数列同步练习及详解答案

Ⅰ 学习目标

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.

3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．数列{an}的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{an}的通项公式可以是( )

(A)an＝4n (C)an＝

(B)an＝4n (D)an＝4×11n

4n

(10－1) 92．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是( )

(A)30 (A)4 (A){n2＋1} (A)递增数列 二、填空题

6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：

(1)1,,,,,,an＝________； (2)0，1，0，1，0，…，an＝________.

(B)35 (B)13 (B){n2－1} (B)递减数列

(C)36 (C)28 (C){n2＋n} (C)先减后增数列

(D)42 (D)43 (D){n2＋n－1} (D)以上都不对

3．数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋3n，则a4等于( ) 4．156是下列哪个数列中的一项( )

5．若数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则数列{an}是( )

21213253n27．一个数列的通项公式是an＝2.

n1(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.

8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋1，则a4＝________. 9．数列{an}的通项公式为an1(n∈N*)，则a3＝________.

123(2n1)10．数列{an}的通项公式为an＝2n2－15n＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题

11．已知数列{an}的通项公式为an＝14－3n.

(1)写出数列{an}的前6项； (2)当n≥5时，证明an＜0.

n2n112．在数列{an}中，已知an＝(n∈N*).

3(1)写出a10，an＋1，an2； (2)79

2是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 31，设an＝f(n)(n∈N＋). x13．已知函数f(x)x(1)写出数列{an}的前4项；

(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？

等差数列同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝an－2，则a100等于( )

(A)98 (A)667 (A)15

(B)－195 (B)668 (B)30

(C)－201 (C)669 (C)31

(D)－198 (D)670 (D)64

2．数列{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2008，那么n等于( ) 3．在等差数列{an}中，若a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )

4．在a和b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( )

(A)

ba n(B)

ba n1(C)

ba n1(D)

ba n25．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )

(A)S4＜S5 二、填空题

6．在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项是________.

7．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，那么a5＋a6＝________. 8．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若S17＝102，则a9＝________. 9．如果一个数列的前n项和Sn＝3n2＋2n，那么它的第n项an＝________.

10．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，设{an}的前n项和是Sn，则S10＝________. 三、解答题

11．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．求数列{an}的通项公式. 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50.

(1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n.

13．数列{an}是等差数列，且a1＝50，d＝－0.6．

(1)从第几项开始an＜0；

(2)写出数列的前n项和公式Sn，并求Sn的最大值.

Ⅲ 拓展训练题

14．记数列{an}的前n项和为Sn，若3an＋1＝3an＋2(n∈N*)，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，求S100．

(B)S4＝S5

(C)S6＜S5

(D)S6＝S5

等比数列同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝2an，则a4等于( )

(A)

3 8(B)24 (C)48 (D)54

2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )

(A)33

(B)72

(C)84

(D)189

3．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于( )

(A)4

(B)

3 2(C)

16 9(D)3

4．在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则{an}的前四项和为( )

(A)81

－

(B)120 (B)①④

(C)168 (D)192

5．若数列{an}满足an＝a1qn1(q＞1)，给出以下四个结论：

①{an}是等比数列； ③{an}是递增数列； 其中正确的结论是( ) (A)①③ 二、填空题

6．在等比数列{an}中,a1，a10是方程3x2＋7x－9＝0的两根，则a4a7＝________. 7．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝3，a3＋a4＝6，那么a5＋a6＝________. 8．在等比数列{an}中，若a5＝9，q＝9．在

(C)②③

(D)②④

②{an}可能是等差数列也可能是等比数列； ④{an}可能是递减数列.

1，则{an}的前5项和为________. 2827和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.

2310．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝________. 三、解答题

11．已知数列{an}是等比数列，a2＝6，a5＝162.设数列{an}的前n项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)若Sn＝242，求n.

12．在等比数列{an}中，若a2a6＝36，a3＋a5＝15，求公比q.

13．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.

Ⅲ 拓展训练题

14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下

都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数，其中a24＝a11 a21 a31 a41 … ai1 … a12 a22 a32 a42 … ai2 … a13 a23 a33 a43 … ai3 … a14 a24 a34 a44 … ai4 … a15 a25 a35 a45 … ai5 … … 15，a42＝1，a54＝.

168… … … … … a1j a2j a3j a4j … aij … … … … … … … (1)求q的值； (2)求aij的计算公式.

