不同半径齿轮常压力角齿轮齿面啮合的分析性描述及其应用

变半径齿轮常压力角齿轮齿面啮合的分析性描述及其应用

摘要

本文提供了一种决定变半径齿轮常压力角齿轮轮齿齿面的方法。该方法能采用数控磨齿机加工特殊的齿轮。正如下面即将介绍的，将该方法应用在常半径齿轮上，将产生一个渐开线齿轮。该方法是基于描述变半径齿轮啮合的微分方程的积分基础上的。啮合点的位置是从啮合点旋转过程中开始计算的，可以自由选择，它也是轮齿通过节线的地方。单个点是以等于从原始节线点旋转的角度的角度以相反的方向旋转而得到的，这样产生了齿面。如果该方法应用在解析和数字化定义的变半径的轮上，能够计算出任何形状节线的齿轮对齿面。特殊地，还能复制带槽连接装置的运动。同样还可以获得其他变半径齿轮的齿面。结果是非常令人满意的，下面将进一步阐述。通过对一数控磨床编程控制，可以建立防转动带槽连接的等效齿轮。该方法具有很广的应用场合。比如可以控制速度法则从而确定齿轮形状，和用凸轮轴产生的一样。并且特殊的行星齿轮系列也可以获得仅通过齿轮驱动的往复运动。这一点已经实现了，齿轮的图片和结构在本文中都有所陈述。但是由于上述机构的效率较低，因此使用该技术的最好的方法看起来应将曲柄和顶杆与一对变半径齿轮相对应，这正如在Hanover大学中完成的一样。本文还介绍了一些其他的应用情况。这些齿轮的特征是在设计阶段节线的形状具有可编程性，还有速度和加速度的廓线也具有相同的特征。按照这种方法，原来只能通过电动形成的速度廓线现在只采用机械元件也可以实现。其优点是在设计的阶段可以控制惯性力的水平。

介绍

采用一个齿轮代替复杂的机械装置通常是非常有用的。这样运动和传递的动力也就更加均匀和可靠。最近在文献[1-8]介绍了几种不同的方法。但是这些方法和现在介绍的方法不是一样的，该方法允许在非均匀半径的节线上采用机械方法产生齿轮。

目前的工作是源于产生一个齿轮代替带槽连接旋转机构的需要。正在Calabria大学机械工程系开发中的新型测容量的的机器的关键内容就是介绍了一种适合通用场合的方法学。在这次研究中，推导了表示变半径齿轮啮合关系的微分方程，并已经获得专利。

该方法通过对常半径齿轮的应用获得渐开线齿轮，并通过了检验。同时也获得了防旋转带槽连接的动态等价物。采用行星齿轮链产生摆动，然后通过齿条和齿轮转化为往复运动。但是最好的方法看来是将一个简单的曲柄和顶杆机械与变半径齿轮对结合起来。

常压力角齿轮齿面啮合的分析性判断

假设A是相对于单个齿轮原点以角度θ旋转时两齿轮之间的一般接触点。假设原点置于齿轮1的中心，x方向指向齿轮2的中心。注意角度一般并不和角度AO1C相等，通常要大，对于渐开线齿面也同样适应。

通过定义常压力角，点A只能落在与x轴旋转π/2-α度方向上，并通过C点。齿轮1

彭岳华 汽车工程系 99博 译自 Journal of Mechanical Design 2000,Vol.122

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相对于齿轮2的摆动中心是点A的坐标。对应的表达式如下： xA=r(θ)+yAtanα (1)

注意压力角定义为常量，因此所有描述它的线都是平行的。假设A’是旋转一个无限小的角度dθ+θ后两个齿轮的另一个啮合点。该点一定落在从C’点开始旋转π/2-α的斜线上。在两条节线中间的摆动中心相对于齿轮原点旋转/度，节线从B点开始偏移dθ-α度，以A

