2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷(有答案解析)

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1. 设x∈R，“x＞0”是“x（x+1）＞0”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. 已知梯形ABCD，AB∥CD，设

，向量的起点和终点分别是A、B、C、D中

的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为（ ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

,乙地不下雨的概率为3. 在某段时间内,甲地不下雨的概率为

,若在这段时间内两地下雨相互,则这段时间内两地都下雨的概

率为( )

A. B.

C. D.

4. 在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，下列说法中正确的是（ ）

A. 用、、为边长不可以作成一个三角形

B. 用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形 C. 用、、为边长一定可以作成一个直角三角形 D. 用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形 二、填空题（本大题共12小题，共.0分） 5. 行列式6. 计算：7. 椭圆

的值为______

=______

的焦距长为______．

，则f（3）=______

8. 若函数f（x）的反函数为

9. 若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于______ 10. 不等式

的解集为______

，则实数a=______

11. 若等比数列{an}的前n项和12. 在

______ 13. 若函数

的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

在区间[0，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围

为______

14. 设θ∈[0，2π），若圆（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=r2（r＞0）与直线2x-y-10=0有交点，

则r的最小值为______

15. 设φ∈[0，2π），若关于x的方程sin（2x+φ）=a在区间[0，π]上有三个解，且它们

的和为，则φ=______

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16. 已知复数集合A={x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，，其

中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为______

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）

17. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为AB的

中点．

（1）求证：直线A'E平行于平面CC'D'D；

（2）求异面直线A'E与B'C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资

在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T（元）关于每次订货x（单位）的函

数关系为

，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每

次订货费．某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元．

（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费； （2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

19. 已知函数f（x）=sinx．

（1）设a∈R，判断函数（2）设函数F（x）=2f（x）-点个数的所有可能值．

的奇偶性，并说明理由；

，对任意b∈R，求y=F（x）在区间[b，b+10π]上零

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20. 双曲线

（b＞0）．

（1）若Γ的一条渐近线方程为y=2x，求Γ的方程；

（2）设F1、F2是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，求b的值；

（3）斜率为2的直线与Γ交于A、B两点，试根据常数b的不同取值范围，求线段AB中点的轨迹方程．

21. 已知以a1为首项的数列{an}满足：|an+1|=|an+1|（n∈N*）．

（1）当

时，且-1＜an＜0，写出a2、a3；

（2）若数列{|an|}（1≤n≤10，n∈N*）是公差为-1的等差数列，求a1的取值范围； （3）记Sn为{an}的前n项和，当a1=0时，

①给定常数m（m≥4，m∈N*），求Sm-1的最小值；

②对于数列a1，a2，…，a8，当S8取到最小值时，是否唯一存在满足|aj+2|=|aj-1+1|（2≤j≤6，j∈N*）的数列{an}请说明理由．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：由x（x+1）＞0，解得x＜-1或x＞0，

∵x＞0能推出x＜-1或x＞0，但由x＜-1或x＞0推不出x＞0 ∴“＞0”是“x（x+1）＞0”的充分非必要条件． 故选：A．

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 2.答案：B

解析：解：由已知有、不共线，

又起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点， 则此向量共有

=12个，

又，，，与共线， 即的个数为12-4=8， 故选：B．

由平面向量基本定理得：、不共线，又起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，则此向量共有

=12个，又，，，与共线，即的个数为12-4=8，得解．

本题考查了平面向量基本定理，属中档题． 3.答案：D

解析：【分析】

本题考查概率的求法，考查相互事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

利用相互事件概率计算公式直接求解． 【解答】

解：在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1）， 乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1）， 在这段时间内两地下雨相互， 则这段时间内两地都下雨的概率为： P=（1-P1）（1-P2）． 故选：D． 4.答案：B

解析：解：对于A．取，，，可以作成三角形，因此不正确． 对于B，不妨设a≤b≤c，则a+b＞c，

≤

≤．则0＜A≤B≤C＜π，cosC=

＞0，可

得：C为锐角，因此△ABC必然为锐角三角形．正确．

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对于C．D．由B可知C，D不正确． 因此只有B正确． 故选：B．

利用三角形三边大小关系、余弦定理，先判断A．B．的正误，进而判断出C．D的正误．

本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：-1

解析：解：由题意，可知：

=1×7-2×4=-1．

故答案为：-1．

本题可根据二阶行列式的定义进行计算．

本题主要考查二阶行列式的定义计算，本题属基础题．

6.答案：

解析：解：

=

=

=．

故答案为：．

直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．

本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查． 7.答案：2

解析：解：因为椭圆：

，所以a2=2，b2=1，所以c2=1，

所以2c=2．

所以椭圆的焦距为2． 故答案为：2．

直接利用椭圆的方程求出a，b然后求出2c，即可． 本题考查椭圆的基本性质的应用，考查计算能力． 8.答案：9

解析：解：∵f（x）的反函数为∴取f-1（x）=3，得∴f（3）=9． 故答案为：9． 要求f（3），只需在

中取f-1（x）=3，求得x值即可．

，则x=9．

，

本题考查互为反函数的两函数图象间的关系，考查函数值的求法，是基础题． 9.答案：36π

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解析：解：因为πR2=9π，所以R=3， 所以体积公式为V=

