高中数学人教A版选修2-1期末考试数学试题

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四川省内江市2013—2014学年度高2015届期末考试数学试题

（满分：150分 时间：120分钟）

一、选择题（共10小题，共50分） 1. 复数 11i= （ ）

A. 1i B. 1i C. 0 D. 2

2. 双曲线x23y241的渐近线方程是（ ） A. y432333x B. y4x C. y3x D. y2x 3. 设函数f(x)cosx2，则f(2)（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 4. 若平面、的一个法向量分别为m(1,0,0)，n(0,0,1)，则（ ）

A.// B.  C. 与相交但不垂直 D. 以上均不正确

5. 若椭圆

x2my261的焦距为2 ，则离心率是（ ） A.

77 B. 77或66 C. 77或55 D. 55

6. 在空间直角坐标系中，A(1,0,0)，B(2,1,1)，若点P(3,a,b)在直线AB上，则（ ） A. a1,b1 B. a1,b2 C. a2,b1 D. a2,b2

7. 椭圆x22y21的右顶点为A，直线yx与椭圆相交于B、C两点，则ABC的面积为（ ） A.

323 B. 1 C. D. 2 338. 函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(x2)f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B. 函数f(x)有极小值f(2)和极大值f(1) C. 函数f(x)有极小值f(2)和极小值f(2) D. 函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2) 9. 若函数f(x)lnx

a2(x1)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） xA. (2,) B. (2,e) C. (1,) D. (1,2]

10. 过点(1,0)的直线与抛物线y4x交于P、Q两点，若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则翻折后线段PQ 的长度的最小值等于（ ） A. 4 B.22 C. 二、填空题（共5小题，共25分）

11. 抛物线yx的准线方程是 . 2231 D. 21

x2y21交于A,B两点，F1是椭圆的左焦点，则ABF1的周长12. 已知直线x3与椭圆

2516是 .

13. 抛物线x2y上的点到直线yx1的距离的最小值是 . 14. 已知空间四点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则直线OA与平面ABC所成角的正弦值为 .

1215. 形如

yxx(x0)的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数，对x求导，

x化简. 例如：yx(x0)，等式两边分别取对数得lnyxlnx，对x求导得

1ylnx1，代y入yx 得yx(lnx1). 给出下列命题:

xx1lnxxxx0； ① 函数yxx(x0)的导函数是yx2111② 当0时，函数yxx(x0)在0,e11上单调递减，在e,上单调递增； 1上单调递减，在e,上单调递增； 1③ 当0时，函数yx(x0)在0,ex1④ 若1be，则方程b

1exx有实根.

其中的真命题是 .（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共6小题，共75分）

16.（本题满分12分）如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是AD和CC1的中点.

（1）求证：A1EBF；

B 1A 1C 1D 1（2）求异面直线A1E与CD1所成角的余弦值.

17.（本题满分12分）已知函数f(x)xx1e. （1）求曲线yf(x)在点(1,e)处的切线方程； （2）求函数f(x)在区间[2,1]上的最大值.

FABECD2xx2y218.（本题满分12分） 已知双曲线C：221(a0,b0)的焦距为4，离心率为2.

ab（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设坐标平面上有一动点P, 点P到双曲线C的右焦点的距离减去它到y轴的距离等于2 ，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

19. （本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC2，点E是PC的中点. P（1）求证：PA//平面BDE；

（2）求二面角PBDE的余弦值.

E

DC

AB

x2y220.（本题满分13分）设椭圆C : 221(ab0)左右焦点分别为F1,F2，短轴长为2，且

ab椭圆C的上顶点与点F1,F2形成一个等腰直角三角形. （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：ykxm与椭圆C交于M,N两点，直线F2M与直线F2N 的倾斜角分别为

,，且. 证明直线l过定点，并求出定点.

21.（本题满分14分）设a0，函数f(x)xalnx.

（1）当a1时，求方程f(x)0在(1,)上的实根的个数；

b恒成立，求实数b的取值范围； x11（3）若存在均属于区间[1,3]的、，且1使得f()f()，证明：. a（2）若对任意x[1,e]，不等式f(x)alnxlnx22命题人：谢林 ln2ln32

审题人：李勇