‘‘

点为原点确定的点是旋转dθ度后得到的一点。直线AB与x轴之间的夹角是因为轮齿的表面必须与真实力（-a度方向）正交。但是旋转dθ后，得到新的位置。然后假设： 结果方程可以如下所示：

y A ' y C ' tan  /  x A '  x C '   / 2     c tan  (2)

C’点坐标可以表示为：

dry0;xr()C'C' d  d  (3)

其中dr/dθ是与θ相关的节线的半径的导数。将这两个公式带入方程1后，得到xA’的

表达式：

xA'yA'tanr参考直线AB，可以得到：

drd (4) dy

A'yB'/xA'xB' (5) tandtandtan/1tandtan第二个方程可以确定由dθ得到的B’点的坐标。因此就必须采用能够表述由于绕原点旋

转坐标改变的方程。在这种情况下，cosdθ=1，同时也有tandθ=sindθ=dθ。因此有 xB'xA'codsyA'sind:yB'xAsindyAcods (6)

带入方程1和5，得到：

xB'r()yA(tand):yB'r()dyA(dtan1) (7)

将上式带入方程5和6，得到：

y

A'yAr()yAtan1dtan (8) dryA'yAtandyAddtand注意dyyA'yA，并且忽略第二次微分，得到：

dy/dcosrdr/dtan (9)

2该方程是本文的关键方程，用它来产生任何形状齿轮对的齿形。只要r(θ)和dr/dθ是

已知和连续的。如果半径不变化（dr/dθ=0），上述方程简化为： dycosd (10)

该方程是渐开线节线的表达式。

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实际齿面产生

得到y(θ)的函数后，通过对对方程9的积分，通过引入y计算对应的x(θ)的坐标。然后，计算x和y 的坐标，作为啮合时接触点的坐标，然后以逆时针方向//角度旋转以获得齿廓形状。通过该方法，可以获得齿轮1的齿廓坐标

x1xAcos(i)yAsin(i)x2xAsin(i)yAcos(i) (11)

其中βi是沿着第I 个齿轮通过节线本身的转角。 为了确定齿廓我们还需计算齿轮2的参数，如果半径不均匀，这些参数和齿轮1的参数是完全不同的。其中齿轮2上的dδ和齿轮1上的dθ是对应的。△r为两齿轮中心距。τ是即时传动比。

dd (12)

显然，上述方程必须从初始条件y=0，θ=0开始积分。对于每个齿轮r(θ)和dr(θ)/dθ是已知的。最后有必要以齿轮2的中心为原点绕接触点的坐标反向旋转。可以得到：

x2rxArcosyAsiny2xArsinyAcos (13)

常半径齿轮的压力线

注意对于常半径齿轮，齿廓的描述和前面的方法的框架是一样的，由渐开线方程：

xcostantansintan (14)

ysincostantansintan其中α是压力角，θ是从渐开线开始产生的基圆上的旋转角度。为了与前面采用的微分方程得到的结果进行比较，我们需要用θ沿着作用线表示y。最后参照图2，将从角度-ε=α-θp得到的x和y 坐标旋转，其中θp=tanα。这样我们得到： -ε=α-tanα (15)

这样因为坐标轴的旋转发生改变后的表达式得到新坐标：

x'xcostanysintan (16)

y'xsintanycostan最后，为了计算沿着作用线与θ相关的y的坐标，还必须继续让每点旋转-θ度，可以得到：

x''x'cosy'sin (17)

y''x'siny'cos然后将方程14和16带入方程17,得到：

y''cos (18)

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这就是常半径微分方程的积分形式，这也是前面所说的方程有效行的进一步展示。

给定节线齿面的产生

应该清楚的是，程序首先要求接受对齿轮与节线相交的点的假设。并且当半径的变化是按照一定的数学表达式变化而不是按照解析方法变化时，就必须采用样条函数方法插值以获得一个连续函数而便于求导。

