【典型例题】
【例1】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况讨论。（3）当△AOH是等腰三角形时，分为三种情况，列方程求t的值。
【例2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）求CD的长；
（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s的速度运动，
连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．
【思路点拨】（1）作辅助线：过D点作DH⊥BC。（2）分Q在CD和Q在DA上两种情况讨论。（3）要使运动过程中出现PQ∥DC，根据平行四边形判定，只要考虑QD＝PC即可。
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，
BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；
2
1
同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)．
(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
(2)设四边形PQCM的面积为ycm，求y与t之间的函数关系式；
9
(3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说
16明理由；
(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出 此时t的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】(1) 假设四边形PQCM是平行四边形，从而推出结论。（2）把梯形的上下底和高用t来表示。（3）在假设S
四边形PQCM2
9
＝S△ABC的条件下，16
求出t，讨论。（4）在假设点M在线段PC的垂直平分线上，求出此时t的值。
【例4】已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．
（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT； （3）如图（3），设PT=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值．
2
【思路点拨】（1）连接OT。（2）连接AT。（3）连接OP、OT，应用勾股定理，可得出
y与x之间的关系式。
1、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC
＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm． (1)当t＝1s时，S的值是多少？
2
2
(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、 F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P沿A--B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，
PA Q的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的
三角形) 解答下列问题：
(1) 当x=2s时，y=_____ cm;当x=
2
9 s时，y=_______ 2cm
(2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y与x之间的函数关系式。 (3）当动点P在线段BC上运动时，求出y2
4S梯形ABCD时x的值。 15（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角．．线平行的所有x的值．
3、（江苏淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP
3
＝2。.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是 ； 当t＝3时，正方形EFGH的边长是 ； （2） 当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3） 直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？ ．．．．．．．
4、用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
4
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容