数列求和同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )

(A)15

2．若数列{an}是公差为

(A)60

(B)17

(C)19

(D)21

1的等差数列，它的前100项和为145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( ) 2(B)72.5

(C)85

(D)120

3．数列{an}的通项公式an＝(－1)n1·2n(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则S100等于( )

(A)100 4．数列(B)－100

(C)200

(D)－200

－

1的前n项和为( )

(2n1)(2n1)(B)

(A)

n 2n12n 2n1(C)

n 4n2(D)

2n n15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2＝an＋3(n＝1，2，3，…)，则S100等于( )

(A)7000 二、填空题 6．

(B)7250

(C)7500

(D)14950

1211321431n1n＝________.

7．数列{n＋

1}的前n项和为________. 2n2228．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an，则a1＋a2＋…＋an＝________. 9．设n∈N*，a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an＝________. 10．1111123nn＝________. 2482三、解答题

11．在数列{an}中，a1＝－11，an＋1＝an＋2(n∈N*)，求数列{|an|}的前n项和Sn.

12．已知函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*，x∈R)，且对一切正整数n都有f(1)＝n2成立.

(1)求数列{an}的通项an； (2)求

111. a1a2a2a3anan113．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝1111n1，求数列的前n项和Sn. 242Ⅲ 拓展训练题

14．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和公式.

数列综合问题同步练习测试题

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1．等差数列{an}中，a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于( )

(A)3 (A)5 (A)a1a8＞a4a5 (C)a1＋a8＞a4＋a5

(B)2 (B)10

(C)－2 (C)15 (B)a1a8＜a4a5 (D)a1a8＝a4a5

(D)2或－2 (D)20

2．等比数列{an}中，an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5等于( ) 3．如果a1，a2，a3，…，a8为各项都是正数的等差数列，公差d≠0，则( )

4．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an(n

∈N*)，则该函数的图象是( ) 5．已知数列{an}满足a1＝0，an1an3(n∈N*)，则a20等于( )

3an1(A)0 二、填空题

(B)－3 (C)3

(D)

3 21a,12n6．设数列{an}的首项a1＝，且an14a1,n4n为偶数,则a2＝________，a3＝________.

n为奇数.7．已知等差数列{an}的公差为2，前20项和等于150，那么a2＋a4＋a6＋…＋a20＝________.

8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成

________个.

9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n(n∈N*)，则an＝________.

10．在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意正整数n等式3an＋1－an＝0成立，若bn是an与an＋1的等差中项，则{bn}的

前n项和为________. 三、解答题

11．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N*).

(1)求a1，a2，a3；

(2)求数列{an}的通项公式； (3)求a1＋a3＋…＋a2n－1的和. 12．已知函数f(x)＝

22(x＞0)，设a1＝1，an1·f(an)＝2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 2x413．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.

(1)求公差d的范围；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪个值最大，并说明理由.

Ⅲ 拓展训练题

14．甲、乙两物体分别从相距70m的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分

钟走5m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

15．在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an＝|an－1－an－2|，n＝3，4，5，…则称{an}为“绝对差数列”.

(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{an}中，a1＝3，a2＝0，试求出通项an； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

数列全章综合练习同步练习测试题

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，那么a5＋a6等于( )

(A)16 (A)5880 (A)0 (A)－2 (A)4012

(B)20 (B)5539 (B)1 (B)2 (B)4013

(C)24 (C)5208 (C)2 (C)－4 (C)4014

(D)36 (D)4877 (D)不能确定 (D)4 (D)4015

2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )

3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为( ) 4．在等差数列{an}中，如果前5项的和为S5＝20，那么a3等于( )

5．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2007＋a2008＞0，a2007·a2008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )

二、填空题

6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.

7．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和S20＝________. 8．数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn＝n2－3n＋1，则an＝________. 9．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则

22a3a6a9a4a7a10＝________.

10．设数列{an}是首项为1的正数数列，且(n＋1)an1－nan＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________. 三、解答题

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，求S13. 12．已知数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1＋1)(n∈N*)在函数f(x)＝2x＋1的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)设cn＝Sn，求数列{cn}的前n项和Tn. 13．已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.

(1)求证：数列{an}成等比数列； (2)求通项公式an.

14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在

内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；

(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？

(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

Ⅱ 拓展训练题

15．已知函数f(x)＝

(1)求an；

(2)设bn＝an1＋an2＋…＋a2n1，是否存在最小正整数m，使对任意n∈N*有bn＜值，若不存在，请说明理由.

16．已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q＝f(P).

设P1(x1，y1)，P2＝f(P1)，P3＝f(P2)，…，Pn＝f(Pn－1)，….如果存在一个圆，使所有的点Pn(xn，yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn，yn)的一个收敛圆.特别地，当P1＝f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点.