如果已经知道r(θ)的函数，就可以计算节线的长度，如果齿数已知，然后将它等分成齿数的两倍份。最后按照上述方法生成左旋和右旋齿轮的齿廓。

注意，原则上既然轮齿必须一个和另一个啮合，就没有必要知道常节线的齿轮。但是，为了简单起见，这里对这些情形也作了假设。

同时还应该注意的是，对于半径不变的齿轮，齿顶高、齿根高就失去了它们的意义。既然齿高主要受能否在齿廓本身上的第二个分支上继续生成一个齿廓，还有当在常半径齿轮上有干涉出现时。事实上，干涉点通常出现在压力线和基圆相切点后。因为与另一个齿轮渐开线共扼的区县应该是渐开线的第二个难以实现的分支。 为将该因素考虑进去，必须在程序中插入日常检查。当齿轮中心与实际啮合点之间的距离的导数变号时，对齿廓积分停止齿廓的生成。实际上这就是常半径齿轮出现的条件在渐开线难以实现的分支上。如图3所示。

另外一个值得一提的是在齿廓生产的过程中，必须假设齿轮齿数和压力角是已知的。对于常半径齿轮作用弧和节线之间的接触比是不变的。但这对于抗旋转的带槽连接等效齿轮来说是不成立的。实际上，齿数和压力角必须作为自由参数以获取所希望的连续传动比。

同时也引出两个问题：其一、如果在中心线距出现错误时齿轮怎样动作（这个结果现在仍然存在疑问，也许它们的行为和渐开线齿轮的行为一样，因此极有必要定义一个基节线的概念，但是该主体还必须进一步深入探讨。）第二个问题是在导角区域这些齿轮是怎样工作的。该问题的答案是有必要以一定的增量增加切入的深度，为了避免干涉，切入的方向应沿着上次与齿廓垂直的反向。也许这个增量少许大了点，但是对于角啮合是必要的。在任何情况下，该方法的优点是所有的数字实验可以在实际生成齿轮前进行。

抗旋转带槽连接节线的应用

完全方法论适应于抗旋转带槽连接的节线，除了旋转方向外，可以与图四中表示的旋转带槽连接一样。因为曲柄和带槽杆旋转的方向相同。对于带槽的连接，传动比的瞬时值通过以下的表达式参数化表示。

1cos/12cos (19)

2其中λ为曲柄半径R和d之间的比值（d为带槽杆中心和曲柄中心之间的距离）。注意通常传动比是正数。因为曲柄和旋转的带槽杆旋转的方向相同。但是，如果将传动比看成一个绝对值，那么就可以计算称之为抗旋转带槽连接的节线的半径。因为已经假设它以旋转带槽连接的相同速度旋转，带槽连接被相反方向旋转的轴驱动。

和曲柄连成一体的节线的半径可以由以下公式表示： r1d/1 (20)

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第二个齿轮的半径为：

r2r1/ (21)

给定一个λ，得到一条节线。只要对上述的方程进行简单地积分就可以得到齿廓。下面图示为λ＝0.5的节线齿轮中心固定，第一个齿轮的中心位于坐标原点，第二个齿轮的中心沿着x轴100毫米。同时它还表示了26度压力角和36个轮齿的常节线齿廓。而图6所示为处于不同啮合位置的啮合区域。注意与其从不同的角度显示啮合状况，还不如在给定的某一点（0度）附近显示啮合状况。

根据检测状态下的齿轮对，图7显示的是单个齿轮的作用角。如果齿轮比为1且为常半径齿轮，那么作用角就等于2π与接触角的商，（2π/z）。图8所示为下两个轮齿间以为旋角函数的变化的接触比。可以清楚看见的是，作用角和轮齿接触比随着齿数的不同变化很厉害。

