一．选择题（共7小题）
1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ） A． cm
B．
cm
C．
cm或
cm
D．
cm或
cm
2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（
A． 2 B． 4
C． 6
D． 8
3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（
A． 6 B． 5
C． 4
D． 3
4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ）
A． OE=BE
B．
=
C． △BOC是等边三角形
D． 四边形ODBC是菱形
）
）
专业.专注
5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）
A． 40cm
6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
B． 60cm
C． 80cm
D． 100cm
A．
7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（ ）
B． 1
C． 2
D． 2
A． （5，4）
二．解答题（共7小题）
. 学习参考 .
B． （4，5） C． （5，3） D． （3，5）
专业.专注
8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，（1）求AB的长； （2）求⊙O的半径．
，
10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．
（1）求证：OC=OF； （2）求证：AB=DE．
11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
. 学习参考 .
专业.专注
12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB． （1）求证：四边形AEOF为菱形； （2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．
13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．
14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．
. 学习参考 .
专业.专注
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ） A．
考点： 垂径定理；勾股定理．
cm B． cm C． cm或cm D． cm或cm
专题： 分类讨论．
分析： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 解答： 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM=
=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=
. 学习参考 .
==4cm；
专业.专注
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在Rt△AMC中，AC=故选：C．
=
=2
cm．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A． 2
考点： 垂径定理；勾股定理．
B． 4 C． 6 D． 8
专题： 计算题．
分析： 根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的
长．
解答： 解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5， ∴OE=3，
. 学习参考 .
专业.专注
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4， ∴AB=2BE=8． 故选：D．
点评： 本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可． 解答： 解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O， ∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．
点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ）. 学习参考 .
）
专业.专注
A． OE=BE
C． △BOC是等边三角形
考点： 垂径定理．
B． =
D． 四边形ODBC是菱形
分析： 根据垂径定理判断即可． 解答： 解：∵AB⊥CD，AB过O，
∴DE=CE，
=
，
根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形． 故选：B．
点评： 本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）
A． 40cm
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
B． 60cm C． 80cm D． 100cm
分析： 连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，
进而可得出ME的长．
. 学习参考 .
专业.专注
解答： 解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm， ∴OA=OE=100cm，AM=80cm， ∴OM=
=
=60cm，
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm． 故选：A．
点评： 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．
考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．
B． 1 C． 2 D． 2
分析： 作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的
交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=值．
. 学习参考 .
OA，即为PA+PB的最小
专业.专注
解答： 解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′， ∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°， ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON=∠AON=×60°=30°， 由对称性，∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=
OA=
×1=
， ．
即PA+PB的最小值=故选：A．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作
辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．
7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（ ）
. 学习参考 .
专业.专注
A． （5，4）
B． （4，5） C． （5，3） D． （3，5）
考点： 坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．
专题： 压轴题．
分析： 因为点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，所以OB=2，
OC=8，BC=6，连接AD，则AD⊥OD，过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3，所以OE=AD=5，再连接AB，则AB=AD=5，利用勾股定理可求出AE=4，从而就求出了A的坐标．
解答： 解：连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，
∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D， ∴OB=2，OC=8，BC=6， ∵⊙A与y轴相切于点D， ∴AD⊥OD，
∵由垂径定理可知：BE=EC=3， ∴OE=AD=5， ∴AB=AD=5，
利用勾股定理知AE=4， ∴A（5，4）． 故选A．
点评： 本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题．
. 学习参考 .
专业.专注
二．解答题（共7小题）
8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此
可得出结论．
解答： 解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=AB=×8=4cm， ∵⊙O的直径为10cm， ∴OB=×10=5cm， ∴OE=
=
=3cm，
∵垂线段最短，半径最长， ∴3cm≤OP≤5cm．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，
，
. 学习参考 .
专业.专注
（1）求AB的长； （2）求⊙O的半径．
考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出
=，故可得出∠C=∠AOD，由对顶角相等得出
∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．
解答： 解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
=
，AF=BF，
∴∠C=∠AOD， ∵∠AOD=∠COE， ∴∠C=∠COE， ∵AO⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠C=30°， ∵BC=2
，
， ；
∴BF=BC=∴AB=2BF=2
（2）∵AO⊥BC，BC=2
. 学习参考 .