若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，(1)求映射f下不动点的坐标；

(2)若P1的坐标为(2，2)，求证：点Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.

222

1x24(x＜－2)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(－

1an1)(n∈N*).

m成立？若存在，求出m的251y). 2测试答案 数列同步练习测试题

一、选择题

1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题

1(1)n26．(1)an(或其他符合要求的答案) (2)an(或其他符合要求的答案)

2n1149162517．(1),,,, (2)7 8．67 9． 10．4

1525101726提示：

9．注意an的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.

10．将数列{an}的通项an看成函数f(n)＝2n2－15n＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题

11．(1)数列{an}的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；

(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1， 故当n≥5时，an＝14－3n＜0.

109n23n1n4n21,an1,an212．(1)a10； 3332是该数列的第15项. 31381513．(1)因为an＝n－，所以a1＝0，a2＝，a3＝，a4＝；

234n(2)79

(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)111]－(n－)＝1＋

n(n1)n1n又因为n∈N＋，所以an＋1－an＞0，即an＋1＞an. 所以数列{an}是递增数列.

等差数列同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题

6．a4 7．13 8．6 9．6n－1 10．35 提示：

10．方法一：求出前10项，再求和即可；

方法二：当n为奇数时，由题意，得an＋2－an＝0，所以a1＝a3＝a5＝…＝a2m－1＝1(m∈N*).

当n为偶数时，由题意，得an＋2－an＝2， 即a4－a2＝a6－a4＝…＝a2m＋2－a2m＝2(m∈N*). 所以数列{a2m}是等差数列. 故S10＝5a1＋5a2＋

三、解答题

11．设等差数列{an}的公差是d，依题意得

5(51)×2＝35. 2a12d7,a13,解得 43d2.4ad24.12∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. 12．(1)设等差数列{an}的公差是d，依题意得

a19d30,a112,解得 a19d50.d2.1∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10. (2)数列{an}的前n项和Sn＝n×12＋

n(n1)×2＝n2＋11n， 2∴Sn＝n2＋11n＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍).

13．(1)通项an＝a1＋(n－1)d＝50＋(n－1)×(－0.6)＝－0.6n＋50.6.

解不等式－0.6n＋50.6＜0，得n＞84.3. 因为n∈N*，所以从第85项开始an＜0. (2)Sn＝na1＋

n(n1)n(n1)d＝50n＋×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n.

22由(1)知：数列{an}的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(Sn)max＝S84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.

14．∵3an＋1＝3an＋2，∴an＋1－an＝

2， 32的等差数列. 3100. 3由等差数列定义知：数列{an}是公差为

记a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A，a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B， 则B＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋(a5＋d)＋…＋(a99＋d)＝A＋50d＝90＋所以S100＝A＋B＝90＋90＋

1100＝213. 33等比数列同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 提示：

5．当a1＝0时，数列{an}是等差数列；当a1≠0时，数列{an}是等比数列；

当a1＞0时，数列{an}是递增数列；当a1＜0时，数列{an}是递减数列. 二、填空题

6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2 提示：

10．分q＝1与q≠1讨论.

当q＝1时，Sn＝na1，又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2， ∴2na1＝(n＋1)a1＋(n＋2)a1， ∴a1＝0(舍).

a1(1qn)当q≠1，Sn＝.又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，

1qa1(1qn)a1(1qn1)a1(1qn2)∴2×＝，

1q1q1q解得q＝－2，或q＝1(舍). 三、解答题

11．(1)an＝2×3n1； (2)n＝5. 12．q＝±2或±

－

1. 2ac2b,a2a1113．由题意，得(a1)(c4)(b1)2，解得b5，或b5.

c8c1abc15.a54a2452511681. 31614．(1)设第4列公差为d，则d故a44＝a54－d＝

511a1，于是q2＝a44.

42161644由于aij＞0，所以q＞0，故q＝

1. 2111(i2)i. 816161， 2(2)在第4列中，ai4＝a24＋(i－2)d＝

由于第i行成等比数列，且公比q＝所以，aij＝ai4·qj4＝

－

111i()j4i()j. 1622数列求和同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 提示：

1．因为a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝1×24＝16，

所以S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝1＋16＝17. 2．参考测试四第14题答案.

