北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明同步练习题

《第一章 三角形的证明》同步测试题

一、选择题

1、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设【 】

A、a不垂直于c B、a，b都不垂直于c C、a⊥b D、a与b相交

2、有下列四个命题：①等腰三角形两腰上的中线相等，②等腰三角形两腰上的高相等，③等腰三角形两底角的平分线相等，④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 正确的命题的个数有【 】 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3、如图，△ABC中，∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，BD=5，DC=m，则AC是【 】 A、4 B、m-5 C、5 D、m+5

4、下列图形中，两个三角形一定全等的是【 】A、含80°角的两个锐角三角形 B、边长为20cm的两个等边三角形 C、腰长对应相等的两个等腰三角形 D、有一个钝角对应相等的两个等腰三角形

5、在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设【 】 A、三角形中至少有一个直角或钝角 B、三角形中至少有两个直角或钝角 C、三角形中没有直角或钝角 D、三角形中三个角都是直角或钝角

6、下列命题中正确的个数是【 】①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合；④只有两条边相等的等腰三角形是轴对称图形，对称轴有1条.A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 7、等腰三角形的一个外角是120°，一边长为acm，那么它的周长是【 】 A、3acm B、2acm C、acm D、无法确定 8、如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO，连接AD,BC交于点P，则下列结论正确的是：(1)△AOD≌△BOC；(2)△APC≌△BPD；(3)

点P在∠AOB的平分线上【 】A、只有(1) B、只有(2) C、只有(1)(2) D、(1)(2)(3)

9、如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下：

(1)作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足.(2)过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP，与NM交于P.(4)点P即为所求. 其中(3)的依据是【 】A、平行线之间的距离处处相等 B、到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D、到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 10、△ABC中，若

，则此三角形为【 】三

角形. A、等腰 B、直角 C、等腰直角 D、等边

11、如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为【 】 A、 B、1 C、2 D、不确定 12、已知等边三角形的面积是A、

cm B、

，则它的高是【 】

cm D、

cm

cm C、

13、Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①BE+CF=

BC；②

；

③=AD·EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 14、如图所示，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=AB，则【 】 A、AC⊥CD B、AC=2CD C、AC=BD D、BD=2CD

15、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，

，则y关于x的函数图象大致为【 】

A、B、C、D、

二、填空题

16、等边三角形的每个内角都等于______________________.

17、如图，已知∠A=∠D=90°，若要依据“HL”证明△ABC≌△DCB，应添加条件_________ ___________ _____；若要依据“AAS”证明△ABC≌△DCB，应添加的条件是_________________________________. 18、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是__________________. 19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=____________.

20、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE=CD，CF=BD.若∠A=40°，则∠EDF=______°.

21、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_______________度．

22、△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A=______°．

23、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，∠ADC=146°，则∠BCE=___________°. 三、解答题

24、(1)小丽同学说“每一个定理不一定都有逆定理，因为逆命题不一定正确.”你认为她的说法正确吗？如果不正确，应如何改正？

25、写出命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题，并判定这对互逆命题的真假.

26、如下图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形.

27、如图，△ABC中，∠A=60°，高BD、CE交于M，MD=5，ME=7. 求BD、CE的长.

28、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D. 求证：AD+BD=BC.

四、证明题

29、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．

30、如图所示，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E.求证：BE=EC.

31、写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．

命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：“等角对等边”)．

已知：如图，____________________________________．

求证：______________________________________________________． 证明：

32、如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.

33、如图，△ABC中，从点C向∠BAC的平分线引垂线，垂足为点E，设AE交BC于点D，且AB=AD.求证：

.