=36π．

故答案为36π．

由球主视图是圆得圆的半径，得球的体积． 本题考查球的体积公式，属于简单题． 10.答案：（-∞，-1）∪（3，+∞）

解析：解：由

＜可得|x-1|＞2，可得x-1＞2或x-1＜-2，

即x＞3或x＜-1，

故答案为（-∞，-1）∪（3，+∞）．

去分母后解绝对值不等式即可．

本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题． 11.答案：-3

解析：解：数列{an}是等比数列，①若q=1，显然②故数列{an}的公比q≠1，所以

=

，不成立．

，故q=2，

=-3，故a=-3．

故填：-3．

将等比数列的前n项和公式分类讨论即可得到结论． 本题考查了等比数列的前n项和公式，属于中档题， 12.答案：112

解析：解：由题意可得：2n=256，解得n=8．

的通项公式为：Tr+1=

令

=0，解得r=2．

=112．

=（-2）r

．

∴常数项=

故答案为：112．

由题意可得：2n=256，解得n，利用通项公式即可得出．

本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13.答案：m≤

解析：解：由题意可知f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴当x＞1时，f（x）=lg|x-m|=lg（x-m）， x-m＞0在（1，+∞）上恒成立． ∴m≤1，

又f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴lg（1-m）≥-1，解得m≤． ∴m的取值范围是：m≤．

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故答案为：m≤．

由f（x）在（1，+∞）上单调递增可得x-m＞0在（1，+∞）上恒成立，求得m≤1，由f（x）在（0，+∞）上单调递增可得lg（1-m）≥-1，从而可求得m的范围． 本题考查了分段函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题． 14.答案：

解析：解：根据题意，圆（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=r2（r＞0）的圆心为（cosθ，sinθ）， 则圆心到直线2x-y-10=0的距离d=

=

，

若圆与直线有交点，则d≤r， 又由-≤2cosθ-sinθ≤， 则2-1≤d≤2+1，

则有r≥2-1，即r的最小值为2-1， 故答案为：2-1．

根据题意，分析圆的圆心，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得d≤r，结合三角函数的性质分析d的范围，即可得答案．

本题考查直线与圆的位置关系，涉及三角函数的最值，属于基础题．

15.答案：或

解析：解：函数的周期为π，若方程sin（2x+φ）=a在区间[0，π]上有三个解， 则三个解必有x=0，和x=π，

另外一个根m可能与x=0关于对称轴对称，或者与x=π对称， 由2x+φ=kπ+，

得x=+-，

若k=0则对称轴为x=-，此时m与0关于为x=-对称， 则m=2（-）=-φ， 则三个根之和为0+-φ+π=， 得φ=，

若k=1，则对称轴为x=-，此时m与0关于为x=-对称， 则m=2（-）=-φ，

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则三个根之和为0+-φ+π=， 得φ=， 综上φ=或， 故答案为：或．

求出函数的周期，结合方程在区间[0，π]上有三个解，则等价为x=0和x=π是方程的两个解，结合对称性求解第三个解即可． 本题主要考查函数与方程的应用，结合三角函数在一个周期内的性质，得到为x=0和x=π是方程的两个解以及通过三角函数的对称性进行求解是解决本题的关键．综合性较强．

16.答案：

解析：解：集合A={x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，

z2=（1+i）z1=（cos+isin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，如图：

所以所求图形的面积为故答案为：

-4×=-1=，

集合A={x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界， z2=（1+i）z1=

（cos+isin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，

再用正方形PQRS的面积减去4个等腰直角三角形的面积可得． 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属中档题． 17.答案：证明：（1）取CD中点F，连结D′F，

∵在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为AB的中点． ∴A′E∥D′F，

∵A′E⊄平面CC'D'D，D′F⊂平面CC'D'D，

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∴直线A'E平行于平面CC'D'D．

解：（2）∵A′D∥B′C，∴∠DA′E是异面直线A'E与B'C所成角（或所成角的补角）， ∵A′E=DE=∴cos∠DA′E=

=

，A′D==

=

=2． ．

，

∴异面直线A'E与B'C所成角为

解析：（1）取CD中点F，连结D′F，推导出A′E∥D′F，由此能证明直线A'E平行于平面CC'D'D．

（2）由A′D∥B′C，得∠DA′E是异面直线A'E与B'C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A'E与B'C所成角．

