四川省泸州市泸县第二中学2022届高三数学上学期第一次月考试题 理

四川省泸州市泸县第二中学2022届高三数学上学期第一次月考试题 理

第I卷(选择题 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.若复数𝑧满足(1+𝑧)𝑖A. −2−3𝑖

D. 由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数 5.已知点𝐴与点𝐵(1,2)关于直线𝑥A. (3,4)

B. (4,5)

+𝑦+3=0对称，则点𝐴的坐标为

C. (−4,−3)

D. (−5,−4)

6.已知实数𝑚是给定的常数，函数𝑓(𝑥)

=𝑚𝑥3−𝑥2−2𝑚𝑥−1的图象不可能是

=3−𝑖，则𝑧的共轭复数𝑧=

C. 2+3𝑖

D. −2+3𝑖

A.

B.

C.

D.

B. 2−3𝑖

2.某公司生产𝐴，𝐵，𝐶三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为𝑛的样本，若样本中𝐴种型号的轿车比𝐵种型号的轿车少8辆，则𝑛A. 96

B. 72

C. 48

D. 36

=

7.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为𝑎，当𝑎A. 133个

B. 134个

C. 135个

3.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为

∈[2,2019]时，符合条件的𝑎共有

D. 136个

8.现有甲班𝐴,𝐵,𝐶,𝐷四名学生，乙班𝐸,𝐹,𝐺三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且𝐴必须参加的方法有

A. 10种 B. 15种 C. 18种 D. 19种

9.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，已知𝑐A. A. 6

B. 5

C. 4

D. 2

10.若函数𝑓(𝑥)最小值为 A. −2√2 11.已知函数𝑓(𝑥)

36B. −√ 2

3𝜋4=√3+1，𝑏

𝜋

=

3𝜋42，𝐴

=，则𝐵= 3

𝜋

B. 6

𝜋

C. 4 𝜋

𝜋

D. 4或 𝜋

4.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是

则函数𝑦=√2cos(𝑥−)+𝑓(𝑥)的=cos2𝑥−𝑎sin2𝑥的图象关于直线𝑥=8轴对称，

8

C. 0

D. −

9√28

=log1(2−𝑥)−log2(𝑥+4)，则下列结论中正确的是

2A. 函数𝑓(𝑥)的定义域是[−4,2]

B. 函数𝑦=𝑓(𝑥−1)是偶函数

=1轴对称

C. 函数𝑓(𝑥) 在区间[−1,2)上是减函数 12.已知函数𝑓(𝑥)

A. 这15天日平均温度的极差为15℃

B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天 C. 由折线图能预测16日温度要低于19℃

取值范围是 A. (−∞,1] - 1 - / 6

B. (0,1]

D. 函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥

=1−

2

2𝑥+1

，当𝑥

≥0时，不等式𝑓(𝑎𝑥2+𝑥)+𝑓(1−𝑒𝑥)≤0恒成立，则实数𝑎的

C. (−∞,

12

] D. (0,

12

]

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13..若(ax1)的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是

5合计 45 （Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．

（Ⅱ）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数为𝑋，求𝑋的分布列（概率用组合数算式表示）．

（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差． 附：𝐾2

2𝑥+𝑦−4≤0,

14.若实数𝑥,𝑦满足不等式组{𝑥−𝑦+𝑚≥0, ，且𝑧=𝑥−2𝑦的最小为0，则实数𝑚=______．

𝑦≥0,

15.在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝛥𝐴𝐵𝐶是边长为2的等边三角形，𝛥𝐴𝐷𝐶是以𝐴𝐶斜边的等腰直角三角形，以𝐴𝐶为折痕把𝛥𝐴𝐷𝐶折起，当𝐷𝐴16.已知抛物线𝐶:𝑦2

⊥𝐴𝐵时，四面体𝐷−𝐴𝐵𝐶的外接球的体积为______．

=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹，𝑃(1,𝑦0)是抛物线上一点，过点𝑃向抛物线𝐶的准线引垂

=______．

线，垂足为𝐷，若𝛥𝑃𝐷𝐹为等边三角形，则𝑝

=

𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)

(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)

2

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）

1

已知数列{𝑎𝑛}满足(𝑎1

𝑛

𝑃(𝑘2≥𝑘0) ∗

0.050 0.010 0.001 +2𝑎2+⋯+2

𝑛−1

𝑎𝑛)=2

𝑛+1

(𝑛∈𝑁).

