专题1分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题.
预测在2013的高考题中： 1继续与函数综合考查.
2结合函数与方程思想以及等价转化思想考查学生分析问题、解决问题的能力.
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，则a的值为________，m的取值范围为________．
ax
2．函数y＝a(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．
23．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b应满足________． 4．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________． 5．已知平面单位向量a，b，c夹角两两相等，则|a＋b＋c|＝________. 1解析：A＝{1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋1－a)＝0}， 由A∪B＝A可得a－1＝1或a－1＝2，a＝2或3；
由A∩C＝C，可知C＝{1}或{2}或{1,2}或∅，m＝3或－22＜m＜22. 答案：2或3 {3}∪(－22，22) 2解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上递增， a32
故a－a＝，得a＝；当0 a1 y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝，得a＝. 221313 故a＝或a＝. 答案：或 2222 3解析：①当a>0时，需x－b恒为非负数，即a>0，b≤0. ②当a<0时，需x－b恒为非正数．又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立． 综上所述，a>0且b≤0.答案：a>0且b≤0 xy 4解析：当直线过原点时方程为3x－2y＝0，当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入P的坐标可 aa得a＝5.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 2π2π 5解析：由题意知夹角为或0.当夹角为时，a＋b＝－c，|a＋b＋c|＝0； 33当夹角为0时，|a＋b＋c|＝3|a|＝3. 答案：0或3 1 江苏燕云教育培训 [典例1] 解关于x的不等式ax－(a＋1)x＋1<0. [解] (1)当a＝0时，原不等式化为－x＋1<0，∴x>1. 1 (2)当a≠0时，原不等式化为a(x－1)x－<0， a 1111 ①若a<0，则原不等式化为(x－1)x－>0，∴<0.∴<1.∴不等式解为x<或x>1. aaaa1 ②若a>0，则原不等式化为(x－1)x－<0， a11 (ⅰ)当a>1时，<1，不等式解为 (ⅱ)当a＝1时，＝1，不等式解为x∈∅； a11 (ⅲ)当0 2 11 1 ；当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当a<0时，解集为xx<或x>1 a 本题是一个含参数a的不等式的求解问题，但不一定是二次不等式，故首先对二次项系数a分类：(1)a＝0，(2)a≠0，对于(1)，不等式易解；对于(2)又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解1集形式是不同的；而a＞0时又遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论，故需要作三级分类． a [演练1] 已知函数f(x)＝x|x－a|(a∈R)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)解关于x的不等式：f(x)≥2a. 解：(1)当a＝0时， f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． 当a≠0时，f(a)＝0且f(－a)＝－2a|a|. 故f(－a)≠f(a)且f(－a)≠－f(a)．∴f(x)是非奇非偶函数． (2)由题设知x|x－a|≥2a2， ∴原不等式等价于 x 2 22 ① 或 x≥a， 2 2 x－ax≥2a. ② 2 江苏燕云教育培训 由①得 x x2 －ax＋2a2 ≤0. 解得x∈∅. 由②得x≥a， x－2ax＋a≥0. 当a＝0时，x≥0， 当a>0时，x≥a， 即x≥2a； x≥2a或x≤－a，当a<0时， x≥a，x≤2a或x≥－a， 即x≥－a. 综上所述， a≥0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a}；a<0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥－a}． [典例2] 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若∃x∈R使f(x) ，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．[解] (1)由∃x∈R，f(x) －mx＋1－m2， 对称轴方程为x＝m2 2，Δ＝m2－4(1－m)＝5m2－4. 由于|F(x)|在[0,1]上单调递增，则有 ①当Δ≤0即－255≤m≤255 时，有 m 2 ≤0，－25255≤m≤5， 解得－255 ≤m≤0. ②当Δ>0即m<－25255或m>5时， 设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1 x<0⇔F0＝1－m21<0. (ⅱ)若m<－255，即m2<－55 ，有x1<0，x2≤0； 3 江苏燕云教育培训 xx≥0⇒1－m≥0⇒－1≤m≤1，∴ 25m<－，5 12 2 x1＋x2<0⇒m<0， 解得－1≤m<－ 25. 5 25 由(ⅰ)(ⅱ)得－1≤m＜－或m≥2. 综合①②有－1≤m≤0或m≥2. 5 第一问是二次不等式恒成立，直接用Δ控制；第二问是绝对值函数的单调性问题，首先化成分段函数，然后寻找在闭区间[0,1]上单调递增的条件求解，研究此类问题需要研究出分段函数的各种分界点，如极值点、拐点等单调性分界点． [演练2] (2012·苏中二模)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝ln x. (1)当a＝1时，求f(x)的极小值； (2)若在区间[1,2]上函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方(没有公共点)，求a的取值范围； (3)当a>0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式． 