3．由通项公式，得a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝－2，所以S100＝50×(－2)＝－100. 4．

11111111111(1)()() 1335(2n1)(2n1)2323522n12n1111111n. [(1)()()]23352n12n12n15．由题设，得an＋2－an＝3，所以数列{a2n－1}、{a2n}为等差数列，

前100项中奇数项、偶数项各有50项， 其中奇数项和为50×1＋所以S100＝7500. 二、填空题

6．n11 7．

50495049×3＝3725，偶数项和为50×2＋×3＝3775， 221n(n1)1n1 8．(4n－1) 23212n1n 2n1,9．n1,n11a,1a(a0)(a1)(a0,且a1) 10．2提示： 6．利用

1n1nn1n化简后再求和.

2anan118．由an＋1＝2an，得a2，∴2＝4，

ann2故数列{an}是等比数列，再利用等比数列求和公式求和. 10．错位相减法. 三、解答题

11．由题意，得an＋1－an＝2，所以数列{an}是等差数列，是递增数列.

∴an＝－11＋2(n－1)＝2n－13， 由an＝2n－13＞0，得n＞

13. 2所以，当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an＜0. 当n≤6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an ＝－[n×(－11)＋

n(n1)×2]＝12n－n2； 2当n≥7时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＋…＋an ＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a6) ＝n×(－11)＋

n(n1)65×2－2[6×(－11)＋×2]＝n2－12n＋72. 22(n∈N*).

12nn2,(n6)Sn＝2n12n72,(n7)所以当n＝1时，a1＝1；

12．(1)∵f(1)＝n2，∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2. ①

当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2 ② ①－②得，an＝n2－(n－1)2＝2n－1.(n≥2) 因为n＝1时，a1＝1符合上式. 所以an＝2n－1(n∈N*). (2)

111111 a1a2a2a3anan11335(2n1)(2n1)11n. (1)22n12n1111n12421(11)n221(n2). 12n11213．因为an1所以Sna1a2an1(2)(21211)(2) 222n111(1n1)122n122n2n1.

121214．(1)an＝2n；

(2)因为bn＝2nxn，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝2x＋4x2＋…＋2nxn.

当x＝0时，Sn＝0；

当x＝1时，Sn＝2＋4＋…＋2n＝

n(22n)＝n(n＋1)； 2＋

当x≠0且x≠1时，Sn＝2x＋4x2＋…＋2nxn，

xSn＝2x2＋4x3＋…＋2nxn1；

两式相减得(1－x)Sn＝2x＋2x2＋…＋2xn－2nxn1，

＋

x(1xn)＋

所以(1－x)Sn＝2－2nxn1，

1x2x(1xn)2nxn1即Sn. 1x(1x)2(x1)n(n1),综上，数列{bn}的前n项和Sn2x(1xn)2nxn1

1)(1x)21x,(x数列综合问题同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 提示：

5．列出数列{an}前几项，知数列{an}为：0，－3，3，0，－3，3，0….不难发现循环规律，即a1＝a4＝a7

＝…＝a3m－2＝0；

a2＝a5＝a8＝…＝a3m－1＝－3； a3＝a6＝a9＝…＝a3m＝3. 所以a20＝a2＝－3. 二、填空题 6．;33111 7．85 8．512 9．n2－n＋2 10．2[1－()n] 24223333. ,a2,a3416643； 4三、解答题 11．(1)a1(2)当n＝1时，由题意得a1＝5S1－3，所以a1＝当n≥2时，因为an＝5Sn－3， 所以an－1＝5Sn－1－3；

两式相减得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an， 即4an＝－an－1. 由a1＝

3≠0，得an≠0. 41所以an(n≥2，n∈N*).

n14由等比数列定义知数列{an}是首项a1＝

a31，公比q＝－的等比数列. 44所以an31()n1. 4431(1n)4164(11). (3)a1＋a3＋…＋a2n－1＝

1516n116212．由an1·f(an)＝2，得an12222， 2an4化简得an1－an＝4(n∈N*).

由等差数列定义知数列{an}是首项a1＝1，公差d＝4的等差数列. 所以an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.

由f(x)的定义域x＞0且f(an)有意义，得an＞0. 所以an＝

22224n3.

1S12a1211d012a11d0122113．(1)，

1a6d0S13a1312d011312又a3＝a1＋2d＝12a1＝12－2d，

24247d0∴，故＜d＜－3.

3d07(2)由(1)知：d＜0，所以a1＞a2＞a3＞…＞a13. ∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，S13＝

13(a1＋a13)＝13a7＜0， 2∴a7＜0，且a6＞0，故S6为最大的一个值.

14．(1)设第n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋

n(n1)＋5n＝70， 2整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去). ∴第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设第n分钟后第2次相遇，依题意有2n＋

n(n1)＋5n＝3×70， 2整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去). ∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.