本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.答案：解：（1）由题意，A=6000，B=120，C=2500， 则T（x）=T（300）=（2）T（x）=当且仅当60x=

=68000；

=60000．

，即x=500时，Tmin=60000．

；

故每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元．

解析：（1）由已知可得A，B，C的值，代入已知函数关系式化简即可； （2）直接利用基本不等式求最值．

本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

19.答案：解：（1）g（x）=asinx+sin（x+）=asinx+cosx，

由g（-x）=-asinx+cosx，

得若a=0，则g（-x）=g（x）=cosx，即此时g（x）为偶函数， 当a≠0时，g（x）为非奇非偶函数， 综上a=0，偶函数；a≠0，非

奇非偶函数；

（2）F（x）=2f（x）-由F（x）=2f（x）-

=2sinx-，

=0得sinx=，

区间[b，b+10π]的长度为10π，对应5个周期，

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则每个周期[0，2π）内满足sinx=的根有两个， 若sinb=，则在5个周期内的交点个数为11个， 若sinb≠，则在5个周期内的交点个数为10个，

即y=F（x）在区间[b，b+10π]上零点个数可能有10或11个．

解析：（1）求出g（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义进行讨论即可．

（2）求出y=F（x）解析式，结合函数与方程之间的关系转化为sinx=，区间[b，b+10π]的长度为10π，对应5个周期，结合每个周期内交点个数进行判断即可． 本题主要考查函数与方程的应用以及函数奇偶性的判断，结合函数的定义以及函数与方程之间的关系转化为sinx=在区间[b，b+10π]内根的个数是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．

bx， 20.答案：解：（1）由渐近线方程为y=±

又Γ的一条渐近线方程为y=2x，可得b=2， 可得双曲线的方程为

；

（2）可设|PF1|=m，|PF2|=n，即有|m-n|=2a， PF1⊥PF2，可得m2+n2=4c2， 则4c2-2mn=4a2，即mn=2b2， △PF1F2的面积为9，即为mn=b2=9，

解得b=3；

（3）设斜率为2的直线方程设为y=2x+t， 代入双曲线方程可得（b2-4）x2-4tx-t2-b2=0，

△=16t2+4（b2-4）（t2+b2）＞0，化为t2+b2-4＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=AB中点坐标为（

，

），

，

消去t，可得中点的轨迹方程为y=x， 当b＞2时，△＞0恒成立，即有当0＜b＜2时，即有

（x＞

（x∈R）； 或x＜-）．

解析：（1）由双曲线的渐近线方程可得b；

（2）可设|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义和勾股定理，三角形的面积公式，可得所求值；

（3）设斜率为2的直线方程设为y=2x+t，代入双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及判别式大于0，即可得到所求轨迹方程． 本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是渐近线方程，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．

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21.答案：解：（1）当

∴|a2|=|a1+1|=，∴a2=-． 同理可得：a3=-．

时，且-1＜an＜0，∴0＜1+an＜1，

（2）数列{|an|}（1≤n≤10，n∈N*）是公差为-1的等差数列， ∴|an|=|a1|-（n-1）≥0，∴|a1|≥n-1． n=10时，|a1|≥9，

∵|an+1|=|an+1|（n∈N*）． ∴an+1=±（|a1|-n），正号不成立， ∴an=-|a1|+n-1≤0． ∴a1≤-9．

（3）当a1=0时，an+1=±（an+1）． a2=±1，a3=±2，或0．a4=±3，±1．……． ∴①m为奇数，最小值=0-1+0-1-……-1+0=m为偶数，最小值=0+1-2+3-……-（m-2）=

， ．

②不唯一，S8=-4，例如0、-1、0、-1、0、-1、0、-1．和0、1、-2、1、-2、1、-2、-1均符合．

解析：（1）当

时，且-1＜an＜0，可得0＜1+an＜1，|a2|=|a1+1|=，可得a2=-．同

理可得：a3．

（2）数列{|an|}（1≤n≤10，n∈N*）是公差为-1的等差数列，由|an|=|a1|-（n-1）≥0，可得|a1|≥n-1．n=10时，|a1|≥9，由|an+1|=|an+1|（n∈N*）．可得an+1=±（|a1|-n），正号不成立，因此an=-|a1|+n-1≤0．即可得出．

1，a3=±2，或0．a4=±3，±1．……． （3）当a1=0时，an+1=±（an+1）．a2=±

可得①m为奇数，最小值=0-1+0-1-……-1+0，m为偶数，最小值=0+1-2+3-……-（m-2）． ②不唯一，S8=-4，例如0、-1、0、-1、0、-1、0、-1．和0、1、-2、1、-2、1、-2、-1均符合．

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、绝对值应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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