数字化定义节线变半径直齿轮的产生

注意在早期阶段齿廓的生成是从解析定义的节线开始的。但是很感谢最近毕业的一个学生，是他时齿廓生成可以从数学定义开始，通过积分得到齿廓。到此为止，样条函数的 方法可以 用于保证节线的连续性和导数的连续行。这就保证能生成所希望的齿廓，唯一的困难就是轮齿阻尼。该方法论使齿轮速度齿廓具有可编程性。也许前写年只能通过突轮才能实现，但是现在它能 采用强有力的摩擦和磨损能够实现。

图9所示为通过样条函数算法计算得到的椭圆齿轮，同时还应注意，节线必须是等长的，也只能是周期性的。事实上，节线并不需要是常数，但是齿轮齿数必须居于两个齿轮的齿数之间。如果齿轮1的整个传动比是给定的，那么另一个齿轮必须和第一个齿轮保持啮合关系。

事实上，速度齿廓的可编程性指的是可以通过设计变半径的节线以获得避免采用复杂的带槽机构生成一对简单的齿轮。需要的返回行程也更短，在某个阶段中速度保持不变。那么在计算齿廓前，节线的设计必须是完全数字化的。而且，节线一旦定义好，设计者仍然可以改变单个轮齿的起始点，以找到更好的位置，比如在接触比不变点，改变齿数或压力角。

只通过齿轮传动的往复运动的产生

图10所示为一个行星齿轮链，在一个变半径齿轮的帮助下产生往复运动。该齿轮链由普通的行星齿轮系，外加一个齿条和小齿轮组成。齿链提供相对行星系三角架的运动，而行星齿轮系的第一个太阳轮则保持静止，在齿轮链中还包含一对变半径齿轮（3和4）和一对常半径齿轮（5和6）。图11为实际应用中的一个行星齿轮链。后面将介绍以此结构试验的结果。

图12位所示为由齿条和小齿轮驱动的推杆的即时速度，如果Ωp＝1，小齿轮半径等于1，该图是利用wills公式，通过对该机构末端速度的即时值的积分得到的。进而简化为： 6p0pp10 (22)

其中τ0通常作为一般齿轮链的行星齿轮系的传动比，在这里是变半径齿轮的即时传动比。从上述公式，只要

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200d2 (23)

那么Ω6将是一个纯粹的往复运动。很清楚，可以根据上述条件产生齿廓，甚至可以采用齿轮对，只要一个满足下述条件：

2020d2 (24)

作为选择，也可以不考虑该条件，而采用补偿办法，也是通过一对新齿轮以合适速度驱

动行星齿轮系的第一个齿轮，但是这样太笨重，应该尽量避免。

最后为了表明该方法的应用广泛性，图13显示了一个齿轮对的齿廓，在行星齿轮系中用齿轮3和齿轮4代替。产生//这样一个纯正弦函数输出函数，这和图14中显示的一致。其中： 010.5cos (25)

采用这些齿轮获取更为简单和有效方法产生往复运动的方法是将这些齿轮于曲柄和拉杆结构耦合使用。自然，在这种情况下使用齿轮对的好处是可以考虑曲柄和拉杆的长度，变半径齿轮的形状也可以修整以获得最终所希望的速度和加速度的精确轮廓。

如果将图9的轮齿和图13的轮齿相比较是非常有趣的。特别应注意，在右上方的齿轮齿廓首先按逆时针方向变形，然后沿相反方向变形。这是与齿轮中心连在一起的常压力角齿轮的特性。

结论

本文介绍了非圆形齿轮生成的新概念。它基于齿轮啮合的微分方程的积分以及压力角不变的假设上。该方法首先应用在方程为连续可微分的节线上，然后推广至数字化定义的齿廓上。采用该方法和三轴的数控机床，可以生成齿轮模型。进一步的开发和应用体现在四轴磨床上，以及考虑节线设计要求，用户可编程设计中，同时也可能是产生变半径斜齿轮的新技术。其它可能应用的场合包括能更简单和有效地驱动机械冲压机床。

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