解：(1)∵当a＝1时f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x∈(－1,1)时f′(x)<0， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时f′(x)>0. ∴f(x)在(－1,1)上单调递减， 在(－∞，－1)，[1，＋∞)上单调递增． ∴f(x)的极小值为f(1)＝－2. (2)因为在区间[1,2]上函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方， 所以x3－3ax>ln x在[1,2]上恒成立， ln x2 即3a 1－ln x2x＋ln x－1ln x 设m(x)＝x－，则m′(x)＝2x－2＝， xxx22 3 因为2x3－1>0，ln x≥0，所以m′(x)>0. 所以m(x)在[1,2]上单调递增． 所以m(x)min＝m(1)＝1. 1 所以3a<1，即a<. 3 (3)因h(x)＝|f(x)|＝|x3－3ax|在[－1,1]上为偶函数，故只需求在[0,1]上的最大值即可． 当a>0时f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋a)(x－a)， ①当a ≥1，即a≥1时h(x)＝|f(x)|＝－f(x)，－f(x)在[0,1]上单调递增，此时F(a)＝－f(1)＝3a－1. ②当0 江苏燕云教育培训 1 1°当f(1)＝1－3a≤0即≤a＜1时，h(x)＝|f(x)|＝－f(x)在[0，a ]上单调递增，在[a，1]上单调递减， 3F(a)＝－f(a )＝2aa. 2°当f(1)＝1－3a>0，即0 时， (ⅰ)当－f(a )≤f(1)＝1－3a，即0＜a≤1 4时，F(a)＝f(1)＝1－3a. (ⅱ)当－f(a)>f(1)＝1－3a，即14 时，F(a)＝－f(a)＝2aa. 1－3a，0＜a≤14 ，综上F(a)＝ 12aa，4 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3„)． (1)求q的取值范围； (2)设b3 n＝an＋2－2an＋1，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小． [解] (1)因为{an}是等比数列，Sn>0，可得 a1＝S1>0，q≠0. 当q＝1时，Sn＝na1>0. 1时，Sa11－qn1－qn 当q≠n＝1－q>0，即1－q >0(n＝1,2,3，„)， 则有1－q>0， 1－qn >0， ① 或1－q<0， 1－qn <0. ② 由②得q>1，由①得－1 (2)由b32＝a23223n＝an＋2－an＋1nq－q，∴Tn＝q－2q Sn. 于是T23n－Sn＝Snq－2q－1 ＝S1nq＋2(q－2)，又Sn>0且－1 当－1 2 2 或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn. 5 故 江苏燕云教育培训 利用等比数列求和公式时要对q进行讨论，否则容易漏解． [演练3] 等差数列{an}中，a1＝2，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于________． 解析：设{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，解得d＝0或3，q＝1或4. 答案：1或4 [专题技法归纳] 分类讨论的常见类型： (1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等． 1．已知圆x＋y＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为________． 15 2．△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则cos C＝________. 213 112113 3．若函数f(x)＝(a－1)x＋ax－x＋在其定义域内有极值点，则a的取值范围为________． 3245 2x＋a，x<1， 4．(2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为 －x－2a，x≥1. 2 2 ________． 11 5．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________． 22x≥0，y≥0， 6．在约束条件y＋x≤s， y＋2x≤4 下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是________． 7．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝∅，则实数p的取值范围是________． 8．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是________． 9．已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为θ，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为________． 10．设n∈Z，当n＝________时，S＝|n－1|＋|n－2|＋„＋|n－100|的最小值________． 11．设函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； 6 江苏燕云教育培训 (2)求函数f(x)的最小值． 12．已知函数f(x)＝|ax－2x＋1|,0≤x≤4. 1 (1)a<0时，求f(x)≥的解集； 2(2)求f(x)的最大值． 12解：(1)a<0时，f(x)草图如下，由f(0)＝1，f(4)＝7－16a>1， 1ax2－2x＋1＝，2－4－2a2可令解得x1＝. 2a x>0，1ax2－2x＋1＝－，2－4－6a 2 又令解得x2＝， 2a x>0， 1由图可知f(x)≥的解集为0，2－4－2a∪2－4－6a，4. 