𝑘0 3.841 6.635 10.828

（Ⅰ）求𝑎1,𝑎2和{𝑎𝑛}的通项公式； （Ⅱ）记数列{𝑎𝑛

−𝑘𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛≤𝑆4对任意的正整数𝑛恒成立，求实数𝑘的取值范围．

18.（本大题满分12分）

为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

分数大于等于 分数不足813

19.（本大题满分12分）

如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐵𝐴𝐷

（Ⅰ）求证：平面𝑃𝐴𝐷

=60°，∠𝐴𝑃𝐷=90°，且𝐴𝐷=𝑃𝐵.

120分 120分 4 合计 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷；

周做题时间不少于15小时 周做题时间不足15小时 19 （Ⅱ）若𝐴𝐷 - 2 - / 6

⊥𝑃𝐵，求二面角𝐷−𝑃𝐵−𝐶的余弦值.

20.（本大题满分12分） 函数𝑓(𝑥)

标方程为𝜌

=4cos(𝜃−π)，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌sin(𝜃−π)=𝑎，射线𝜃=𝛼−π，𝜃=𝛼，𝜃=

336

2

𝛼+π，𝜃=𝛼+π与曲线𝐶1分别交异于极点𝑂的四点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷．

3

（Ⅰ）若曲线𝐶1关于曲线𝐶2对称，求𝑎的值，并把曲线𝐶1和𝐶2化成直角坐标方程． （2）求𝑓(𝛼)

1

=𝑒𝑥−1−ln(𝑥−𝑎)．

≤𝛼≤π时，求𝑓(𝛼)的值域． =|𝑂𝐴|⋅|𝑂𝐶|+|𝑂𝐵|⋅|𝑂𝐷|，当π63（Ⅰ）若函数𝑓(𝑥)在点(2，𝑓(2))处的切线过点(1,0)，求𝑎的值； （Ⅱ）若不等式𝑓(𝑥)

21.（本大题满分12分） 已知动圆𝑃过定点𝐹(

12

>0在定义域上恒成立，求𝑎的取值范围．

,0)，且和直线𝑥=−2相切，动圆圆心𝑃形成的轨迹是曲线𝐶，过点𝑄(4,−2)的直线

23.设函数f(x)=|x+1|+|x−2|．

≤3的解集；

（Ⅰ）求不等式f(x)（Ⅱ）当x

与曲线𝐶交于𝐴,𝐵两个不同的点. （Ⅰ）求曲线𝐶的方程；

（Ⅱ）在曲线𝐶上是否存在定点𝑁，使得以𝐴𝐵为直径的圆恒过点𝑁？若存在，求出𝑁点坐标；若不存在，说明理由.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

.极坐标系与直角坐标系𝑥𝑂𝑦有相同的长度单位，以原点𝑂为极点，以𝑥轴正半轴为极轴．已知曲线𝐶1的极坐

∈[2,3]时，f(x)≥−x2+2x+m恒成立，求m的取值范围．

- 3 - / 6

2022度秋四川省泸县二中高三第一学月考试 理科数学试题答案

1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.D 11.B

12.C

13.2

14.−4

5

15.√6𝜋.