15．(1)a1＝3，a2＝1，a3＝2，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝0，a10＝1.(答案不唯一)

(2)因为在绝对差数列{an}中，a1＝3，a2＝0，所以该数列是a1＝3，a2＝0，a3＝3，a4＝3，a5＝0，a6＝3，a7＝3，a8＝0，….

即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，

a3n13,所以a3n23,(n＝0，1，2，3，…).

a3n30,(3)证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下：

假设{an}中没有零项，由于an＝|an－1－an－2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而 当an－1＞an－2时，an＝an－1－an－2≤an－1－1(n≥3)；

当an－1＜an－2时，an＝an－2－an－1≤an－2－1(n≥3)； 即an的值要么比an－1至少小1，要么比an－2至少小1. 令cn＝a2n1(a2n1a2n),(n＝1，2，3，…).

a2n(a2n1a2n),则0＜cn≤cn－1－1(n＝2，3，4，…).

由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项cn＜0， 这与cn＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{an}必有零项.

若第一次出现的零项为第n项，记an－1＝A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即

an3k0,an3k1A,(k＝0，1，2，3，…). an3k2A,所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.

数列全章综合练习同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 二、填空题

6．3·2n3 7．180 8．an＝提示：

10．由(n＋1)an1－nan＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，

因为an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即所以an2a1三、解答题 11．S13＝156.

12．(1)∵点(an，an＋1＋1)在函数f(x)＝2x＋1的图象上，

∴an＋1＋1＝2an＋1，即an＋1＝2an. ∵a1＝1，∴an≠0，∴

22－

(n1)1,16 9． 10．an＝(n∈N*)

7n2n4,(n2)an1n， ann1naan12n113a. a2an123nan1＝2， an∴{an}是公比q＝2的等比数列， ∴an＝2n1.

－

1(12n)2n1. (2)Sn＝

12(3)∵cn＝Sn＝2n－1，

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)

2(12n)n＝2n＋1－n－2. ＝(2＋2＋…＋2)－n＝

122

n

13．当n＝1时，由题意得S1＝3a1＋2，所以a1＝－1；

当n≥2时，因为Sn＝3an＋2，

所以Sn－1＝3an－1＋2； 两式相减得an＝3an－3an－1， 即2an＝3an－1.

由a1＝－1≠0，得an≠0. 所以

an3*

an12(n≥2，n∈N).

3的等比数列. 2由等比数列定义知数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝所以an＝－(

3n－1)． 214．(1)设第n年所需费用为an(单位万元)，则

a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24． (2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则 y＝50n－[12n＋

n(n1)×4]－98＝－2n2＋40n－98． 2由题意得y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－51＜n＜10＋51. ∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利. (3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102， ∴当n＝10时，y最大＝102．

即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元).

15．(1)由an＝f(－

1an1)，得

114(an＋1＞0)， 22ana1n∴{

111}为等差数列，∴＝＋(n－1)·4． 222a1anan14n3(n∈N*).

∵a1＝1，∴an＝

222(2)由bnan1an2a2n1111， 4n14n58n1得bn－bn＋1＝

1111111()() 4n18n58n98n28n58n28n9∵n∈N*，∴bn－bn＋1＞0，

∴bn＞bn＋1(n∈N*)，∴{bn}是递减数列. ∴bn的最大值为b122a2a314. 45m成立， 25若存在最小正整数m，使对任意n∈N*有bn＜只要使b1＝

7014m即可，∴m＞. 45259m∴对任意n∈N*使bn＜成立的最小正整数m＝8．

2516．(1)解：设不动点的坐标为P0(x0，y0)，

x0由题意，得y0x011y02，解得x01，y0＝0， 2所以此映射f下不动点为P0(

1，0). 2xn1xn1(2)证明：由Pn＋1＝f(Pn)，得， 1yn1yn2所以xn＋1－

111＝－(xn－)，yn＋1＝yn. 222因为x1＝2，y1＝2， 所以xn－

1≠0，yn≠0， 2121,yn11. 所以yn12xn2xn1由等比数列定义，得数列{xn－首项为x1－

1}(n∈N*)是公比为－1， 213＝的等比数列， 221313－－

所以xn－＝×(－1)n1，则xn＝＋(－1)n1×.

22221－

同理yn＝2×()n1.

2131－－

所以Pn(＋(－1)n1×，2×()n1).

222设A(

321n121，1)，则|APn|＝()[12()].

2221n－1

)≤2， 21－

所以－1≤1－2×()n1＜1，

2因为0＜2×(

所以|APn|≤()1＜2．

322故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(

1，1)为圆心，2为半径的圆内，即点Pn(xn，yn)存在一个半径为2的收敛圆. 2