证明(X,d)是完备距离空间。

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准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2001.1 专业 考试科目高等数学 试题内容：

1、(1)叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦（Eisenstein）判别法”。 （2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。（20分）

﹡﹡﹡

2、设A为域F上的n阶方阵（n>2）,试求（A）(用A表示，这里A表示A的古典伴随方

﹡

阵，即A的（i,j）位元素是A的（j,i）位元素的代数余子式)。（20分）

3．设V1,V2,V3均为域F上有限维线性空间，：V1V2和：V1 V3是两个线性映射，试给出对可分解的充分必要条件，并加以证明，（“对可分解“是指：存在线性映射：V2 V3使得＝0为和的复合）（20分） 4．（1）设方阵A满足A=A(幂等方阵)，则存在可逆方阵P使

2

IRP1AP00 02

－1

（2）设方阵A满足A=I(对合方阵)，则可取可逆方阵P使PAP为何种最简形式？证明之。

2－1

（3）设方阵A满足A=0（幂零方阵），则可取可逆方阵P使PAP为何种最简形式？证明之。（20分）

5．设V是2维酉空间，是V的酉变换且其行列式det=1.证明：

-1

（1）+=Tr()为数乘变换.

（2）对任意V，内积<，>的实部只依赖于的长度

，即

e,Tr()/2.

2的行列式det和迹Tr()分别是指其方阵表示T的行列式detT和迹Tr(T)(共20（注：分)

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准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2000.1 专业 考试科目数学分析 试题内容：

一、（30分）（1）用－语言证明lim11 x1x1（2）设函数f在点可导，且f()0求

1f(a)n limnf(a)n1p2pnp（3）求极限lim,其中p>0.

nn1pxdyydxx2y2二、（15分）计算2，其中L是椭圆221沿逆时针方向， 2xyabl三、（15分）设k12232，求kyzx在条件x－yz1,z0下的最大值和最小值。 3四、（20分）设距离空间（X，d）是完备的，即（X，d）中的任何Cauchy列都收敛；:XX是压缩的，即(0,1),，使得d((x),(y))d(x,y). x,yX 证明存在唯一X，使得() 五（20

分）设是R\"中的有界闭集f:R是上半连续，即

0,x,(,x)0,当y且xy(,x)时，有f(y)f(x)，证明

f在达到最大值.