16.2

3

17.解:(1)由题意得𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1

𝑎𝑛=𝑛·2

𝑛+1，

所以𝑎1

=1×22=4,𝑎1+2𝑎2=2×23,得𝑎2=6;

由𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1𝑎𝑛

=𝑛·2𝑛+1,

所以𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−2𝑎𝑛−1=(𝑛−1)·2𝑛（𝑛≥2），

相减得2𝑛−1𝑎𝑛=𝑛·2𝑛+1−(𝑛−1)·2𝑛，

得𝑎𝑛

=2𝑛+2,当𝑛=1也满足上式.

所以{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛+2.

(2)数列{𝑎𝑛

−𝑘𝑛}的通项公式为𝑎𝑛−𝑘𝑛=2𝑛+2−𝑘𝑛=(2−𝑘)𝑛+2,是以4−𝑘为首项,公差为2−𝑘的等差数列,

若𝑆𝑛

≤𝑆4对任意的正整数𝑛恒成立，等价于当𝑛=4时,𝑆𝑛取得最大值, 所以{𝑎𝑎4−4𝑘=4(2−𝑘)+2≥0,5𝑘=5(2−𝑘)+2≤0.

5−解得

125≤𝑘≤

52. 所以实数𝑘的取值范围是[12,55

2

].

18.（1）

分数大于等于分数不足 120120合计 分 分 周做题时间不少于15小时 15 4 19 周做题时间不足15小时 10 16 26 合计 25 20 45

∵𝐾2

=

45(15×16−10×4)2

25×20×19×26≈7.287>6.635．

∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．

（2）（i）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人，𝑋的可能取值为0，1，2，3，4．

𝑃(𝑋=0)=C164

33

，

C4⋅4C16， C4𝑃(𝑋=1)=20C20

𝑃(𝑋=2)=

C24⋅C2

16， C4𝑃(𝑋=3)=

C43

⋅C161，=4)=

C44

． 20

C4 𝑃(𝑋

20C420

则分布列为 X 0 1 2 3 4 C4163P C34⋅16 C34⋅C116C4 4 C4 204C C24⋅C216C20C420C420C420（ii）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中，周做题时间不少于15小时的人数为随机变量𝑌， 由题意可知𝑌∼𝐵(20,0.6)，

故𝐸(𝑌)

=12，𝐷(𝑌)=4.8．

19.（1）证明：取𝐴𝐷中点𝑂，连结𝑂𝑃，𝑂𝐵，𝐵𝐷， 因为底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60∘，所以𝐴𝐷= 𝐴𝐵=𝐵𝐷．

因为𝑂为𝐴𝐷的中点，所以𝑂𝐵⊥𝐴𝐷．

在△𝐴𝑃𝐷中，∠𝐴𝑃𝐷=90∘， 𝑂为𝐴𝐷的中点，所以𝑃𝑂=1

2𝐴𝐷=𝐴𝑂．

设𝐴𝐷

=𝑃𝐵=2𝑎,则𝑂𝐵=√3𝑎，𝑃𝑂=𝑂𝐴=𝑎，

因为𝑃𝑂2

+𝑂𝐵2=𝑎2+3𝑎2=4𝑎2=𝑃𝐵2，所以𝑂𝑃⊥𝑂𝐵．

在△𝐴𝑃𝐷中，∠𝐴𝑃𝐷

=90∘，𝑂为𝐴𝐷的中点，所以𝑃𝑂=1

2𝐴𝐷=𝐴𝑂．

在△ 𝐵𝑂𝑃和△ 𝐵𝑂𝐴中，因为𝑃𝑂

=𝐴𝑂，𝑃𝐵=𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐵𝑂=𝐵𝑂，

所以△ 𝐵𝑂𝑃 ≅△ 𝐵𝑂𝐴． 所以∠𝐵𝑂𝑃

=∠𝐵𝑂𝐴=90∘．所以𝑂𝑃⊥𝑂𝐵．

因为𝑂𝑃∩𝐴𝐷=𝑂，𝑂𝑃⊂平面𝑃𝐴𝐷，𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷， 所以𝑂𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷．