五、应用题

34、如图是某市部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为“公共汽车”停靠点，“公共汽车甲”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，沿F、H、E、D、C、G的顺序到达G站.如果甲、乙分别从A、B站同时出发，在各站耽误的时间忽略不计，两车的速度一样，试问哪一辆汽车先到达指定站？为什么？

35、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

参考答案

一、选择题 题号 1 2 答案 D D 二、填空题 题号 16 答案 60 3 C 4 B 17 5 B 6 D 7 A 8 D 9 B 18 10 C 11 B 19 12 C 13 C 14 15 A B 22 20 23 56 AB=DC或AC=DB； 顶角平分线所∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC 在直线 20 21 70100° 70 或20 三、解答题 24)、解：她的说法正确，理由如下：

命题有真假命题之分，而定理是经过证明后得出的正确的命题，命题正确时逆命题不一定正确，即定理的逆命题不一定是真命题，所以虽然每个命题都有逆命题，但每个定理不一定存在逆定理，只有当原定理的逆命题是真命题时，原定理的逆命题才能称为逆定理. 25)、【解答】1、逆命题：“如果两条直线互相平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题是假命题；而原命题是真命题. 26)、【解答】1、因为CD平分∠ACB，∠ACB=120°，

所以∠ACE=180°-∠ACB=60°，且

.

因为AE∥DC，

所以∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E. 所以∠CAE=∠E=∠ACE=60°. 所以△ACE是等边三角形.

27)、【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90°. 又∵∠A=60°，

∴∠ABD=90°-60°=30°， 同理可得∠ACE=30°，

在Rt△BEM中，∠EBM=30°，∠BEM=90°， ∴BM=2ME. ∵ME=7， ∴BM=14.

同理由MD=5，得CM=2MD=10，

∴BD=BM+MD=19，CE=CM+EM=10+7=17. 28)、【解答】证明：在BC上截取BE=BA，在

CE取点F，使DE=DF.

∵AB=AC，∠A=100°， ∴∠ABC=∠C=

=40°.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBE=20°. ∵在△ABD和△EBD中，

AB=EB，∠ABD=∠DBE，BD=BD， ∴△ABD≌△EBD， ∴∠BED=∠A=100°，

∴∠DEF=180°-100°=80°. ∵DE=DF，

∴∠DFE=∠DEF=80°，

∴∠BDF=180°-80°-20°=80°， ∴BD=BF，∠DFC=180°-80°=100°， ∴∠FDC=180°-100°-40°=40°， ∴DF=FC，

∴DF=FC=DE=AD， ∴BC=BF+FC=BD+AD. 29)、【解答】1、证明：假设在一个三角形中，这两个不等的角所对的边相等， 根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立， 所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等． 30)、【解答】1、证明：因为AB=AC，BD=DC，AD=AD，

所以△ABD≌△ACD(SSS).

所以∠BAE=∠CAE. 又因为AB=AC， 所以BE=EC.

31)、 【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C， ==

.

求证：AB=AC. 证明：过点A作AD⊥BC于D，

∴∠ADB=∠ADC=90°， 在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD(AAS)， ∴AB=AC． 32)、【解答】1、∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF.

又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°， ∴(Rt)△DEB≌(Rt)△DFC(HL). ∴∠B=∠C. 33)、【解答】1、分别延长AB，CE交于点F.

∵AE平分∠FAC， ∴∠FAE=∠CAE. ∵∠FAE=∠CAE， ∠AEF=∠AEC=90°，

AE=AE，

∴△AEF≌△AEC(ASA)， ∴AF=AC，EF=EC.

又过点E作EG∥AF，交BC于点G， ∴

，∠ABD=∠DGE.

∵AB=AD，∠ABD=∠ADB=∠GDE=∠DGE， ∴DE=EG， ∴AE=AD+DE =AB+EG = =

34)、【解答】1、因为AB=BC=AC，CD=CE=DE， 所以△ABC与△ECD均为等边三角形，且 ∠ACE=60°.

在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，CD=CE， 所以△ACD≌△BCE(SAS). 所以AD=BE，∠1=∠2.

在△BCF和△ACG中，∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACG=60°，

所以△BCF≌△ACG(ASA). 所以CF=CG.

又因为DE+EC=ED+CD，

所以AD+DE+EC+CF=BE+ED+CD+CG. 即甲、乙两车同时到达指定站. 35)、【解答】1、解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6， 由勾股定理有AB=10.

扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：

①如图1，当AB=AD=10时， 可求CD=CB =6.

得△ABD的周长为32m.

②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4. 由勾股定理，得. 得△ABD的周长为m.

如图③，当AB为底时，设AD=BD=x， 则CD=x-6，由勾股定理，得.得△ABD

的周长为

m.