，
专业.专注
∴CE=BE=BC=∵∠C=30°， ∴OC=
=
，
=2，即⊙O的半径是2．
点评： 本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．
（1）求证：OC=OF； （2）求证：AB=DE．
考点： 垂径定理；全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）、由同角的余角相等可得，∠DFO=∠OCA，由AAS证得△ACO≌△DFO，故有OF=OC；
（2）、证得∠DOE=∠AOB，再由SAS得到△OAB≌△ODE⇒AB=DE．
解答： 证明：（1）∵∠D+∠DCA=∠D+∠DFO=90°，
∴∠DFO=∠OAC．
又∵OD=OA，∠DOF=∠AOC=90°， ∴△ACO≌△DFO． ∴OF=OC．
（2）连接OB、OE，
. 学习参考 .
专业.专注
∵OE=OD，OA=OB， ∴∠D=∠E，∠A=∠B．
∴∠DOE=180°﹣2∠D，∠AOB=180°﹣2∠A． 由1知，△ACO≌△DFO，有∠A=∠D． ∴∠DOE=∠AOB． 又∵OE=OD=OA=OB， ∴△OAB≌△ODE． ∴AB=DE．
点评： 本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．
11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
考点： 垂径定理的应用．
分析： 作半径OC⊥AB，连接OA，则CD即为弓形高．根据垂径定理的AD=AB，然后根据已知条件求出CD的
长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P，由此可得OP=0.3，然后根据MN
. 学习参考 .
专业.专注
与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答．
解答： 解：（1）作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高
∵OC⊥AB， ∴
∵AO=0.5，AB=0.6， ∴AD=AB=×0.6=0.3， ∴OD=
=
=0.4，
∴CD=OC﹣OD=0.5﹣0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米
（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P 同理可得OP=0.3，
当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米； 当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．
点评： 本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB． （1）求证：四边形AEOF为菱形； （2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．
. 学习参考 .
专业.专注
考点： 菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定
理．
专题： 证明题．
分析： （1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，连接OC，根据等腰三角形的性质证出
∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案； （2）根据角平分线定理求出OQ=OM，根据勾股定理求出BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论．
解答： 证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，连接OC，
∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABO=∠ACO， ∵∠BAC=∠ABO， ∴∠BAC=∠ABO=∠ACO， ∵OE=OB，OC=OF，
∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC， ∴∠BAC=∠OEB=∠OFC， ∴AE∥OF，AF∥OE，
∴四边形AEOF是平行四边形，
. 学习参考 .
专业.专注
∵OE=OF，
∴平行四边形AEOF为菱形．
（2）∵圆O过B、C， ∴O在BC的垂直平分线上， ∵AB=AC， ∴AM⊥BC，
∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB， ∴OQ=OM，
∴由勾股定理得：BM=BQ， 由垂径定理得：BE=BC．
点评： 本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平
行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．
13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．
考点： 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
. 学习参考 .
专业.专注
专题： 压轴题．
分析： 可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的
值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．
解答： 解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，
∵AB=AC=13， ∴
=
，
∴∠AOB=∠AOC， ∵OB=OC，
∴AO⊥BC，CD=BC=12 在Rt△ACD中，AC=13，CD=12 所以AD=设⊙O的半径为r
则在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r 所以（r﹣5）2+122=r2 解得r=16.9．
答：⊙O的半径为16.9．
点评： 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．
14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．
. 学习参考 .
专业.专注
考点： 垂径定理的应用．
分析： 根据题意，可以推出AD=BD=30，若设半径为r，则OD=r﹣10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的
值．
解答： 解：∵OC⊥AB，
∴AD=DB，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2， 设半径为r得：r2=（r﹣10）2+302， 解得：r=50，
∴这段弯路的半径为50m．
点评： 本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
. 学习参考 .
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