因为𝑂𝐵

⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．

- 4 - / 6

（2）因为𝐴𝐷⊥𝑃𝐵，𝐴𝐷⊥𝑂𝐵，𝑂𝐵∩𝑃𝐵=𝐵，𝑃𝐵⊂平面𝑃𝑂𝐵，𝑂𝐵⊂平面𝑃𝑂𝐵，

所以𝐴𝐷

⊥平面𝑃𝑂𝐵．所以𝑃𝑂⊥𝐴𝐷．

由（1）得𝑃𝑂

⊥𝑂𝐵，𝐴𝐷⊥𝑂𝐵，所以𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝑃所在的直线两两互相垂直．

以𝑂为坐标原点，分别以𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝑃所在直线为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴建立如图所示的空间直角坐标系．设𝐴𝐷

=2，则𝐴(1,0,0)，𝐷(−1,0,0)，𝐵(0,√3,0)，𝑃(0,0,1)，

所以⃑𝑃𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,−1)，⃑𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,√3,−1)，⃑𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =⃑⃑𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,0,0)， 设平面𝑃𝐵𝐷的法向量为𝑛

=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，

则{𝑛•⃑𝑃𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−𝑥1−𝑧1=0,𝑛•⃑𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√3𝑦 令𝑦1=1，则𝑥=−√3，1−𝑧1=0,1𝑧1=√3，所以𝑛=(−√3,1,√3)．设平面𝑃𝐵𝐶的法向量为𝑚

=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，

则{𝑚•⃑𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−2𝑥2=0,𝑚•⃑𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√3𝑦 令𝑦=1，则𝑥=0，𝑧=√3，所以𝑚=(0,1,√3)2−𝑧2=0,222． 设二面角𝐷−𝑃𝐵−𝐶为𝜃，由于𝜃为锐角，

所以cos𝜃

=|cos<𝑚,𝑛>| =42×√7=

2√77

．

所以二面角𝐷

−𝑃𝐵−

𝐶的余弦值为2√7

7

．

20.（Ⅰ）∵

𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−

1𝑥−𝑎

，

∴𝑘=𝑓′ (2)=𝑒2−1

2−𝑎,𝑓(2)=𝑒2−1−ln(2−𝑎)，

∴𝑒2

−

12−1−ln(2−𝑎)−0

2−𝑎=

𝑒2−1

，

整理可得12−𝑎=ln𝑒(2−𝑎)，

解得𝑎

=1，

（Ⅱ）由题意知，𝑥

>𝑎，

𝑓′

(𝑥)=𝑒𝑥−1

𝑥−𝑎， 设ℎ(𝑥)

=𝑒𝑥−

1′

𝑥−𝑎

，ℎ(𝑥)=𝑒𝑥+

1

(𝑥−𝑎)2>0，

故𝑓′(𝑥)在(0,+∞)递增， 故𝑥→𝑎时，𝑓′(𝑥)→−∞， 当𝑥

→+∞时，𝑓′(𝑥)→+∞，

故𝑓′(𝑥)=0在(𝑎,+∞)上有唯一实数根𝑥0， 当𝑥∈(𝑎,𝑥0)时，𝑓′(𝑥)<0，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0， 故𝑥

=𝑥′01

0时，𝑓(𝑥)取最小值，由𝑓(𝑥0)=𝑒𝑥0−𝑥𝑜−𝑎=0， 得𝑒𝑥0

=1𝑥𝑜

−𝑎，故𝑥0=−ln(𝑥0−𝑎)， 𝑓(𝑥)≥𝑓(𝑥0)=𝑒𝑥0−1−ln(𝑥0−𝑎)=

1𝑥0−𝑎

+𝑥0−𝑎+𝑎−1≥2+𝑎−1>0，

解得：𝑎

>−1，

故𝑎的范围是(−1,+∞)． 21.（1）设动圆圆心𝑃到直线𝑥

=−1

2

的距离为𝑑，根据题意，𝑑=|𝑃𝐹|

∴动点𝑃形成的轨迹是以𝐹(1

−1

2,0)为焦点，以直线𝑥=2为准线的抛物线，

∴抛物线方程为𝑦2=2𝑥.

