人教新课标版数学高一-人教B版必修4作业设计1.2.4 诱导公式(二)

1．2．4 诱导公式(二)

课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解公式四的推导过程．2．能运用公式四进行有关计算与证明．

1．诱导公式四

ππ

＋α＝__________，cos＋α＝__________， 公式四：sin22

ππ

＋α＝－cot α，cot＋α＝－tan α． tan22以－α替代公式四中的α，可得：

ππ

－α＝__________，cos－α＝__________， sin22ππ

－α＝cot α，cot－α＝tan α． tan222．诱导公式四的记忆 ππ

＋α，－α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时22

原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．

一、选择题

1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )

1133A．－ B． C．－ D．

2222

71

π－α等于( ) 2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 22

1133A．－ B． C． D．－ 2222

π1π

α－＝，则cos＋α的值等于( ) 3．已知sin434

－221122A．－ B． C． D．

3333

π3

＋α＝－m，则cosπ－α＋2sin(2π－α)的值为( ) 4．若sin(π＋α)＋cos22

2m2m3m3mA．－ B． C．－ D．

3322

π3π

＋φ＝，且|φ|＜，则tan φ等于( ) 5．已知cos22233

A．－ B． C．－3 D．3

33

1

6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )

3

1212A． B． C．－ D．－

3333二、填空题

π7π1

α＋＝，则cosα＋＝________． 7．若sin12312

8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______． 9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________．

ππ－α－2cos＋αsinα－3π＋cosπ－α＋sin22

10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________．

－sin－α＋cosπ＋α三、解答题

tan2π－αsin－2π－αcos6π－α

11．求证：＝－tan α．

3π3πsinα＋2cosα＋2

π－5π－α＝60，且π<α<π，求sin α与cos α的值． －－α·12．已知sincos2216942

能力提升 13．化简：sin

4k－14k＋1

π－α＋cosπ－α (k∈Z)． 44

ππ

－，，β∈(0，π)，使等式 14．是否存在角α，β，α∈22π－β，sin3π－α＝2cos2同时成立．

3cos－α＝－2cosπ＋β

若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

π

1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公

2式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．

π

2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．

2

1．2．4 诱导公式(二) 答案

知识梳理

1．cos α －sin α cos α sin α 作业设计

1．A 2．A 3．A 4．C 5．C

6．D (75°＋α)－90°180°－(75°＋α)90°－(75°＋α)

17．－ 3

π7ππ

α＋＝cos＋α＋12 解析 cos122π1α＋＝－． ＝－sin123

8．1

解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A) ＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1． 899． 2

解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44189＋＝． 2210．2

sin αtan α2

解析 原式＝＝＝＝2．

sin α－cos αtan α－12－1

tan－α·sin－α·cos－α

11．证明 左边＝ ππcos2π－－αsin2π－2－α·2－tan α·－sin α·cos α

＝

ππsin－2－αcos－2－αsin2α

＝

ππ－sin2－αcos2－αsin2αsin α＝＝－＝－tan α＝右边．

cos α－cos α·sin α

∴原等式成立． π

－－α＝－cos α， 12．解 sin25ππ

－－α＝cos2π＋＋α＝－sin α． cos22

60120

∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝． ①

169169又∵sin2α＋cos2α＝1， ②

289

①＋②得(sin α＋cos α)2＝，

16949

②－①得(sin α－cos α)2＝，

169

ππ又∵α∈4，2，∴sin α>cos α>0，

即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，

17

∴sin α＋cos α＝， ③

137

sin α－cos α＝， ④

13125

③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝．

1313

π＋α＋coskπ＋π－α． 13．解 原式＝sinkπ－44当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则 π＋α 原式＝sin2n＋1π－4π－α ＋cos2n＋1π＋4

π＋α＋cosπ＋π－α ＝sinπ－44ππ

＋α＋－cos－α ＝sin44πππ

＋α－cos－4＋α ＝sin42ππ

＋α－sin＋α＝0； ＝sin44当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则

π＋α＋cos2nπ＋π－α 原式＝sin2nπ－44

ππ

＋α＋cos－α ＝－sin44πππ

＋α＋cos－4＋α ＝－sin42ππ

＋α＋sin＋α＝0． ＝－sin44综上所述，原式＝0．

sin α＝2sin β， ①

14．解 由条件，得

3cos α＝2cos β. ②

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③ 又因为sin2α＋cos2α＝1，④

12由③④得sin2α＝，即sin α＝±，

22ππππ－，，所以α＝或α＝－． 因为α∈2244π3

当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，

42π

所以β＝，代入①可知符合．

6π3

当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，

42π

所以β＝，代入①可知不符合．

6

ππ

综上所述，存在α＝，β＝满足条件．

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