22a2a 11 (2)a<0时，f(x)＝|ax2－2x＋1|，记g(x)＝ax2－2x＋1,0≤x≤4，g(x)图象对称轴x＝，<0， aa∴g(x)在[0,4]上单调递减． ∴f(x)max＝max{f(0)，f(4)}＝max{1，|16a－7|}＝7－16a； a＝0时，f(x)＝|－2x＋1|，f(x)max＝7； 11 a>0时，如果0＜≤4，即a≥时， a4 11 f(x)max＝maxf0，f，f4＝max1，－1，|16a－7|， aa 2 17161 ①≤a≤，即≤≤4时， 4167a 11f(x)max＝max1，－1，7－16a＝max－1，7－16a， aa 111 由于－1－(7－16a)＝＋16a－8≥0，∴f(x)max＝－1. aaa② 71＜a≤1时，f(x)max＝max1，－1，16a－7， 16a 11－1＝1－2＝1－2a<0， ＜a≤1时，－1 a2aa 7 江苏燕云教育培训 (16a－7)－1＝16a－8＝8(2a－1)>0，∴f(x)max＝16a－7. 716＜a≤12时，1a－11 1－2a－1＝a－2＝a≥0， (16a－7)－1＝16a－8＝8(2a－1)≤0，∴f(x)1 max＝a －1. ③a>1时，f(x)1 max＝max1，1－a ，16a－7＝16a－7， 又0＜a＜11 4时，a >4，f(x)max＝{f(0)，f(4)}＝{1，|16a－7|}＝7－16a. 7－16a，a≤14 ， 综上所述f(x)＝111max a－1，4＜a≤2，16a－7，a>12 . 11解：(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时f(x)为偶函数． 当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1， f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)①当x≤a时，函数f(x)＝x2 －x＋a＋1＝1x－232＋a＋4， 若a≤1 2 ，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减， 从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2 ＋1；[来源:学|科|网] 若a>12，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f131 2＝4＋a，且f2≤f(a)． ②当x≥a时，函数f(x)＝x2 ＋x－a＋1＝1x＋22－a＋34 . 若a≤－12，则函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f1－23＝4－a，且f －12≤f(a)；若a>－1 2，则函数f(x)在[a，＋∞)单调递增， 从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1. 综上，当a≤－13 2时，函数f(x)的最小值为4－a； 当－12＜a≤1 2时，函数f(x)的最小值是a2＋1； 当a>12时，函数f(x)的最小值是a＋34. 10解析：若n<100， 则S＝(n－1)＋(n－2)＋„＋1＋0＋1＋„＋(100－n)＝nn－1101－n100－n2＋2 ＝n2－101n＋5 050. 当n＝50或51时S最小为2 500； 8 江苏燕云教育培训 若n≥100，则Sn＝(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－100)＝50(2n－101)≥4 950>2 500. 答案：50或51 2 500 1 9解析：当θ<90°时，最大截面就是轴截面，其面积为l2sin θ； 21 当θ≥90°时，最大截面是两母线夹角为90°的截面，其面积为l2. 211 可见，最大截面积为l2或l2sin θ. 221212 答案：l或lsin θ 22 228 8解析：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱＝π·2＝；若长为2的边作为圆柱底面 ππ124 圆周的展开图，则V柱＝π·4＝. ππ 84 答案：或 ππ 7解析：若A＝∅，即Δ＝(p＋2)－4<0，即－4 －2<0， 可见当－4 ＋ 2 ＋ ⇒ x＝4－s，y＝2s－4， 即交点为(4－s,2s－4)． A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)， (1)当3≤s＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z<8. (2)当4≤s≤5时可行域是△OAC′此时，zmax＝8. 答案：[7,8] cos x，sin x≥cos x，11 5解析：f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|＝ 22sin x，sin x 答案：－1，2 24解析：首先讨论1－a,1＋a与1的关系． 当a<0时，1－a>1,1＋a<1， 所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2. 因为f(1－a)＝f(1＋a)， 3 所以－1－a＝3a＋2，即a＝－. 4当a>0时，1－a<1,1＋a>1， 2. 2 9 江苏燕云教育培训 所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1. 因为f(1－a)＝f(1＋a)， 3 所以2－a＝－3a－1，即a＝－(舍去)． 23 综上满足条件的a＝－. 43 答案：－ 4 1 3解析：由题意得f′(x)＝(a－1)x2＋ax－＝0有解． 4当a－1＝0时，满足； 当a－1≠0时，只需Δ＝a2＋(a－1)>0. 答案：－∞， －1－5－1＋5 ∪，＋∞22 52 2解析：∵0 . 13 13若A为锐角，由sin A＝，得A＝30°，此时cos A＝. 22 1 若A为钝角，由sin A＝，得A＝150°，此时A＋B>180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见 2A≠150°. ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B) ＝－[cos A·cos B－sin A·sin B] 5112＝12－53. 答案：12－53 ＝－3·213－2·2626131解析：由22＋42>4得点P在圆x2＋y2＝4外，由几何性质分析知过点P且与圆相切的直线有两条，3 设直线斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)，由圆心到切线的距离为2，解得k＝.由此可知斜率不存在 4时也满足题意，解得切线方程为3x－4y＋10＝0或x＝2. 答案：3x－4y＋10＝0或x＝2 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容