（2）根据题意，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，直线的方程为𝑙𝐴𝐵:𝑥=𝑛(𝑦+2)+4，代入抛物线方程，整理得𝑦2−2𝑛𝑦−4𝑛−8=0, 𝛥=4𝑛2+16(𝑛+2)=4(𝑛2+4𝑛+8)>0,

𝑦1+𝑦2=2𝑛,𝑦1𝑦2=−4𝑛−8

若设抛物线上存在定点𝑁，使得以𝐴𝐵为直径的圆恒过点𝑁，设𝑁(𝑥0,𝑦0)，则𝑦02

=2𝑥0

- 5 - / 6

𝐾𝑁𝐴=𝑦−𝑦

𝑦−𝑦𝑥1−𝑥011

0

=𝑦

120=2

−𝑦02𝑦1+𝑦0

，同理可得𝐾𝑁𝐵=2

22𝑦2+𝑦0

𝐾𝑁𝐴⋅𝐾𝑁𝐵=21+𝑦0⋅2

𝑦2+𝑦0

=44𝑦𝑦1𝑦2+(𝑦1+𝑦2)𝑦0+𝑦02

=−4𝑛−8+2𝑛𝑦0+𝑦02=−1

∴(2𝑦0−4)𝑛+𝑦−4=0,02−4=0, ∴{

2𝑦0𝑦

解得𝑦02−4=0,

0=2,𝑥0=2,

∴在曲线𝐶上存在定点𝑁(2,2)，使得以𝐴𝐵为直径的圆恒过点𝑁.

22.（1）𝐶1:𝜌2=4(𝜌cos𝜃cosπ3+𝜌sin𝜃sinπ3)， 即𝑥2+𝑦2

=2𝑥+2√3𝑦，化为直角坐标方程为(𝑥−1)2+(𝑦−√3)2

=4．

把𝐶2的方程化为直角坐标方程为𝑥

+√3𝑦−2𝑎=0，

因为𝐶1曲线关于曲线𝐶2对称，故直线𝑥+√3𝑦−2𝑎=0经过圆心(1,√3)，

解得𝑎

=2，故𝐶2的直角坐标方程为𝑥+√3𝑦−4=0．

（2）当π6≤𝛼≤π3时，|𝑂𝐴|=4cos(𝛼−π6

−π3

)=4sin𝛼，|𝑂𝐵|=4cos(𝛼−π3

)，|𝑂𝐶|=4cos(𝛼+π3

−π3

)=4cos𝛼，|𝑂𝐷|=4cos(𝛼+π2

−π3

)=4sin(π3

−𝛼)，

∴𝑓(𝛼)

=|𝑂𝐴|⋅|𝑂𝐵|+|𝑂𝐶|⋅|𝑂𝐷|=16[sin𝛼cos(𝛼−π3

)+cos𝛼sin(π3

−𝛼)]=16sin[𝛼−(𝛼−π3

)]=16sinπ3

=8√3， 𝑓(𝛼)的值域为{8√3}．

1−2𝑥，𝑥≤−1

23.（1）𝑓(𝑥)

=|𝑥+1|+|𝑥−2|={3，−1<𝑥<2 ，

2𝑥−1，𝑥≥2

由𝑓(𝑥)≤3解得−1≤𝑥≤2

即不等式𝑓(𝑥)≤3的解集为{𝑥|−1≤𝑥≤2}.

（2）当𝑥

∈[2,3]时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1，

由𝑓(𝑥)

≥−𝑥2+2𝑥+𝑚，得2𝑥−1≥−𝑥2+2𝑥+𝑚， 也就是 𝑚≤𝑥2−1在𝑥∈[2,3]恒成立，

故𝑚≤3，即𝑚的取值范围为(−∞，3].

- 6 - / 6